«Лиувилля теорема»

1) в механике — теорема, утверждающая, что Фазовый объём системы, подчиняющейся уравнениям механики в форме Гамильтона (см. Механики уравнения канонические), остаётся постоянным при движении системы. Л. т. установлена в 1838 французским учёным Ж. Лиувиллем (См. Лиувилль).

Состояние механической системы, определяемое обобщенными координатами (См. Обобщённые координаты)q₁, q₂, ..., q_N и канонически сопряжёнными им обобщёнными импульсами (См. Обобщённые импульсы)р₁, p₂, ..., p_N (где N — число степеней свободы системы), можно рассматривать как точку с прямоугольными декартовыми координатами q₁, q₂, ..., q_N, p₁, p₂, ..., p_N в пространстве 2N измерений, называемом фазовым пространством (См. Фазовое пространство). Эволюция системы во времени представится как движение такой фазовой точки в 2N-мерном пространстве. Если в начальный момент времени фазовые точки непрерывно заполняли некоторую область в фазовом пространстве, а с течением времени перешли в другую область этого пространства, то, согласно Л. т., соответствующие фазовые объёмы равны между собой. Т. о., движение точек, изображающих состояния системы в фазовом пространстве, подобно движению несжимаемой жидкости.

Л. т. позволяет ввести функцию распределения (См. Функция распределения) частиц системы в фазовом пространстве и является основой статистической физики (См. Статистическая физика).

Лит.: Синг Дж. Л., Классическая динамика, пер. с англ., М., 1963; Гиббс Дж., Основные принципы статистической механики, пер. с англ., М., 1946 Леонтович М. А., Статистическая физика, М. — Л., 1944.

Д. Н. Зубарев.

2) В теории аналитических функций — теорема, утверждающая, что всякая Целая функция, ограниченная во всей плоскости, тождественно равна постоянной. Л. т, названа по имени Ж. Лиувилля, положившего её в основу своих лекций (1847) по теории эллиптических функций; впервые же она была сформулирована и доказана в 1844 О. Коши.

ЛИУВИЛЛЯ ТЕОРЕМА

теорема механики, утверждающая, что фазовый объём системы, подчиняющейся ур-ниям механики в форме Гамильтона (см. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ), остаётся постоянным при движении системы. Теорема установлена франц. учёным Ж. Лиувиллем (J. Liouville) в 1838.

Состояние механич. системы, определяемое обобщёнными координатами q1, q2,..., qN и канонически сопряжёнными обобщёнными импульсами р1, р2,..., PN (где N — число степеней свободы системы), можно изобразить точкой с координатами q1, q2,..., qN, p1, p2,... pN в пр-ве 2N измерений, наз. фазовым пространством. Изменение состояния системы во времени представится как движение такой фазовой точки в 2N-мерном пр-ве. Если в нач. момент времени фазовые точки р°, q° непрерывно заполняли нек-рую область G0 в фазовом пр-ве, а с течением времени перешли в др. область Gt этого пр-ва, то, согласно Л. т., соответствующие фазовые объёмы — 2N-мерные интегралы — равны между собой:

?G0dp0dq0=?G1dpdq.

Т. о., движение точек, изображающих состояния системы в фазовом пр-ве, подобно движению несжимаемой жидкости. Л. т. позволяет ввести функцию распределения плотности вероятности нахождения фазовой точки в элементе фазового объёма dpdq и поэтому явл. основой статистической физики.

- 1) Л. т. об ограниченных целых аналитических функциях: если целая функция f(z) комплексных переменных z=(z₁..., z_n) ограничена, т. е.

то f(z) есть константа. Это предложение, одно из основных в теории аналитич. функций, впервые, по-видимому, опубликовано в 1844 О. Коши [1] для случая n=1; Ж. Лиувилль (J. Liouville) излагал его на лекциях в 1847, откуда и произошло название.

Л. т. допускает обобщения в различных направлениях. Напр., если f(z) - целая функция в и для нек-рого целого то f(z) есть многочлен по переменным (z₁..., z_n) степени не выше те. Далее, если и(х) - действительная гармонич. функция во всем числовом пространстве причем

2) Л. т. о конформных отображениях: всякое конформное отображение области евклидова пространства Е ⁿ при можно представить в виде конечного числа суперпозиций простейших отображений четырех видов - переноса, подобия, ортогонального преобразования и инверсии. Доказана Ж. Лиувиллем в 1850 (см. [2] добавление 6).

Эта Л. т. выявляет бедность класса конформных отображений в пространстве, и с этой точки зрения она весьма важна в теории аналитич. функций многих комплексных переменных и в теории квазиконформных отображений.

Лит.:[1] Gauchy А., "С. r. Acad. sci.", 1844, t. 19, p. 1377-84; [2] M о n g e G., Application de 1'analyse a la geometrie, 5 ed., P., 1850, p. 609-16; [3] Б и ц а д з е А. В., Основы теории аналитических функции комплексного переменного, 2 изд., М., 1972; [4] Владимиров В. С., Методы теории функций многих комплексных переменных, М., 1964.

Е. Д. Соламепцев.

3) Л. т. о приближении алгебраических чисел - теорема, устанавливающая, что алгебраич. иррациональности не могут слишком хорошо приближаться рациональными числами. Именно, если a - алгебраич. число степени а ри q>0 - любые целые рациональные числа, то имеет место неравенство

где С - положительная константа, зависящая только от a и выражаемая в явном виде через сопряженные с a величины.

С помощью этой теоремы Ж. Лиувилль [1] впервые построил неалгебраические (трансцендентные) числа. Таким числом является, напр., число

представляемое рядом с быстро убывающими членами. При n=2 Л. т. дает неулучшаемый результат. Для Л. т. неоднократно усиливалась. В 1909 А. Туэ [2] установил, что для алгебраич. чисел a степени

и справедливо неравенство

К. Зигель [3] улучшил результат А. Туэ, показав, что неравенство (*) выполняется при (s - целое)

в частности при Позже Ф. Дайсон [4] доказал справедливость неравенства (*) при Наконец, К. Рот [5] установил, что неравенство (*) справедливо при любом v>2. Результат К. Рота является наилучшим в своем роде, т. к. любое иррациональное число алгебраическое или нет, имеет бесконечно много рациональных приближений p/q, удовлетворяющих неравенству

Все указанные выше усиления Л. т. имеют один существенный недостаток - они неэффективны, а именно: методы их доказательства не позволяют установить, каким образом постоянная в неравенстве (*) зависит от величин a и v. Получены (см. [6], [7], [8]) эффективные усиления Л. т., но лишь для значений показателя v, мало отличающихся от п.

Лит.:[1] Liouville J., "С. r. Acad. sci.", 1844, t. 18 p. 883-85, 910-11; [2] T h u e A., "J. reine und angew. Math." 1909, Bd 135, S. 284-305; [3] Siegel C., "Math. Z.", 1921 Bd 10, S: 173-213; [4] Dyson F. I., "Acta math.", 1947 t. 79, p. 225-40; [5] Roth K. F., "Mathematika", 1955, v. 2 p. 1-20; [6] Baker A., "Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser. A", 1968, v. 263, p. 173 - 91; [7] Спринджук В. Г. "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1971, т. 35, с. 991 - 1007; [8] Фельдман Н. И., там же, с. 973-90. С. А. Степанов.

4) Л. т. о сохранении фазового объема: объем Vлюбой области G6N-мерного фазового пространства ( р, q).(пространства компонент импульсов и координат каждой из Nчастиц классич. системы с потенциальными силами взаимодействия) не изменяется с течением времени

если все точки этой области двигаются согласно уравнениям классич. Механики. Утверждение является следствием того, что якобиан перехода от переменных ( р, q).(в момент времени t).к переменным ( р', q').(в момент времени t'>t) согласно уравнениям движения (напр., в форме уравнений Гамильтона) равен единице. Величина Vявляется одним из интегральных инвариантов Пуанкаре, а Л. т.- одним из следствий их существования. Л. т. используется в статистич. механике классич. систем (см. Лиувилля уравнение). Л. т. доказана Ж. Лиувиллем (J.Liouville, 1851).

И. А. Квасников.