«Больцмана распределение»

см. Больцмана статистика.

БОЛЬЦМАНА распределение (Максвелла - Больцмана распределение) - равновесное распределение частиц идеального газа по энергиям (E) во внешнем силовом поле (напр., в поле тяготения); определяется функцией распределения f ~ e-E/kT, где E - сумма кинетической и потенциальной энергий частицы, T - абсолютная температура, k - постоянная Больцмана; является обобщением Л. Больцманом (1868-71) максвелловского распределения частиц по скоростям.

БОЛЬЦМАНА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

статистически равновесная ф-ция распределения по импульсам р и координатам r ч-ц идеального газа, молекулы к-рого движутся по законам классич. механики, во внеш. потенц. поле:

f(p, r) = Aехр{-(р2/2m+U(r))/kT}. (1)

Здесь p2/2m — кинетич. энергия молекулы массой m, U(r) — её потенц. энергия во внеш. поле, Т — абс. темп-pa газа. Постоянная А определяется из условия, что суммарное число ч-ц, находящихся в различных возможных состояниях, равно полному числу ч-ц в системе (условие нормировки).

Б. р. представляет собой частный случай канонического распределения Гиббса для идеального газа во внеш. потенц. поле, т. к. при отсутствии вз-ствия между ч-цами распределение Гиббса распадается на произведение Б. р. для отд. ч-ц. Б. р. при U=0 даёт Максвелла распределение. Ф-цию распределения (1) иногда наз. распределением Максвелла — Больцмана, а распределением Больцмана наз. ф-цию распределения (1), проинтегрированную по всем импульсам ч-ц и представляющую собой плотность числа ч-ц в точке r:

n(r)=n0ехр(-U/(r)/kT), (2)

где n0— плотность числа ч-ц системы в отсутствии внеш. поля. Отношение плотностей числа ч-ц в разл. точках зависит от разности значений потенц. энергии в этих точках

n1/n2=exp(-DU/kT), (3)

где DU= U(r1)-U(r2).

В частности, из (3) следует барометрич. ф-ла, определяющая распределение по высоте газа в поле тяготения над земной поверхностью. В этом случае DU=mgh, где g — ускорение свободного падения, т — масса ч-цы, h — высота над земной поверхностью. Для смеси газов с разл. массой ч-ц Б. р. показывает, что распределение парц. плотностей ч-ц для каждого из компонентов независимо от др, компонентов. Для газа во вращающемся сосуде U (r) определяет потенциал поля центробежных сил U (r)=-mw2r2/2, где w — угл. скорость вращения. На этом эффекте основано разделение изотопов и высокодисперсных систем при помощи ультрацентрифуги.

Для квант. идеальных газов состояние отд. ч-ц определяется не импульсами и координатами, а квант. уровнями энергии?i ч-цы в поле U(r). В этом случае ср. число ч-ц в i-том квант. состоянии, или ср. число заполнения, равно:

ni=ехр((m-?i)/kT), (4)

где m — химический потенциал, определяемый из условия, что суммарное число ч-ц на всех квант. уровнях?i равно полному числу ч-ц N в системе: Sini-=N.

Ф-ла (4) справедлива при таких темп-pax и плотностях, когда ср. расстояние между ч-цами значительно больше длины волны де Бройля, соответствующей ср. тепловой скорости, т. е. когда можно пренебречь не только силовым вз-ствием ч-ц, но и их взаимным квантовомеханич. влиянием (нет квант. вырождения газа. (см. ВЫРОЖДЕННЫЙ ГАЗ). Таким образом, Б. р. есть предельный случай как Ферми — Дирака распределения, так и Бозе — Эйнштейна распределения для газов малой плотности.

Бо́льцмана распределе́ние

(Максвелла—Больцмана распределение), равновесное распределение частиц идеального газа по энергиям во внешнем силовом поле (например, в поле тяготения); определяется функцией распределения f ≈ e^-E/kT, где Е — сумма кинетической и потенциальной энергий частицы, Т — абсолютная температура, k — постоянная Больцмана; является обобщением Л. Больцманом (1868—71) распределения Максвелла частиц по скоростям.

* * *

БО́ЛЬЦМАНА РАСПРЕДЕЛЕ́НИЕ (Максвелла — Больцмана распределение), равновесное распределение частиц идеального газа по энергиям (E) во внешнем силовом поле (напр., в поле тяготения); определяется функцией распределения f БОЛЬЦМАНА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ e^-E/kT, где E — сумма кинетической и потенциальной энергий частицы, T — абсолютная температура, k — постоянная Больцмана; является обобщением Л. Больцманом (1868—71) максвелловского распределения частиц по скоростям.

статистически равновесная функция распределения по импульсам и координатам частиц идеального газа, молекулы к-рого подчиняются классич. механике, во внешнем потенциальном поле:

Здесь - постоянная Больцмана (универсальная постоянная ), - абсолютная температура, - кинетич. энергия частицы, - потенциальная энергия частицы в поле, константа Аопределяется из условия нормировки по безразмерному фазовому объекту:

где - полное число частиц, - постоянная Планка (универсальная постоянная ),

или из более обычного в кинетич. теории газов условия нормировки в пространстве скоростей и координат:

Б. <р. есть следствие. Больцмана статистики идеального газа; представляет собой частный случай Гиббса распределения

для идеального газа, когда

и канонич. распределение Гиббса распадается на произведение Б. р. для отдельных частиц. Б. р.- предельный случай квантовых статистик идеального газа при достаточно высоких температурах, когда можно пренебречь квантовыми эффектами. При этом среднее число заполнения квантового состояния частицы равно

где - энергия, соответствующая i-му квантовому состоянию частицы, - химич. потенциал, определяемый из условия . Формула (2) справедлива при таких температурах и плотностях, когда среднее расстояние между частицами больше отношения постоянной Планка к модулю средней тепловой скорости

Частным случаем Б. <р. (1) при является Максвелла распределение

Функцию распределения (1) иногда наз. распределением Максвелла - Больцмана, а распределением Больцмана наз. функцию распределения (1), проинтегрированную по всем импульсам частиц, представляющую плотность числа частиц в точке r:

- плотность числа частиц, соответствующая точке, где . Отношение плотностей числа частиц в различных точках зависит от разности потенциальных энергий, соответствующей этим точкам:

где . В частном случае из (4) следует барометрическая формула, определяющая распределение плотности числа частиц в поле тяжести над земной поверхностью

где - ускорение силы тяжести, - масса частицы, - высота над земной поверхностью, - плотность при .

Для смеси газов с различной массой Б. р. показывает, что распределение парциональных плотностей частиц для каждой из компонент независимо от других компонент. Для газа во вращающемся сосуде есть поле центробежных сил:

где - угловая скорость вращения.

Лит. см. при ст. Больцмана статистика. Д. Н. Зубарев.

(Максвелла -Больцмана распределение), равновесное распределение частиц идеального газа по энергиям во внеш. силовом поле (напр., в поле тяготения); определяется функцией распределения f= e-^E/^kТ, где Е сумма кинетич. и потенц. энергий частицы, Т - абс. темп-pa, k - постоянная Больцмана; является обобщением Л. Больцма-ном (1868-71) распределения Максвелла частиц по скоростям.