«Эллиптические интегралы»

интегралы вида

,

где R(x, у) — рациональная функция хи Р(х)— многочлен 3-й или 4-й степени без кратных корней.

Под Э. и. первого рода понимают интеграл

под Э. и. второго рода — интеграл

где k — модуль Э. и., 0 1 (х = sin φ, t = sin α. Интегралы в левых частях равенств (1) и (2) называются Э. и. в нормальной форме Якоби, интегралы в правых частях — Э. и. в нормальной форме Лежандра. При х = 1 или φ = π/2 Э. и называются полными и обозначаются, соответственно, через

и

Своё назв. Э. и. получили в связи с задачей вычисления длины дуги эллипса и = a sinα, v = b cosα(a <>). Длина дуги эллипса выражается формулой

где — эксцентриситет эллипса. Длина дуги четверти эллипса равна E(k).Функции, обратные Э. и., называются эллиптическими функциями (См. Эллиптические функции).