«Симметрия»

I

Симме́трия (от греч. symmetria — соразмерность)

в математике,

1) симметрия (в узком смысле), или отражение (зеркальное) относительно плоскости α в пространстве (относительно прямой а на плоскости), — преобразование пространства (плоскости), при котором каждая точка М переходит в точку M' такую, что отрезок MM' перпендикулярен плоскости α (прямой а) и делится ею пополам. Плоскость α (прямая а) называется плоскостью (осью) С.

Отражение — пример ортогонального преобразования (См. Ортогональное преобразование), изменяющего ориентацию (См. Ориентация) (в отличие от собственного движения). Любое ортогональное преобразование можно осуществить последовательным выполнением конечного числа отражений — этот факт играет существенную роль в исследовании С. геометрических фигур.

2) Симметрия (в широком смысле) — свойство геометрической фигуры Ф, характеризующее некоторую правильность формы Ф, неизменность её при действии движений и отражений. Точнее, фигура Ф обладает С. (симметрична), если существует нетождественное ортогональное преобразование, переводящее эту фигуру в себя. Совокупность всех ортогональных преобразований, совмещающих фигуру Ф с самой собой, является группой (См. Группа), называемой группой симметрии этой фигуры (иногда сами эти преобразования называются симметриями).

Так, плоская фигура, преобразующаяся в себя при отражении, симметрична относительно прямой — оси С. (рис. 1); здесь группа симметрии состоит из двух элементов. Если фигура Ф на плоскости такова, что повороты относительно какой-либо точки О на угол 360°/n, n — целое число ≥ 2, переводят её в себя, то Ф обладает С. n-го порядка относительно точки О — центра С. Примером таких фигур являются правильные многоугольники (рис. 2); группа С. здесь — т. н. циклическая группа n-го порядка. Окружность обладает С. бесконечного порядка (поскольку совмещается с собой поворотом на любой угол).

Простейшими видами пространственной С., помимо С., порожденной отражениями, являются центральная С., осевая С. и С. переноса.

а) В случае центральной симметрии (инверсии) относительно точки О фигура Ф совмещается сама с собой после последовательных отражений от трёх взаимно перпендикулярных плоскостей, другими словами, точка О — середина отрезка, соединяющего симметричные точки Ф (рис. 3). б) В случае осевой симметрии, или С. относительно прямой n-го порядка, фигура накладывается на себя вращением вокруг некоторой прямой (оси С.) на угол 360°/n. Например, куб имеет прямую AB осью С. третьего порядка, а прямую CD — осью С. четвёртого порядка (рис. 3); вообще, правильные и полуправильные многогранники симметричны относительно ряда прямых. Расположение, количество и порядок осей С. играют важную роль в кристаллографии (см. Симметрия кристаллов), в) Фигура, накладывающаяся на себя последовательным вращением на угол 360°/2k вокруг прямой AB и отражением в плоскости, перпендикулярной к ней, имеет зеркально-осевую С. Прямая AB, называется зеркально-поворотной осью С. порядка 2k, является осью С. порядка k (рис. 4). Зеркально-осевая С. порядка 2 равносильна центральной С. г) В случае симметрии переноса фигура накладывается на себя переносом вдоль некоторой прямой (оси переноса) на какой-либо отрезок. Например, фигура с единственной осью переноса обладает бесконечным множеством плоскостей С. (поскольку любой перенос можно осуществить двумя последовательными отражениями от плоскостей, перпендикулярных оси переноса) (рис. 5). Фигуры, имеющие несколько осей переноса, играют важную роль при исследовании кристаллических решёток (См. Кристаллическая решётка).

В искусстве С. получила распространение как один из видов гармоничной композиции (См. Композиция). Она свойственна произведениям архитектуры (являясь непременным качеством если не всего сооружения в целом, то его частей и деталей — плана, фасада, колонн, капителей и т. д.) и декоративно-прикладного искусства. С. используется также в качестве основного приёма построения бордюров и Орнаментов (плоских фигур, обладающих соответственно одной или несколькими С. переноса в сочетании с отражениями) (рис. 6, 7).

Комбинации С., порожденные отражениями и вращениями (исчерпывающие все виды С. геометрических фигур), а также переносами, представляют интерес и являются предметом исследования в различных областях естествознания. Например, винтовая С., осуществляемая поворотом на некоторый угол вокруг оси, дополненным переносом вдоль той же оси, наблюдается в расположении листьев у растений (рис. 8) (подробнее см. в ст. Симметрия в биологии). С. конфигурации молекул, сказывающаяся на их физических и химических характеристиках, имеет значение при теоретическом анализе строения соединений, их свойств и поведения в различных реакциях (см. Симметрия в химии). Наконец, в физических науках вообще, помимо уже указанной геометрической С. кристаллов и решёток, приобретают важное значение представления о С. в общем смысле (см. ниже). Так, симметричность физического пространства-времени, выражающаяся в его однородности и изотропности (см. Относительности теория), позволяет установить т. н. Сохранения законы; обобщённая С. играет существенную роль в образовании атомных спектров и в классификации элементарных частиц (см. Симметрияв физике).

3) Симметрия (в общем смысле) означает инвариантность структуры математического (или физического) объекта относительно его преобразований. Например, С. законов теории относительности определяется инвариантностью их относительно Лоренца преобразований (См. Лоренца преобразования). Определение совокупности преобразований, оставляющих без изменения все структурные соотношения объекта, т. е. определение группы G его автоморфизмов, стало руководящим принципом современной математики и физики, позволяющим глубоко проникнуть во внутреннее строение объекта в целом и его частей.

Поскольку такой объект можно представить элементами некоторого пространства Р, наделённого соответствующей характерной для него структурой, постольку преобразования объекта являются преобразованиями Р. Т. о. получается представление группы G в группе преобразований Р (или просто в Р), а исследование С. объекта сводится к исследованию действия G на Р и отысканию инвариантов этого действия. Точно так же С. физических законов, управляющих исследуемым объектом и обычно описывающихся уравнениями, которым удовлетворяют элементы пространства Р, определяется действием G на такие уравнения.

Так, например, если некоторое уравнение линейно на линейном же пространстве Р и остаётся инвариантным при преобразованиях некоторой группы G, то каждому элементу g из G соответствует линейное преобразование T_g в линейном пространстве R решений этого уравнения. Соответствие g → T_g является линейным представлением G и знание всех таких её представлений позволяет устанавливать различные свойства решений, а также помогает находить во многих случаях (из «соображений симметрии») и сами решения. Этим, в частности, объясняется необходимость для математики и физики развитой теории линейных представлений групп. Конкретные примеры см. в ст. Симметрия в физике.

Лит.: Шубников А. В., Симметрия. (Законы симметрии и их применение в науке, технике и прикладном искусстве), М. — Л., 1940; Кокстер Г. С. М., Введение в геометрию, пер. с англ., М., 1966; Вейль Г., Симметрия, пер. с англ., М., 1968; Вигнер Е., Этюды о симметрии, пер. с англ., М., 1971.

М. И. Войцеховский.

Рис. 1. Плоская фигура, симметричная относительно прямой АВ; точка М преобразуется в М’ при отражении (зеркальном) относительно АВ.

Рис. 2. Звездчатый правильный многоугольник, обладающий симметрией восьмого порядка относительно своего центра.

Рис. 3. Куб, имеющий прямую AB осью симметрии третьего порядка, прямую CD — осью симметрии четвёртого порядка, точку О — центром симметрии. Точки М и M' куба симметричны как относительно осей AB и CD, так и относительно центра О.

Рис. 4. Многогранник, обладающий зеркально-осевой симметрией; прямая AB — зеркально-поворотная ось четвёртого порядка.

Рис. 5. Фигуры, обладающие симметрией переноса: верхняя фигура имеет также бесконечное множество вертикальных осей симметрии (второго порядка), т. е. плоскостей отражения

Рис. 6. Бордюр, накладывающийся на себя или переносом на некоторый отрезок вдоль горизонтальной оси, или отражением (зеркальным) относительно той же оси и переносом вдоль неё на отрезок, вдвое меньший.

Рис. 7. Орнамент; осью переноса является любая прямая, соединяющая центры двух каких-либо завитков.

Рис. 8. Фигура, обладающая винтовой симметрией, которая осуществляется переносом вдоль вертикальной оси, дополненным вращением вокруг неё на 90°.

Симметри́я

в физике. Если законы, устанавливающие соотношения между величинами, характеризующими физическую систему, или определяющие изменение этих величин со временем, не меняются при определённых операциях (преобразованиях), которым может быть подвергнута система, то говорят, что эти законы обладают С. (или инвариантны) относительно данных преобразований. В математическом отношении преобразования С. составляют группу (См. Группа).

Опыт показывает, что физические законы симметричны относительно следующих наиболее общих преобразований.

Непрерывные преобразования

1) Перенос (сдвиг) системы как целого в пространстве. Это и последующие пространственно-временные преобразования можно понимать в двух смыслах: как активное преобразование — реальный перенос физической системы относительно выбранной системы отсчёта или как пассивное преобразование — параллельный перенос системы отсчёта. С. физических законов относительно сдвигов в пространстве означает эквивалентность всех точек пространства, т. е. отсутствие в пространстве каких-либо выделенных точек (однородность пространства).

2) Поворот системы как целого в пространстве. С. физических законов относительно этого преобразования означает эквивалентность всех направлений в пространстве (изотропию пространства).

3) Изменение начала отсчёта времени (сдвиг во времени). С. относительно этого преобразования означает, что физические законы не меняются со временем.

4) Переход к системе отсчёта, движущейся относительно данной системы с постоянной (по направлению и величине) скоростью. С. относительно этого преобразования означает, в частности, эквивалентность всех инерциальных систем отсчёта (См. Инерциальная система отсчёта) (см. Относительности теория).

5) Калибровочные преобразования. Законы, описывающие взаимодействия частиц, обладающих каким-либо зарядом (электрическим зарядом (См. Электрический заряд), барионным зарядом (См. Барионный заряд), лептонным зарядом (См. Лептонный заряд), Гиперзарядом), симметричны относительно калибровочных преобразований 1-го рода. Эти преобразования заключаются в том, что волновые функции (См. Волновая функция) всех частиц могут быть одновременно умножены на произвольный фазовый множитель:

где ψ_j — волновая функция частицы j, z_j — соответствующий частице заряд, выраженный в единицах элементарного заряда (например, элементарного электрического заряда е), β — произвольный числовой множитель.

Наряду с этим Электромагнитные взаимодействия симметричны относительно калибровочных (градиентных) преобразований 2-го рода для потенциалов электромагнитного поля (См. Потенциалы электромагнитного поля) (А, φ):

А→А + grad f,, (2)

где f(x,у, z, t) — произвольная функция координат (х,у,z) и времени (t), с — скорость света. Чтобы преобразования (1) и (2) в случае электромагнитных полей выполнялись одновременно, следует обобщить калибровочные преобразования 1-го рода: необходимо потребовать, чтобы законы взаимодействия были симметричны относительно преобразований (1) с величиной β, являющейся произвольной функцией координат и времени: η — Планка постоянная. Связь калибровочных преобразований 1-го и 2-го рода для электромагнитных взаимодействий обусловлена двоякой ролью электрического заряда: с одной стороны, электрический заряд является сохраняющейся величиной, а с другой — он выступает как константа взаимодействия, характеризующая связь электромагнитного поля с заряженными частицами.

Преобразования (1) отвечают законам сохранения различных зарядов (см. ниже), а также некоторым внутренним С. взаимодействия. Если заряды являются не только сохраняющимися величинами, но и источниками полей (как электрический заряд), то соответствующие им поля должны быть также калибровочными полями (аналогично электромагнитным полям), а преобразования (1) обобщаются на случай, когда величины β являются произвольными функциями координат и времени (и даже операторами (См. Операторы), преобразующими состояния внутренней С.). Такой подход в теории взаимодействующих полей приводит к различным калибровочным теориям сильных и слабых взаимодействий (т. н. Янга — Милса теория).

6) Изотопическая инвариантность сильных взаимодействий. Сильные взаимодействия симметричны относительно поворотов в особом «изотоническом пространстве». Одним из проявлений этой С. является зарядовая независимость ядерных сил (См. Ядерные силы), заключающаяся в равенстве сильных взаимодействий нейтронов с нейтронами, протонов с протонами и нейтронов с протонами (если они находятся соответственно в одинаковых состояниях). Изотопическая инвариантность является приближённой С., нарушаемой электромагнитными взаимодействиями. Она представляет собой часть более широкой приближённой С. сильных взаимодействий — SU(3)-C. (см. Сильные взаимодействия).

Дискретные преобразования

Перечисленные выше типы С. характеризуются параметрами, которые могут непрерывно изменяться в некоторой области значений (например, сдвиг в пространстве характеризуется тремя параметрами смещения вдоль каждой из координатных осей, поворот — тремя углами вращения вокруг этих осей и т. д.). Наряду с непрерывными С. большое значение в физике имеют дискретные С. Основные из них следующие.

1) Пространственная инверсия (Р). Относительно этого преобразования симметричны процессы, вызванные сильным и электромагнитным взаимодействиями. Указанные процессы одинаково описываются в двух различных декартовых системах координат, получаемых одна из другой изменением направлений осей координат на противоположные (т. н. переход от «правой» к «левой» системе координат). Это преобразование может быть получено также зеркальным отражением относительно трёх взаимно перпендикулярных плоскостей; поэтому С. по отношению к пространственной инверсии называемой обычно зеркальной С. Наличие зеркальной С. означает, что если в природе осуществляется какой-либо процесс, обусловленный сильным или электромагнитным взаимодействием, то может осуществиться и другой процесс, протекающий с той же вероятностью и являющийся как бы «зеркальным изображением» первого. При этом физические величины, характеризующие оба процесса, будут связаны определённым образом. Например, скорости частиц и напряжённости электрического поля изменят направления на противоположные, а направления напряжённости магнитного поля и момента количества движения не изменятся.

Нарушением такой С. представляются явления (например, правое или левое вращение плоскости поляризации света), происходящие в веществах-изомерах (оптическая Изомерия). В действительности, однако, зеркальная С. в таких явлениях не нарушена: она проявляется в том, что для любого, например левовращающего, вещества существует аналогичное по химическому составу вещество, молекулы которого являются «зеркальным изображением» молекул первого и которое будет правовращающим.

Нарушение зеркальной С. наблюдается в процессах, вызванных слабым взаимодействием (См. Слабые взаимодействия).

2) Преобразование замены всех частиц на античастицы (Зарядовое сопряжение, С). С. относительно этого преобразования также имеет место для процессов, происходящих в результате сильного и электромагнитного взаимодействий, и нарушается в процессах слабого взаимодействия. При преобразовании зарядового сопряжения меняются на противоположные значения заряды частиц, напряжённости электрического и магнитного полей.

3) Последовательное проведение (произведение) преобразований инверсии и зарядового сопряжения (Комбинированная инверсия, СР). Поскольку сильные и электромагнитные взаимодействия симметричны относительно каждого из этих преобразований, они симметричны и относительно комбинированной инверсии. Однако относительно этого преобразования оказываются симметричными и слабые взаимодействия, которые не обладают С. по отношению к преобразованию инверсии и зарядовому сопряжению в отдельности. С. процессов слабого взаимодействия относительно комбинированной инверсии может быть указанием на то, что отсутствие зеркальной С. в них связано со структурой элементарных частиц и что античастицы по своей структуре являются как бы «зеркальным изображением» соответствующих частиц. В этом смысле процессы слабого взаимодействия, происходящие с какими-либо частицами, и соответствующие процессы с их античастицами связаны между собой так же, как явления в оптических изомерах.

Открытие распадов долгоживущих K⁰_L-мезонов на 2 π-мезона и наличие зарядовой асимметрии в распадах K⁰_L → π⁺ + e^- + ν_e (π⁺ + μ^- + ν_μ) и K⁰_L → π^- + е⁺ + ν_е (π^-+ μ⁺ + ν_μ) (см. К-мезоны) указывают на существование сил, несимметричных относительно комбинированной инверсии. Пока не установлено, являются ли эти силы малыми добавками к известным фундаментальным взаимодействиям (сильному, электромагнитному, слабому) или же имеют особую природу. Нельзя также исключить возможность того, что нарушение СР-С. связано с особыми геометрическими свойствами пространства-времени на малых интервалах.

4) Преобразование изменения знака времени (Обращение времени, Т). По отношению к этому преобразованию симметричны все элементарные процессы, протекающие в результате сильного, электромагнитного и слабого взаимодействий (за исключением распадов K⁰_L-meзонов).

5) Произведение трёх преобразований: зарядового сопряжения С, инверсии Р и обращения времени Т (СРТ-симметрия; см. СРТ-теорема). СРТ-С. вытекает из общих принципов квантовой теории поля. Она связана главным образом с С. относительно Лоренца преобразований (См. Лоренца преобразования) и локальностью взаимодействия (т. е. с взаимодействием полей в одной точке). Эта С. должна была бы выполняться, даже если бы взаимодействия были несимметричны относительно каждого из преобразований С, Р и Т в отдельности. Следствием СРТ-инвариантности является т. н. перекрёстная (кроссинг) С. в описании процессов, происходящих с частицами и античастицами. Так, например, три реакции — упругое рассеяние какой-либо частицы a на частице b: a + b → a + b, упругое рассеяние античастицы a̅ на частице b: a̅+ b → a̅ + b и аннигиляция частицы а и её античастицы a̅ в пару частиц b, b̅: а + a̅ → b + b̅ описываются единой аналитической функцией (См. Аналитические функции) (зависящей от квадрата полной энергии системы и квадрата переданного импульса), которая в различных областях изменения этих переменных даёт амплитуду каждого из указанных процессов.

6) Преобразование перестановки одинаковых частиц. Волновая функция системы, содержащей одинаковые частицы, симметрична относительно перестановки любой пары одинаковых частиц (т. е. их координат и Спинов) с целым, в частности нулевым, спином и антисимметрична относительно такой перестановки для частиц с полуцелым спином (см. Квантовая механика).

Симметрия и законы сохранения

Согласно Нётер теореме (См. Нётер теорема), каждому преобразованию С., характеризуемому одним непрерывно изменяющимся параметром, соответствует величина, которая сохраняется (не меняется со временем) для системы, обладающей этой С. Из С. физических законов относительно сдвига замкнутой системы в пространстве, поворота её как целого и изменения начала отсчёта времени следуют соответственно законы сохранения импульса, момента количества движения и энергии. Из С. относительно калибровочных преобразований 1-го рода — законы сохранения зарядов (электрического, барионного и др.), из изотопической инвариантности — сохранение изотопического спина (См. Изотопический спин) в процессах сильного взаимодействия. Что касается дискретных С., то в классической механике они не приводят к каким-либо законам сохранения. Однако в квантовой механике, в которой состояние системы описывается волновой функцией, или для волновых полей (например, электромагнитного поля), где справедлив Суперпозиции принцип, из существования дискретных С. следуют законы сохранения некоторых специфических величин, не имеющих аналогов в классической механике. Существование таких величин можно продемонстрировать на примере пространственной чётности (См. Чётность), сохранение которой вытекает из С. относительно пространственной инверсии. Действительно, пусть ψ₁ — волновая функция, описывающая какое-либо состояние системы, а ψ₂ — волновая функция системы, получающаяся в результате пространств. инверсии (символически: ψ₂ = Рψ₁, где Р — оператор пространств. инверсии). Тогда, если существует С. относительно пространственной инверсии, ψ₂ является одним из возможных состояний системы и, согласно принципу суперпозиции, возможными состояниями системы являются суперпозиции ψ₁ и ψ₂: симметричная комбинация ψ_s = ψ₁ + ψ₂ и антисимметричная ψ_а = ψ₁ — ψ₂. При преобразованиях инверсии состояние ψ₂ не меняется (т. к. Pψ_s = Pψ₁ + Pψ₂ = ψ₂ + ψ₁ = ψ_s), а состояние ψ_a меняет знак (Pψ_a = Pψ₁ — Pψ₂ = ψ₂ — ψ₁ = — ψ_a). В первом случае говорят, что пространственная чётность системы положительна (+1), во втором — отрицательна (—1). Если волновая функция системы задаётся с помощью величин, которые не меняются при пространственной инверсии (таких, например, как момент количества движения и энергия), то вполне определённое значение будет иметь и чётность системы. Система будет находиться в состоянии либо с положительной, либо с отрицательной чётностью (причём переходы из одного состояния в другое под действием сил, симметричных относительно пространственной инверсии, абсолютно запрещены).

Аналогично, из С. относительно зарядового сопряжения и комбинированной инверсии следует существование зарядовой чётности (С-чётности) и комбинированной чётности (СР-чётности). Эти величины, однако, могут служить характеристикой только для абсолютно нейтральных (обладающих нулевыми значениями всех зарядов) частиц или систем. Действительно, система с отличным от нуля зарядом при зарядовом сопряжении переходит в систему с противоположным знаком заряда, и поэтому невозможно составить суперпозицию этих двух состояний, не нарушая закона сохранения заряда. Вместе с тем для характеристики системы сильно взаимодействующих частиц (адронов) с нулевыми барионным зарядом и Странностью (или гиперзарядом), но отличным от нуля электрическим зарядом, можно ввести т. н. G-чётность. Эта характеристика возникает из изотопической инвариантности сильных взаимодействий (которую можно трактовать как С. относительно преобразования поворота в «изотопическом пространстве») и зарядового сопряжения. Примером такой системы может служить пи-мезон (См. Пи-мезоны). См. также ст. Сохранения законы.

Симметрия квантово-механических систем и стационарные состояния. Вырождение

Сохранение величин, отвечающих различным С. квантово-механические системы, является следствием того, что соответствующие им операторы коммутируют с гамильтонианом системы, если он не зависит явно от времени (см. Квантовая механика, Перестановочные соотношения). Это означает, что указанные величины измеримы одновременно с энергией системы, т. е. могут принимать вполне определённые значения при заданном значении энергии. Поэтому из них можно составить т. н. полный набор величин, определяющих состояние системы. Т. о., стационарные состояния (См. Стационарное состояние) (состояния с заданной энергией) системы определяются величинами, отвечающими С. рассматриваемой системы.

Наличие С. приводит к тому, что различные состояния движения квантовомеханической системы, которые получаются друг из друга преобразованием С., обладают одинаковыми значениями физических величин, не меняющихся при этих преобразованиях. Т. о., С. системы, как правило, ведёт к вырождению (См. Вырождение). Например, определённому значению энергии системы может отвечать несколько различных состояний, преобразующихся друг через друга при преобразованиях С. В математическом отношении эти состояния представляют базис неприводимого представления группы С. системы (см. Группа). Это обусловливает плодотворность применения методов теории групп в квантовой механике.

Помимо вырождения уровней энергии, связанного с явной С. системы (например, относительно поворотов системы как целого), в ряде задач существует дополнительное вырождение, связанное с т. н. скрытой С. взаимодействия. Такие скрытые С. существуют, например, для кулоновского взаимодействия и для изотропного Осциллятора.

Если система, обладающая какой-либо С., находится в поле сил, нарушающих эту С. (но достаточно слабых, чтобы их можно было рассматривать как малое возмущение), происходит расщепление вырожденных уровней энергии исходной системы: различные состояния, которые в силу С. системы имели одинаковую энергию, под действием «несимметричного» возмущения приобретают различные энергетические смещения. В случаях, когда возмущающее поле обладает некоторой С., составляющей часть С. исходной системы, вырождение уровней энергии снимается не полностью: часть уровней остаётся вырожденной в соответствии с С. взаимодействия, «включающего» возмущающее поле.

Наличие в системе вырожденных по энергии состояний, в свою очередь, указывает на существование С. взаимодействия и позволяет в принципе найти эту С., когда она заранее не известна. Последнее обстоятельство играет важнейшую роль, например, в физике элементарных частиц. Существование групп частиц с близкими массами и одинаковыми др. характеристиками, но различными электрическими зарядами (т. н. изотопических мультиплетов) позволило установить изотопическую инвариантность сильных взаимодействий, а возможность объединения частиц с одинаковыми свойствами в более широкие группы привело к открытию SU(3)-C. сильного взаимодействия и взаимодействий, нарушающих эту С. (см. Сильные взаимодействия). Существуют указания, что сильное взаимодействие обладает ещё более широкой группой С.

Весьма плодотворно понятие т. н. динамической С. системы, которое возникает, когда рассматриваются преобразования, включающие переходы между состояниями системы с различными энергиями. Неприводимым представлением группы динамической С. будет весь спектр стационарных состояний системы. Понятие динамической С. можно распространить и на случаи, когда гамильтониан системы зависит явно от времени, причём в одно неприводимое представление динамической группы С. объединяются в этом случае все состояния квантово-механической системы, не являющиеся стационарными (т. е. не обладающие заданной энергией).

Лит.: Вигнер Е., Этюды о симметрии, пер. с англ., М., 1971.

С. С. Герштейн.

Симметри́я

в химии проявляется в геометрической конфигурации молекул, что сказывается на специфике физических и химических свойств молекул в изолированном состоянии, во внешнем поле и при взаимодействии с другими атомами и молекулами.

Большинство простых молекул обладает элементами пространственной симметрии равновесной конфигурации: осями симметрии, плоскостями симметрии и т. д. (см. Симметрия в математике). Так, молекула аммиака NH₃ обладает симметрией правильной треугольной пирамиды, молекула метана CH₄ — симметрией тетраэдра. У сложных молекул симметрия равновесной конфигурации в целом, как правило, отсутствует, однако приближённо сохраняется симметрия отдельных её фрагментов (локальная симметрия). Наиболее полное описание симметрии как равновесных, так и неравновесных конфигураций молекул достигается на основе представлений о т. н. динамических группах симметрии — группах, включающих не только операции пространственной симметрии ядерной конфигурации, но и операции перестановки тождественных ядер в различных конфигурациях. Например, динамическая группа симметрии для молекулы NH₃ включает также и операцию инверсии этой молекулы: переход атома N с одной стороны плоскости, образованной атомами Н, на другую её сторону.

Симметрия равновесной конфигурации ядер в молекуле влечёт за собой определённую симметрию волновых функций (См. Волновая функция) различных состояний этой молекулы, что позволяет проводить классификацию состояний по типам симметрии. Переход между двумя состояниями, связанный с поглощением или испусканием света, в зависимости от типов симметрии состояний может либо проявляться в молекулярном спектре (См. Молекулярные спектры), либо быть запрещенным, так что соответствующая этому переходу линия или полоса будет отсутствовать в спектре. Типы симметрии состояний, между которыми возможны переходы, влияют на интенсивность линий и полос, а также и на их поляризацию. Например, у гомоядерных двухатомных молекул запрещены и не проявляются в спектрах переходы между электронными состояниями одинаковой чётности, электронные волновые функции которых ведут себя одинаковым образом при операции инверсии; у молекул бензола и аналогичных соединений запрещены переходы между невырожденными электронными состояниями одного и того же типа симметрии и т. п. Правила отбора по симметрии дополняются для переходов между различными состояниями правилами отбора, связанными со Спином этих состояний.

У молекул с парамагнитными центрами симметрия окружения этих центров приводит к определённому типу анизотропии g-фактора (Ланде множитель), что сказывается на структуре спектров электронного парамагнитного резонанса (См. Электронный парамагнитный резонанс), тогда как у молекул, ядра атомов которых обладают ненулевым спином, симметрия отдельных локальных фрагментов ведёт к определённому типу расщепления по энергии состояний с различными проекциями ядерного спина, что сказывается на структуре спектров ядерного магнитного резонанса (См. Ядерный магнитный резонанс).

В приближённых подходах квантовой химии, использующих представление о молекулярных орбиталях, классификация по симметрии возможна не только для волновой функции молекулы в целом, но и для отдельных орбиталей. Если у равновесной конфигурации молекулы имеется плоскость симметрии, в которой лежат ядра, то все орбитали этой молекулы разбиваются на два класса: симметричные (σ) и антисимметричные (π) относительно операции отражения в этой плоскости. Молекулы, у которых верхними (по энергии) занятыми орбиталями являются π-орбитали, образуют специфические классы ненасыщенных и сопряжённых соединений с характерными для них свойствами. Знание локальной симметрии отдельных фрагментов молекул и локализованных на этих фрагментах молекулярных орбиталей позволяет судить о том, какие фрагменты легче подвергаются возбуждению и сильнее меняются в ходе химических превращений, например при фотохимических реакциях.

Представления о симметрии имеют важное значение при теоретическом анализе строения комплексных соединений, их свойств и поведения в различных реакциях. Теория кристаллического поля и теория поля лигандов устанавливают взаимное расположение занятых и вакантных орбиталей комплексного соединения на основе данных о его симметрии, характер и степень расщепления энергетических уровней при изменении симметрии поля лигандов. Знание одной лишь симметрии комплекса очень часто позволяет качественно судить о его свойствах.

В 1965 P. Вудворд и Р. Хоффман выдвинули принцип сохранения орбитальной симметрии при химических реакциях, подтвержденный впоследствии обширным экспериментальным материалом и оказавший большое влияние на развитие препаративной органической химии. Этот принцип (правило Вудворда — Хоффмана) утверждает, что отдельные элементарные акты химических реакций проходят с сохранением симметрии молекулярных орбиталей, или орбитальной симметрии. Чем больше нарушается симметрия орбиталей при элементарном акте, тем труднее проходит реакция.

Учёт симметрии молекул важен при поиске и отборе веществ, используемых при создании химических лазеров и молекулярных выпрямителей, при построении моделей органических сверхпроводников, при анализе канцерогенных и фармакологически активных веществ и т. д.

Лит.: Хохштрассер Р., Молекулярные аспекты симметрии, пер. с англ., М., 1968; Болотин А. Б., Степанов Н. ф.. Теория групп и ее применения в квантовой механике молекул, М., 1973; Вудворд Р., Хоффман Р., Сохранение орбитальной симметрии, пер. с англ., М., 1971.

Н. Ф. Степанов.

Симметри́я

в биологии (биосимметрия). На явление С. в живой природе обратили внимание ещё в Древней Греции пифагорейцы (5 в. до н. э.) в связи с развитием ими учения о гармонии. В 19 в. появились единичные работы, посвященные С. растений (французские учёные О. П. Декандоль, О. Браво), животных (немецкий — Э. Геккель), биогенных молекул (французские — А. Вешан, Л. Пастер и др.). В 20 в. биообъекты изучали с позиций общей теории С. (советские учёные Ю. В. Вульф, В. Н. Беклемишев, Б. К. Вайнштейн, голландский физикохимик Ф. М. Егер, английский кристаллографы во главе с Дж. Берналом) и учения о правизне и левизне (советские учёные В. И. Вернадский, В. В. Алпатов, Г. Ф. Гаузе и др.; немецкий учёный В. Людвиг). Эти работы привели к выделению в 1961 особого направления в учении о С. — биосимметрики.

Наиболее интенсивно изучалась структурная С. биообъектов. Исследование С. биоструктур — молекулярных и надмолекулярных — с позиций структурной С. позволяет заранее выявить возможные для них виды С., а тем самым число и вид возможных модификаций, строго описывать внешнюю форму и внутреннее строение любых пространственных биообъектов. Это привело к широкому использованию представлений структурной С. в зоологии, ботанике, молекулярной биологии. Структурная С. проявляется прежде всего в виде того или иного закономерного повторения. В классической теории структурной С., развитой немецким учёным И. Ф. Гесселем, Е. С. Федоровым (См. Фёдоров) и другими, вид С. объекта может быть описан совокупностью элементов его С., т. е. таких геометрических элементов (точек, линий, плоскостей), относительно которых упорядочены одинаковые части объекта (см. Симметрия в математике). Например, вид С. цветка флокса (рис. 1, в) — одна ось 5-го порядка, проходящая через центр цветка; производимые посредством её операции — 5 поворотов (на 72, 144, 216, 288 и 360°), при каждом из которых цветок совпадает с самим собой. Вид С. фигуры бабочки (рис. 2, б) — одна плоскость, делящая её на 2 половины — левую и правую; производимая посредством плоскости операция — зеркальное отражение, «делающее» левую половинку правой, правую — левой, а фигуру бабочки совмещающей с самой собой. Вид С. радиолярии Lithocubus geometricus (рис. 3, б), помимо осей вращения и плоскостей отражения содержит ещё и центр С. Любая проведённая через такую единственную точку внутри радиолярии прямая по обе стороны от неё и на равных расстояниях встречает одинаковые (соответственные) точки фигуры. Операции, производимые посредством центра С., — отражения в точке, после которых фигура радиолярии также совмещается сама с собой.

В живой природе (как и в неживой) из-за различных ограничений обычно встречается значительно меньшее число видов С., чем возможно теоретически. Например, на низших этапах развития живой природы встречаются представители всех классов точечной С. — вплоть до организмов, характеризующихся С. правильных многогранников и шара (см. рис. 3). Однако на более высоких ступенях эволюции встречаются растения и животные в основном т. н. аксиальной (вида n) и актиноморфной (вида n(m)С. (в обоих случаях n может принимать значения от 1 до ∞). Биообъекты с аксиальной С. (см. рис. 1) характеризуются лишь осью С. порядка n. Биообъекты сактиноморфной С. (см. рис. 2) характеризуются одной осью порядка n и пересекающимися по этой оси плоскостями m. В живой природе наиболее распространены С. вида n = 1 и 1․m = m, называется соответственно асимметрией (См. Асимметрия) и двусторонней, или билатеральной, С. Асимметрия характерна для листьев большинства видов растений, двусторонняя С. — до известной степени для внешней формы тела человека, позвоночных животных и многих беспозвоночных. У подвижных организмов такая С., по-видимому, связана с различиями их движении вверх-вниз и вперёд-назад, тогда как их движения направо-налево одинаковы. Нарушение у них билатеральной С. неизбежно привело бы к торможению движения одной из сторон и превращению поступательного движения в круговое. В 50—70-х гг. 20 в. интенсивному изучению (прежде всего в СССР) подверглись т. н. диссимметрические биообъекты (рис. 4). Последние могут существовать по крайней мере в двух модификациях — в форме оригинала и его зеркального отражения (антипода). При этом одна из этих форм (неважно какая) называется правой или D (от лат. dextro), другая — левой или L (от лат. laevo). При изучении формы и строения D- и L-биообъектов была развита теория диссимметризующих факторов, доказывающая возможность для любого D- или L-объекта двух и более (до бесконечного числа) модификаций (см. также рис. 5); одновременно в ней содержались и формулы для определения числа и вида последних. Эта теория привела к открытию т. н. биологической изомерии (См. Изомерия) (разных биообъектов одного состава; на рис. 5 изображены 16 изомеров листа липы).

При изучении встречаемости биообъектов было установлено, что в одних случаях преобладают D-, в других L-формы, в третьих они представлены одинаково часто. Бешаном и Пастером (40-е гг. 19 в.), а в 30-х гг. 20 в. советским учёным Г. Ф. Гаузе и другими было показано, что клетки организмов построены только или преимущественно из L-amинокислот, L-белков, D-дезоксирибонуклеиновых кислот, D-сахаров, L-алкалоидов, D- и L-терпенов и т. д. Столь фундаментальная и характерная черта живых клеток, названная Пастером диссимметрией протоплазмы, обеспечивает клетке, как было установлено в 20 в., более активный обмен веществ и поддерживается посредством сложных биологических и физико-химических механизмов, возникших в процессе эволюции. Сов. учёный В. В. Алпатов в 1952 на 204 видах сосудистых растений установил, что 93,2% видов растений относятся к типу с L-, 1,5% — с D-ходом винтообразных утолщений стенок сосудов, 5,3% видов — к типу рацемическому (число D-сосудов примерно равно числу L-сосудов).

При изучении D- и L-биообъектов было установлено, что равноправие между D-и L-формами в ряде случаев нарушено из-за различия их физиологических, биохимических и др. свойств. Подобная особенность живой природы была названа диссимметрией жизни. Так, возбуждающее влияние L-amинокислот на движение плазмы в растительных клетках в десятки и сотни раз превосходит такое же действие их D-форм. Многие антибиотики (пенициллин, грамицидин и др.), содержащие D-amинокислоты, обладают большей бактерицидностью, чем их формы c L-amинокислотами. Чаще встречающиеся винтообразные L-kopнеплоды сахарной свёклы на 8—44% (в зависимости от сорта) тяжелее и содержат на 0,5—1% больше сахара, чем D-kopнеплоды.

Изучение наследования признаков у D- и L-форм показало, что их правизна или левизна может быть наследственной, ненаследственной или имеет характер длительной Модификации. Это означает, что по крайней мере в ряде случаев правизну-левизну организмов и их частей можно изменить действием мутагенных или немутагенных химических соединений. В частности, D-штаммы (по морфологии колоний) микроорганизма Bacillus mycoides при выращивании их на агаре с D-сахарозой, L-днгитонином, D-винной кислотой можно превратить в L-штаммы, а L-штаммы можно превратить в D-штаммы, выращивая их на агаре с L-винной кислотой и D-аминокислотами. В природе взаимопревращения D- и L-форм могут происходить и без вмешательства человека. При этом смена видов С. в эволюции происходила не только у диссимметрических организмов. В результате возникли многочисленные эволюционные ряды С., специфичные для тех или иных ветвей древа жизни.

Структурная С. биосистем изучается также с точки зрения более общих типов С. — цветной С., С. подобия, антисимметрии и др.

Разработка учения о С. биообъектов позволит углубить представления как об их свойствах и функциях, так и о происхождении и сущности жизни (См. Жизнь).

Лит.: Гаузе Г. Ф., Асимметрия протоплазмы, М. — Л., 1940; Вайнштейн Б. К., Дифракция рентгеновых лучей на цепных молекулах, М., 1963; Беклемишев В. Н., Основы сравнительной анатомии беспозвоночных, 3 изд., т. 1—2, М., 1964; Урманцев Ю. А., Симметрия природы и природа симметрии, М., 1974; Ludwig W., Das Rechts-Links-Problem im Tierreich und beim Menschen..., B. — Hdib. — N. Y., 1970; Bentley R., Molecular asymmetry in biology, v. 1—2, N. Y., 1969—70.

Ю. А. Урманцев.

Рис. 3г. Биообъекты с совершенной точечной симметрией. Радиолярии: частица аденовируса в форме икосаэдра.

Рис. 3д. Биообъекты с совершенной точечной симметрией. Радиолярии: модель аденовируса в форме икосаэдра.

Рис. 1. Аксиальная симметрия: а — лист плюща; б — медуза Aurelia insulinda; в — цветок флокса. При повороте этих фигур вокруг оси симметрии равные части каждого из них совпадут друг с другом соответственно 1, 4, 5 раз (оси 1, 4, 5-го порядка). Лист плюща асимметричен.

Рис. 2. Актиноморфная симметрия; а — бабочка; б — лист кислицы; симметрии соответственно 1․m, 3․m. Бабочке свойственна двусторонняя, или билатеральная, симметрия.

Рис. 3. Биообъекты с совершенной точечной симметрией. Радиолярии: а — шарообразная Ethmosphaera polysyphonia, содержащая бесконечное число осей бесконечного порядка + бесконечное число плоскостей симметрии + центр симметрии; б — кубические Hexastylus marginatus и Lithocubus geometricus, характеризующиеся симметрией куба; в — додекаэдрическая Circorhegma dodecahedra, характеризующаяся симметрией правильных многогранников — додекаэдра и икосаэдра.

Рис. 4. Диссимметрические D- и L-биообъекты: а — цветки анютиных глазок; б — раковины прудовика; в — молекулы винной кислоты; г — листья бегонии.

Рис. 5. Лист липы, иллюстрирующий возможность существования диссимметрических объектов более чем в двух (в данном случае в 16) модификациях. Для листа липы диссфакторы — это 4 морфологических признака: преимущественные ширина (ш) и длина (д), асимметричные жилкование (ж) и загиб главной жилки (г). Так как каждый из диссфакторов может проявляться двояко — в (+)- или ( — )-формах — и соответственно приводить к D- или L-мoдификациям, то число возможных модификаций будет 2⁴ = 16, а не две.

1. симметри́я;
2. симметри́и;
3. симметри́и;
4. симметри́й;
5. симметри́и;
6. симметри́ям;
7. симметри́ю;
8. симметри́и;
9. симметри́ей;
10. симметри́ею;
11. симметри́ями;
12. симметри́и;
13. симметри́ях.

жен. греч, соразмер, соразмерность, равно (или разно)подобие, равномерие, равнообразие, соответствие, сходность; одинаковость, либо соразмерное подобие расположенья частей целого, двух половин; сообразие, сообразность; противоравенство, противоподобие. Симметрическое расположенье дома, фасада, равнообразное на обе половины. Полная симметрия докучает, а изящное разнообразие красит и тешит вкус.

СИММЕ́ТРИЯ, -и и СИММЕТРИЯ, -и, жен. Соразмерность, одинаковость в расположении частей чего-н. по противоположным сторонам от точки, прямой или плоскости. С. в строении кристаллов. Соблюдать симметрию.

СИММЕ́ТРИЯ, -и и СИММЕТРИЯ, -и, жен. Соразмерность, одинаковость в расположении частей чего-н. по противоположным сторонам от точки, прямой или плоскости. С. в строении кристаллов. Соблюдать симметрию.

-и, ж.

Соразмерное, гармоничное, пропорциональное расположение частей в исследуемом, рассматриваемом объекте.

Симметрия геометрических фигур. Симметрия частей человеческого тела.

□

Полинялые штофные кресла и диваны стояли в печальной симметрии около стен. Пушкин, Пиковая дама.

Ограда около дома каменная, с одной стороны калитка истинная, с другой ложная, для симметрии. Герцен, Долг прежде всего.

[От греч. συμμετρία — соразмерность]

СИММЕТРИ́Я, симметрии, мн. нет, жен. (греч. symmetria). Пропорциональность, соразмерность в расположении частей целого в пространстве, полное соответствие (по расположению, величине) одной половины целого другой половине. Симметрия в планировке зданий на площади. Соблюдать симметрию.

ж.

Соразмерное, пропорциональное расположение частей чего-либо по отношению к центру, середине.

СИММЕТРИЯ - в геометрии - свойство геометрических фигур. Две точки, лежащие на одном перпендикуляре к данной плоскости (или прямой) по разные стороны и на одинаковом расстоянии от нее, называются симметричными относительно этой плоскости (или прямой). Фигура (плоская или пространственная) симметрична относительно прямой (оси симметрии) или плоскости (плоскости симметрии), если ее точки попарно обладают указанным свойством. Фигура симметрична относительно точки (центр симметрии), если ее точки попарно лежат на прямых, проходящих через центр симметрии, по разные стороны и на равных расстояниях от него.

СИММЕТРИЯ (от греч. symmetria - соразмерность) - в широком смысле - инвариантность (неизменность) структуры, свойств, формы материального объекта относительно его преобразований (т. е. изменений ряда физических условий). Симметрия лежит в основе законов сохранения.

СИММЕТРИЯ (от греческого symmetria - соразмерность), в широком смысле - инвариантность (неизменность) структуры, свойств, формы (например, в геометрии, кристаллографии) материального объекта относительно его преобразований (т.е. изменений ряда физических условий). Симметрия лежит в основе сохранения законов.

симме́трия Возм., через польск. symetria из лат. symmetria от греч. συμμετρία. Едва ли непосредственно из греч., вопреки Горяеву (ЭС 451), Преобр. (II, 286).

жен. symmetryсимметрия: symmetry

balance, symmetry

f.symmetry, reflection

ж

Symmetrie f, pl -rien

симметрияSymmetrie

симметрия ж Symmetrie f, pl -ri|en

симметрияEbenmaß

ж.

symétrie f

ж.

simetría f

ж.

simmetria

СИММЕТРИЯ

(от греч. symmetria — соразмерность) законов физики. Если законы, устанавливающие соотношение между величинами, характеризующими физ. систему, или определяющие изменение этих величин со временем, не меняются при определённых операциях (преобразованиях), к-рым может быть подвергнута система, то говорят, что эти законы обладают С. (или инвариантны) относительно данных преобразований. В матем. отношении преобразования С. составляют группу. Опыт показывает, что физ. законы симметричны относительно след. наиб. общих преобразований.

Непрерывные преобразования пространства-времени

1) Перенос (сдвиг) системы как целого в пространстве. Это и последующие пространственно-временные преобразования можно понимать в двух смыслах: как активное преобразование — реальный перенос физ. системы относительно выбранной системы отсчёта или как пассивное преобразование -параллельный перенос системы отсчёта. С. физ. законов относительно сдвигов в пр-ве означает эквивалентность всех точек пр-ва, т. е. отсутствие в нём выдел. точек (однородность пр-ва).

2) Поворот системы как целого в пространстве. С. физ. законов относительно этого преобразования означает эквивалентность всех направлений в пр-ве (изотропию пр-ва).

3) Изменение начала отсчёта времени (сдвиг во времени). С. относительно этого преобразования означает, что физ. законы не меняются со временем.

4) Переход к системе отсчёта, движущейся относительно данной системы с постоянной (по направлению и величине) скоростью. С. относительно этого преобразования означает, в частности, эквивалентность всех инерциальных систем отсчёта.

Все указанные С. отражают псевдоевклидову геометрию четырёхмерного Минковского пространства-времени.

Дискретные преобразования пространства-времени.

Создание релятив. квант. теории привело к открытию нового типа С., являющейся, в отличие от перечисл. выше, дискретной С. Это — С. законов природы относительно одноврем. проведения преобразований пространственной инверсии (Р), обращения времени (Т) и зарядового сопряжения (С) — замены ч-ц на соответствующие античастицы (см. ТЕОРЕМА СРТ). Существование СРТ-симметрии явл. следствием релятивистской инвариантности и локальности физ. вз-ствий. Относительно отд. дискретных преобразований С, Р и Т оказываются симметричными процессы, обусловленные сильными и эл.-магн. вз-ствиями. В процессах слабого вз-ствия нарушается С. относительно пространств. инверсии и зарядового сопряжения, однако сохраняется С. относительно преобразования комбинированной инверсии (СР) и, следовательно, согласно СРТ-теореме, относительно обращения времени (Т). Исключением явл. нарушение СР-симметрии в распадах долгоживущих K0L-мезонов (см. К-МЕЗОНЫ), природа к-рой ещё не выяснена.

Симметрия относительно перестановки одинаковых частиц.

При квантовомеханич. описании систем, содержащих одинаковые ч-цы, эта С. приводит к принципу неразличимости одинаковых ч-ц, к полной их тождественности. Волн. ф-ция системы симметрична относительно перестановки любой пари одинаковых ч-ц с целым спином (т. е. их пространственных и спиновых переменных) и антисимметрична относительно такой перестановки для ч-ц с полуцелым спином. Связь спина и статистики явл. следствием релятив. инвариантности теории и тесно связана с СРТ-теоремой.

Внутренние симметрии Изотопическая инвариантность сильного взаимодействия и унитарная SU(3)-симметрия.

Сильное вз-ствие симметрично относительно поворотов в особом «изотопическом пр-ве». С матем. точки зрения, изотопич. С. отвечает преобразованиям группы унитарной симметрии SU(2). Одним из проявлений этой С. явл. зарядовая независимость яд. сил (см. ИЗОТОПИЧЕСКАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ). Изотопич. инвариантность не явл. точной С. природы, т. к. она нарушается эл.-магн. вз-ствием ч-ц и различием в массах u- и d-кварков.

Изотопич. С. представляет собой часть более широкой приближённой С. сильного взаимодействия — унитарной SU(3)-С., объединяющей в семейства частицы, принадлежащие к различным изотопич. мультиплетам и обладающие разл. значениями странности. Унитарная С. оказывается значительно более нарушенной, чем изотопическая, в связи с тем, что масса странного s-кварка довольно сильно отличается от масс u- и d-кварков. Открытие адронов с ещё более массивными с- и b-кварками указывает на наличие более высокой унитарной С. по типу («аромату») кварков. При достигнутых энергиях эти С. очень сильно нарушены, однако возможно, что при энергиях, отвечающих т. Н. «великому объединению», происходит восстановление С.

«Цветовая» симметрия.

Согласно совр. представлениям, каждый тип кварка может находиться в трёх разл. состояниях, характеризуемых значениями особого квант. числа — «цвета». Сильное вз-ствие симметрично относительно преобразования «цветов» кварков, к-рые составляют «цветовую» группу SU(3). Предполагается, что «цветовая» SU(3)-С,— точная (её нарушение могло бы приводить к вылетанию отд. кварков из адронов; (см. УДЕРЖАНИЕ ЦВЕТА)).

Симметрия между кварками и лептонами.

На опыте было замечено, что существует С. между электрослабым взаимодействием кварков и лептонов. Эта С. служит одним из оснований для поисков единой теории слабого, эл.-магн. и сильного вз-ствий («великого объединения»).

Суперсимметрия.

С., связывающая поля, к-рым отвечают как ч-цы с целыми спинами (бозоны), так и с полуцельными (фермионы). (см. СУПЕРСИММЕТРИЯ).

Калибровочная симметрия.

С., отвечающая тому факту, что нек-рые сохраняющиеся физ. величины, обобщённо называемые «зарядами» (напр., электрич. заряд, гиперзаряд, изотопический спин, «цвет»), явл. одновременно источниками полей, переносящих вз-ствия между ч-цами, обладающими данным типом «заряда». Закону сохранения обобщённых «зарядов» отвечает инвариантность лагранжиана системы относительно определённой группы преобразований — калибровочных преобразований — с нек-рыми произвольными параметрами, не зависящими от пространственно-временной точки (глобальная симметрия). Так, закону сохранения электрич. заряда соответствует инвариантность лагранжиана относительно умножения волн. ф-ций заряж. ч-ц (yi) на фазовый множитель:

где zi — заряд ч-цы (в ед. элем. электрич. заряда), а b — произвольный числовой множитель. Аналогично сохранение изотопич. спина или «цветового заряда» вытекает из инвариантности лагранжиана относительно группы специальных унитарных преобразований (соответственно SU(2) и SU(3)) с произвольными пост. параметрами. Физ. требование того, чтобы указанные С. выполнялись не только глобально, но и л о к а л ь н о, т. е. для преобразований, параметры к-рых явл. произвольными ф-циями пространственно-временной точки (напр., в (1) b являлся бы произвольной ф-цией координат и времени: b=f(x, у, z, t)l, может быть выполнено при условии, если одновременно определённым образом преобразуются и поля, источниками к-рых служат данные заряды. Возникающие поля оказываются определёнными с точностью до произвольных ф-ций, компенсирующих произвол в выборе локальных параметров преобразования С. Из ур-ний движения следует, что в пространств. отношении эти компенсирующие поля должны быть векторными полями. Требование независимости физ. величин от произвола, с к-рым определены компенсирующие поля, т. <е. от калибровки, однозначно приводит к ур-нию движения и законам вз-ствия компенсирующих, или калибровочных, полей. Из этого требования также следует, что масса покоя ч-ц (квантов полей), отвечающих калибровочным полям, должна быть равна нулю. На основе калибровочной С. построены совр. теории электрослабого и сильного вз-ствий (последней явл. квантовая хромодинамика). Для объяснения отличной от нуля массы промежуточных векторных бозонов W±, Z°, являющихся квантами калибровочных полей и выступающих в кач-ве переносчиков короткодействующего слабого вз-ствия, предложен механизм спонтанного нарушения симметрии.

Симметрия и законы сохранения.

Согласно Нётер теореме, каждому преобразованию С., характеризуемому одним непрерывно изменяющимся параметром, соответствует величина, к-рая сохраняется (не меняется со временем) для системы, обладающей этой С. Из С. физ. законов относительно сдвига замкнутой системы в пр-ве, поворота её как целого и изменения начала отсчёта времени следуют соответственно законы сохранения импульса, момента кол-ва движения и энергии; из С. относительно локальных калибровочных преобразований — законы сохранения зарядов (электрического, гиперзаряда и др.); из изотопич. инвариантности — сохранение изотопич. спина в процессах сильного вз-ствия. Дискр. С. в классич. механике не приводят к к.-л. законам сохранения. Однако в квант. механике, в к-рой состояние системы описывается волн. ф-цией, или для волн. полей (напр., эл.-магн. поля), где справедлив суперпозиции принцип, из существования дискр. С. следуют законы сохранения нек-рых специфич. величин, не имеющих аналогов в классич. механике (напр., пространственной, зарядовой и комбинированной (СР-) чётностей; (см. G-ЧЁТНОСТЬ).

Симметрия квантовомеханических систем и вырождение.

Если квантовомеханич. система обладает определённой С., то операторы сохраняющихся физ. величин, соответствующих этой С., коммутируют с гамильтонианом системы. Если нек-рые из этих операторов не коммутируют между собой, уровни энергии системы оказываются вырожденными (см. ВЫРОЖДЕНИЕ): определённому уровню энергии отвечает неск. разл. состояний, преобразующихся друг через друга при преобразованиях С. В матем. отношении эти состояния представляют базис неприводимого представления группы С, системы. Это обусловливает плодотворность применения методов теории групп в квант. механике.

Помимо вырождения уровней энергии, связанного с явной С. системы (напр., относительно поворотов системы как целого), в ряде задач существует дополнит. вырождение, связанное с т. н. скрытой С. вз-ствия. Такие скрытые С. существуют, напр., для кулоновского вз-ствия и для изотропного осциллятора. Скрытая С. кулоновского вз-ствия, приводящая к вырождению состояний с разл. орбит. моментами, обусловлена явной С. кулоновского вз-ствия в четырёхмерном импульсном пр-ве.

Если система, обладающая к.-л. С., находится в поле сил, нарушающих эту С. (но достаточно слабых, чтобы их можно было рассматривать как малое возмущение), происходит расщепление вырожд. уровней энергии исходной системы: разл. состояния, к-рые в силу С. системы имели одинаковую энергию, под действием «несимметричного» возмущения приобретают разл. энергетич. смещения. В случаях, когда возмущающее поле обладает нек-рой С., составляющей часть С. исходной системы, вырождение уровней энергии снимается не полностью: часть уровней остаётся вырожденной в соответствии с С. вз-ствия, «включающего» возмущающее поле.

Наличие в системе вырожденных по энергии состояний в свою очередь указывает на существование С. вз-ствия и позволяет в принципе найти эту С., когда она заранее не известна. Последнее обстоятельство играет важнейшую роль, напр., в физике элем. ч-ц.

Динамические симметрии.

Очень плодотворно понятие т. н. динамической С. системы, к-рое возникает, когда рассматриваются преобразования, включающие переходы между состояниями системы с разл. энергиями. Неприводимым представлением группы динамич. С. будет весь спектр стационарных состояний системы. Понятие динамич. С. можно распространить и на случаи, когда гамильтониан системы зависит явно от времени, причём в одно неприводимое представление динамич. группы С. объединяются в этом случае все состояния квантовомеханич. системы, не являющиеся стационарными (т. е. не обладающие заданной энергией).

В определённом смысле к динамич. С. может быть отнесена также киральная симметрия.

СИММЕТРИЯ, в биологии - анатомическое описание формы тела или геометрического рисунка растения или животного. Может быть использована в классификации живых организмов (ТАКСОНОМИИ). В математике симметрией является схожесть, или соответствие, между частями объекта. Симметричной фигурой считается фигура, у которой имеется линия или точка, относительно которой определенные действия над исходной фигурой приводят к созданию такой же фигуры. Например, круг имеет осевую симметрию относительно его центральной точки: его можно вращать как угодно вокруг этой точки, а его форма не будет меняться. Кругу также свойственна отражающая симметрия - относительно его диаметра: его форма не меняется при отражении относительно этой линии.

СИММЕТРИЯ

(от греч. — соразмерность), понятие, характеризующее переход объектов в самих себя или друг в друга при осуществлении над ними оп-редел. преобразований (преобразований С.); в широком смысле — свойство неизменности (инвариантности) некоторых сторон, процессов и отношений объектов относительно некоторых преобразований. В роли симметричных объектов могут выступать самые различные образования — вещи, процессы и взаимодействия материальной действительности, геометрич. фигуры, матема-тич. уравнения, живые организмы, произведения искусства и т. п. Примерами преобразований С. (которые могуг быть как реальными, так и мысленными) являются пространств. сдвиги, вращения, зеркальное отражение в пространстве, сдвиги и обращение времени, зарядовое сопряжение (замена частицы на античастицу) и т. п., а также их комбинации.

Идея С. выполняет важную методологич. функцию в математике, физике, химии, биологии, является конструктивным принципом в технике, а также играет существ. роль в теории исква. Широкое применение понятия С. в различных сферах человеч. деятельности привело к тенденции рассматривать С. как самостоят. филос. категорию, противопоставляя ей асимметрию.

Истоки понятия С. уходят корнями в антич. представление о гармонии, имевшее преим. эстетич. смысл соразмерности, уравновешенности, упорядоченности, красоты и совершенства. В этой форме С. выступала как натурфилос. космологич. принцип и канон художеств. творчества. Специальнонауч. разработка понятия С. началась лишь в 19 в. в кристаллографии, где И. Гессель (Франция), А. Шёнфлис (Германия) и рус. учёные А. В. Гадолин и Е. С. Фёдоров создали учение о пространств. С., в котором было выделено 230 возможных групп симметрии. Нем. математик Ф.Клейн, рассматривавший различные геометрии как теории инвариантов определ. групп преобразований, внёс существ. вклад в формирование совр. понятия С., тесно связанного с понятием инвариантности и теорией групп. Теоремы Э. Нётер (Германия) позволили связать пространственновременную С. (инвариантность) уравнений математич. физики с сохранением фундаментальных физич. величин — энергии, импульса, момента количества движения. Исследование взаимосвязи принципов С. с законами сохранения стало одним из магистральных направлений развития физики.

Новые аспекты физич. содержания С. в рамках теоретико-группового подхода были вскрыты специальной и общей теориями относительности, а также квантовой механикой и квантовой теорией поля. Идея С. лежит в основе мн. методологич. исследований содержания совр. физики: использование С. как средства унификации физики, трактовка физич. реальности с помощью понятия инвариантности и др.

Важную.роль С. играет также в химии и биологии, где, однако, нередко на передний план выступает асимметрия как определ. нарушение С., что особенно характерно для живых организмов на молекулярном и морфологич. уровнях их структурной организации. В ходе эволюц. развития материи от химич. формы движения до биологической обнаруживается общая тенденция уменьшения степени С. и соответственно возрастания асимметрии.

В филос. плане С. выступает как особый вид структурной организации объектов. С одной стороны, С. понимается как единство тождества и различия, при этом объекты, являющиеся исходным пунктом и результатом преобразований С., будучи различными, рассматриваются как эквивалентные по ряду существ. признаков. С др. стороны, С. трактуется как единство сохранения и изменения, причём преобразования С., будучи изменениями объектов, понимаются как не затрагивающие их сохраняющиеся характеристики. Категории тождества и различия, сохранения и изменения, неразрывно связанные с категориями части и целого (структуры и элементов), характеризуют диалектич. взаимосвязи объекта и раскрывают философское содержание понятия С.

Овчинников Н. Ф., Принципы сохранения, М.,1966; С., инвариантность, структура, М.,1967; Вейль Г., С., пер. с англ., М.,1968; Вигнер Е., Этюды о С., пер. с англ., М.,1971; Шубников А. В., Копцик В. А., С, в науке и искусстве.?., 19722; Урманцев Ю. А., С. природы и природа С., М.,1974; Принцип С., М.,1978; Узоры С., пер. с англ., М., 1980.

СИММЕ́ТРИЯ -и; ж. [от греч. symmetria - соразмерность] Соразмерность, полное соответствие в расположении частей целого относительно центра, средней линии; строгая параллельность, одинаковость в расположении, размещении чего-л. С. геометрических фигур. С. частей человеческого тела. Чертёж построен в полном соответствии с законами симметрии. Приделал ещё одну деталь, для симметрии. Для симметрии разбили напротив вторую клумбу. Это цветовое пятно разрушает строгую симметрию рисунка.

* * *

I

(от греч. symmetría — соразмерность), в широком смысле — инвариантность (неизменность) структуры, свойств, формы материального объекта относительно его преобразований (то есть изменений ряда физических условий). Симметрия лежит в основе законов сохранения.

II

(геом.), свойство геометрических фигур. Две точки, лежащие на одном перпендикуляре к данной плоскости (или прямой) по разные стороны и на одинаковом расстоянии от неё, называются симметричными относительно этой плоскости (или прямой). Фигура (плоская, рисунок слева, или пространственная, рисунок справа) симметрична относительно прямой (оси симметрии) или плоскости (плоскости симметрии), если её точки попарно обладают указанным свойством. Фигура симметрична относительно точки (центр симметрии), если её точки попарно лежат на прямых, проходящих через центр симметрии, по разные стороны и на равных расстояниях от него.

(от греч.symmetria — соразмерность) — равномерное, сходное расположение элементов формы какого-нибудь искусственного предмета; в широком смысле слова — инвариантность (неизменность) структуры, формы материального объекта (системы объектов) относительно его преобразования, в силу чего симметрия связана с сохранением тех или иных величин, характеризующих данный объект (систему), например, энергии, импульса и т. д. (теорема Нетер в теоретической физике). (См. также Сингонии, Кристаллы, Кристаллография).

[συμμετρια — ρоразмерность] — закономерная повторяемость равных частей, слагающих фигуру. С. описывается с помощью элементов симметрии, дающих понятие о соответственных симметрических преобразованиях. Учение о симметрии, развитое в трудах Браве, Гесселя, Гадолина, Федорова, Кюри и др., лежит в основе теоретической кристаллографии. См. Антисимметрия, Гомология, Симметрия динамическая, Симметрия криволинейная, Симметрия подобия, Симметрия цветная.

- 1) С.- инволютивное ортогональное преобразование, изменяющее ориентацию; инволютивность преобразования означает, что двукратное применение его дает тождественное преобразование. Напр., отражение относительно плоскости a в пространстве (относительно прямой ана плоскости) есть С., при к-рой каждая точка Мпереходит в точку М' такую, что отрезок ММ' перпендикулярен плоскости a (прямой а) и делится ею пополам. Плоскость a (прямая а).наз. плоскостью (осью) С. (рис. 1). Любое ортогональное преобразование можно осуществить последовательным выполнением конечного числа отражений.

2) С. - свойство геометрич. фигуры Ф совмещаться с собой при действии нек-рой группы Gортогональных преобразований, наз. группой симметрии Ф; таким образом, С. отражает нек-рую правильность формы фигуры, инвариантность ее при действии преобразований из G. Напр., если на плоскости фигура Ф такова, что повороты относительно какой-либо точки О на угол 360^o/n, n. - целое, переводят ее в себя, то Ф обладает С. n-го порядка, а Оназ. центром С. n-го порядка (рис. 2); здесь G - циклическая группа ге-го порядка. Окружность обладает С. бесконечного порядка (поскольку совмещается с собой поворотом на любой угол).

Простейшими видами пространственной С., помимо С., порожденной отражениями, являются:

а) С. относительно прямой n-го порядка; и этом случае фигура накладывается на себя вращением вокруг нек-рой прямой (оси С.) на угол 360^o/n. Напр., плоская фигура, симметричная относительно прямой АВ, имеет в пространстве эту прямую осью С. 2-го порядка (рис. 3). Куб имеет прямую А В осью С. 3-го порядка, а прямую CD- осью С. 4-го порядка (рис. 4); вообще, правильные и полуправильные многогранники симметричны относительно ряда прямых. Расположение, количество и порядок осей С. играют основную роль в кристаллографии.

б) С. переноса; в этом случае фигура накладывается на себя переносом вдоль нек-рой прямой (о с и переноса) на какой-либо отрезок.

Напр., фигура с единственной осью переноса обладает бесконечным множеством плоскостей С. (поскольку любой перенос можно осуществить двумя последовательными отражениями), перпендикулярных оси переноса (рис. 5).

Фигуры, имеющие несколько осей переноса, играют важную роль при исследовании кри-сталлич. решеток.

Комбинации С., порожденные отражениями и вращениями (исчерпывающие простейшие виды С. конечных фигур), а также переносами, представляют интерес и являются предметом исследования в различных областях естествознания, искусства и т. д.

Напр., винтовая С., осуществляемая поворотом на нек-рый угол вокруг оси, дополненным переносом вдоль той же оси, наблюдается в расположении листьев у растений (рис. 6). С. широко распространена как один из приемов построения бордюров и орнаментов (плоских фигур, обладающих одной или несколькими С. переноса в сочетании с отражениями) (рис. 7, 8).

Лит.:[1] Шубников А. В., Симметрия. (Законы симметрии и их применение в науке, технике и прикладном искусстве), М.- Л., 1940;[2] Кокстер Г. С. М., Введение в геометрию, пер. с англ., М., 1966; [3] Вейль Г., Симметрия, пер. с англ., М., 1968. М. И. Войцеховский.

(от греч. symmetria - соразмерность) - 1) В широком смысле - инвариантность (неизменность) структуры материального объекта относительно его преобразований (т. е. изменений ряда физ. условий). С. лежит в основе сохранения законов.

2) Свойство геом. фигур. Две точки, лежащие на одном перпендикуляре к данной плоскости (или прямой) по разные стороны и на одинаковом расстоянии от неё, наз. симметричными относительно этой плоскости (или прямой). Фигура (плоская или пространственная) симметрична относительно прямой или плоскости, если её точки попарно обладают указанным свойством. Фигура симметрична относительно точки (центра), если её точки попарно лежат на прямых, проходящих через центр, по разные стороны и на равных расстояниях от него.

СИММЕТРИЯ — (1) в геометрии та кое расположение точек относительно точки (центра симметрии), прямой (оси симметрии) млн. плоскости (плоскости симметрии), при котором каждые две соответствующие точки, лежащие на одной прямой, проходящей через центр симметрии, на одном перпендикуляре к оси или плоскости симметрии, находятся от них на одинаковом расстоянии. Понятие С. часто используют в кристаллографии, кристаллохимии, кристаллофизике, кристаллооптике, при решении задач с геометрическими инженерными построениями, при построении графиков функций, в архитектуре и др.; (2) С. законов физики — фундаментальное свойство природы, с которым связаны законы сохранения энергии (см.), импульса (см.) и др., свойства элементарных частиц, строение атомов и молекул и т.д.; (3) С. кристалла закономерность расположения атомов в кристаллической решётке, благодаря чему в кристалле присутствует несколько равных частей в расположении граней, рёбер и вершин относительно точки в середине кристалла (центр симметрии), когда любая точка кристалла имеет др. соответствующую ей точку, лежащую на таком же расстоянии от центра в противоположном направлении. Линия, при повороте вокруг которой на определённый угол кристалл занимает положение, одинаковое с прежним, называется осью симметрии; плоскость, относительно которой одна половина кристалла является зеркальным отображением др., называется плоскостью симметрии.