«Двучленное уравнение»

уравнение вида xⁿ — a = 0, в котором а — какое-либо действительное или комплексное число. К решению таких уравнений приводит задача об извлечении корня степени nиз числа а(х = ⁿ√ а). Д. у. имеет n различных корней, среди которых не больше двух действительных. Если а — положительное число, то один из этих корней — арифметический корень — положителен. При геометрическом представлении чисел на комплексной плоскости все корни Д. у. расположатся на окружности с центром в точке О и радиусом, равным арифметическому корню из модуля числа а (в вершинах правильного n-yгольника).

Большое значение имеют Д. у. специального вида xⁿ —1 = 0; корни таких уравнений называют корнями n-й степени из единицы и имеют вид:

ε_k = cos i sin

Произведение и частное двух корней n-йстепени из единицы будут также корнями n-й степени из единицы. Среди всех корней n-й степени из единицы существуют такие, что все остальные представляются в виде их степеней; эти корни называют первообразными. Для того чтобы корень ε_k был первообразным, необходимо и достаточно, чтобы числа k и nбыли взаимно простыми, т. е. чтобы их наибольший общий делитель равнялся единице; например, корень ε₁ всегда первообразный: ε_k = ε₁^k_.

Теория Д. у. позволила найти условия разрешимости древней задачи о делении окружности на равные части при помощи циркуля и линейки (см. Деление круга).

Лит.: Окунев Л. Я., Высшая алгебра, 2 изд., М., 1966; Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 9 изд., М., 1968.

мат. binomial equation, two-term equation

binomial equation

- алгебраическое уравнение вида ах ^п+b = 0, где аи b-комплексные числа, и Д. у. имеют празличных комплексных корней

Корни Д. у. на комплексной плоскости расположены на окружности радиуса с центром в начале координат в вершинах правильного вписанного n-угольника.

А. И. Галочпин.

binomial equation

equazione binomia

двочле́нне рівня́ння

двочле́нне рівня́ння