«Комбинаторика»

1) то же, что математический Комбинаторный анализ. 2) Раздел элементарной математики, связанный с изучением количества комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, которые можно составить из заданного конечного множества объектов (безразлично, какой природы; это могут быть буквы, цифры, какие-либо предметы и т.п.).

Наиболее употребительные формулы К.:

Число размещений. Пусть имеется n различных предметов. Сколькими способами можно выбрать из них тпредметов (учитывая порядок, в котором выбираются предметы)? Число способов равно

A_n^m =

A_n^m называют числом размещений из n элементов по m.

Число перестановок. Рассмотрим задачу: сколькими способами можно установить порядок следования друг за другом n различных предметов? Число способов равно

P_n = 1․2․ 3... n= n!

(знак n! читается: «n факториал»; оказывается удобным рассматривать также 0!, полагая его равным 1). P_n называют числом перестановок n элементов.

Число сочетаний. Пусть имеется n различных предметов. Сколькими способами можно выбрать из них т предметов (безразлично, в каком порядке выбираются предметы)? Число способов такого выбора равно

C_n^m =

C_n^m называют числом сочетаний из n элементов по m. Числа C_n^m получаются как коэффициенты разложения n-й степени двучлена (бинома, см. Ньютона бином):

(a+b) ⁿ=C_n⁰ aⁿ + C_n¹ a^n-1b +C_n²a^n-2b² +... + C_n^n-1ab^n-1 + C_nⁿ bⁿ,

и поэтому они называются также биномиальными коэффициентами. Основные соотношения для биномиальных коэффициентов:

C_n^m=C_n^n-m, C_n^m + C_n^m+1 = C_n+1^m+1

C_n⁰ + C_n¹ + C_n² +...+ C_n^n-1 + C_nⁿ =2ⁿ,

C_n⁰ — C_n¹ + C_n²—...+ (—1) ⁿC_nⁿ = 0.

Числа A_n^m, P_m и C_n^m связаны соотношением:

A_n^m=P_m C_n^m.

Рассматриваются также размещения с повторением (т. е. всевозможные наборы из m предметов n различных видов, порядок в наборе существен) и сочетания с повторением (то же, но порядок в наборе не существен). Число размещений с повторением даётся формулой n^m,число сочетаний с повторением — формулой C^m_n+m-1.

Основные правила при решении задач К.: Правило суммы. Пусть некоторый предмет А может быть выбран из совокупности предметов m способами, а другой предмет В можно выбрать n способами. Тогда имеется т + n возможностей выбрать либо предмет A, либо предмет В.

Правило произведения. Пусть предмет А можно выбрать m способами и после каждого такого выбора предмет В можно выбрать n способами; тогда выбор пары (А, В)в указанном порядке можно осуществить m + n способами.

Принцип включения и исключения. Пусть имеется Nпредметов, которые могут обладать n свойствами α₁, α₂,..., α_n. Обозначим через N(α_i, α_j,..., α_k) число предметов, обладающих свойствами α_i, α_j,..., α_k и, быть может, какими-либо другими свойствами. Тогда число N' предметов, не обладающих ни одним из свойств, α₁, α₂,..., α_n, даётся формулой

= N—N(α₁)— N(α₂)—... —N(α_n) + N(α₁, α₂) + N(α₁, α₃) +... + N(α_n-1, α_n) — N(α₁, α₂, α₃)—... —N(α_n-2, α_n-1, α_n) +... +(—1) ⁿ N(α₁,..., α_n)

Лит.: Netto E. Lehrbuch der Combinatorik, 2 Aufl., Lpz. — B., 1927.

В. Е. Тараканов.

1. комбинато́рика;
2. комбинато́рики;
3. комбинато́рики;
4. комбинато́рик;
5. комбинато́рике;
6. комбинато́рикам;
7. комбинато́рику;
8. комбинато́рики;
9. комбинато́рикой;
10. комбинато́рикою;
11. комбинато́риками;
12. комбинато́рике;
13. комбинато́риках.

КОМБИНАТО́РИКА, -и, жен. Раздел дискретной математики, изучающий всевозможные сочетания и расположения предметов.

| прил. комбинаторный, -ая, -ое. К. анализ.

ж.

Раздел математики, изучающий различного рода соединения элементов: перестановки, сочетания, размещения.

КОМБИНАТОРИКА - раздел математики, в котором изучаются простейшие "соединения". Перестановки - соединения, которые можно составить из n предметов, меняя всеми возможными способами их порядок; число ихРазмещения - соединения, содержащие по m предметов из числа n данных, различающиеся либо порядком предметов, либо самими предметами; число ихСочетания - соединения, содержащие по m предметов из n, различающиеся друг от друга, по крайней мере, одним предметом; число их КОМБИНАТОРНЫЙ АНАЛИЗ - раздел математики, в котором изучаются вопросы, связанные с размещением и взаимным расположением частей конечного множества объектов произвольной природы.

f.combinatorial analysis

ж. мат.

combinatoria f

КОМБИНАТО́РИКА -и; ж. [лат. combinare - соединять] Раздел математики, изучающий все возможные способы простейших перестановок элементов, цифр, каких-л. данных.

* * *

раздел математики, в котором изучаются простейшие «соединения». Перестановки — соединения, которые можно составить из n предметов, меняя всеми возможными способами их порядок; число ихPn = 1·2·3·...·n = n!.Размещения — соединения, содержащие по m предметов из числа n данных, различающиеся либо порядком предметов, либо самими предметами; число их.Сочетания — соединения, содержащие по m предметов из n, отличающиеся друг от друга, по крайней мере, одним предметом; число их.

* * *

КОМБИНАТО́РИКА, раздел математики, в котором изучаются простейшие «соединения». Перестановки — соединения, которые можно составить из n предметов, меняя всеми возможными способами их порядок; число их

Размещения — соединения, содержащие по m предметов из числа n данных, различающиеся либо порядком предметов, либо самими предметами; число их

Сочетания — соединения, содержащие по m предметов из n, различающиеся друг от друга, по крайней мере, одним предметом; число их

— раздел математики, где рассматриваются сочетания, размещения, перестановки элементов и связанные с ними задачи. Широко применяется при вероятностном моделировании геол. процессов.

- см. Комбинаторный анализ.

раздел математики, в к-ром рассматриваются различного вида совокупности (соединения), образов, из элементов нек-рого множества М, содержащего п различных элементов. Виды соединений: размещения, перестановки, сочетания. Размещения из п элементов по k - упорядоченные совокупности, состоящие из k различных элементов множества М; при этом размещения, отличающиеся одно от другого порядком элементов или же составом элементов, считаются разными. Общее число размещений из п элементов по k равно

А^k_n=n(n- 1)...(п -k + 1).

Перестановки - размещения из п элементов по n; их число

Сочетания из п элементов по k - неупорядоченные совокупности элементов множества М, содержащие по k элементов; т. о., 2 сочетания считаются различными лишь в том случае, когда они отличаются хотя бы одним элементом. Число различных сочетаний из п элементов по k равно

КОМБИНАТОРИКА — раздел математики, посвящённый решению задач выбора и расположения элементов из некоторого основного (обычно конечного) множества в соответствии с заданными правилами. Простейшими задачами К. являются перестановки, сочетания и размещения.