Большая Советская энциклопедия
Цилиндрические функции 1-го рода; возникают при рассмотрении физических процессов (теплопроводности, диффузии, колебаний и пр.) в областях с круговой и цилиндрической симметрией; являются решениями Бесселя уравнения (См. Бесселя уравнение).
Б. ф. Jp порядка (индекса) р, — ∞
сходящимся при всех х. Её график при х > 0имеет вид затухающего колебания; Jp (x)имеет бесчисленное множество нулей; поведение Jp (x) при малых |х| даётся первым слагаемым ряда (*), при больших х > 0 справедливо асимптотическое представление
в котором отчётливо проявляется колебательный характер функции. Б. ф. «полуцелого» порядка р = n + 1/2 выражаются через элементарные функции; в частности,
Б. ф. Jp (μpnx/l) (где μpn — положительные нули Jp (x), р > -1/2) образуют ортогональную с весом х в промежутке (0, l) систему (см. Ортогональная система функций).
Функция J0 была впервые рассмотрена Д. Бернулли в работе, посвященной колебанию тяжёлых цепей (1732). Л. Эйлер, рассматривая задачу о колебаниях круглой мембраны (1738), пришёл к уравнению Бесселя с целыми значениями р = n и нашёл выражение J„(x) в виде ряда по степеням х. В последующих работах он распространил это выражение на случай произвольных значений р. Ф. Бессель исследовал (1824) функции Jp (x) в связи с изучением движения планет вокруг Солнца. Он составил первые таблицы для J0(x), J1(x), J2(x).
Лит.: Ватсон Г. Н., Теория бесселевых функций, пер. с англ., ч. 1—2, М., 1949; Лебедев Н. Н., Специальные функции и их приложения, 2 изд., М.— Л., 1963; Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции, функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены, пер. с англ., М., 1966.
П. И. Лизоркин.
Математическая энциклопедия
- цилиндрические функции1-го рода. Б. ф..индекса рможет быть определена рядом
сходящемся на всей плоскости. Б. ф. индекса рявляется решением соответствующего Бесселя уравнения.
При действительных положительных значениях аргумента и индекса (
- действительное число) Б. ф. действительна, график ее имеет вид затухающего колебания (см. рис.); при четном индексе Б. ф. четна, при нечетном - нечетна. Поведение Б. ф. в окрестности нуля дается первыми слагаемыми ряда (*); при больших хсправедливо асимптотич. представление
Нули Б. ф. [корни уравнения 
] - простые, при этом нули 
лежат между нулями 
. Б. ф. "полуцелого" порядка 
выражаются через тригонометрич. функции; в частности,
Б. ф. 
- положительные нули 
образуют ортогональную с весом хв промежутке 
систему. При определенных условиях имеет место разложение
В бесконечном промежутке его заменяет интеграл Фурье-Бесселя
Важную роль в теории Б. ф. и их применений играют: 1) интегральное представление
2) производящая функция
3) теорема сложения для Б. ф. нулевого индекса
4) рекуррентные формулы
Лит. ем. при статье Цилиндрические функции.
П. И. Лизоркин.
BETA-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ - непрерывное сосредоточенное на (0, 1) распределение вероятностей с плотностью
где параметры 
неотрицательны и нормирующий множитель 
есть бета-функция Эйлера
(
- гамма-функция). Функция распределения выражается через неполную бета-функцию
(эта функция табулирована, см. [1], [2] ). Моменты Б.-р. выражаются формулой
в частности, математич. ожидание и дисперсия равны 
и 
соответственно. Если 
то кривая плотности 
имеет единственную точку максимума 
и обращается в нуль на концах интервала. Если 
или 
, то одна из крайних ординат графика бесконечна, а если и 
, и 
, то обе ординаты на концах интервала бесконечны и кривая имеет 
-образную форму. При 
Б.-р. превращается в равномерное распределение в интервале 
. Другим частным случаем Б.-р. является так наз. арксинуса распределение
При замене в (1) 
получается распределение с плотностью
Это распределение наз. Б.-р. второго рода, в отличие от Б.-р. (1). Распределения (1) и (2) соответствуют распределениям "типа I" и "типа VI" в системе Пирсона кривых. Один из важных случаев возникновения Б.-р. таков: если 
независимы и имеют гамма-распределения с параметрами тип соответственно, то случайная величина 
имеет Б.-р. с плотностью 
. Этот факт в большой степени объясняет ту роль, к-рую Б.-р. играет в приложениях, в частности в математич. статистике: распределения многих важнейших статистик сводятся к Б.-р. Напр., функция распределения F-отношения
(случайная величина 
имеет 
-распределение с kстепенями свободы) выражается формулой
(обычно значения F-распределения вычисляются с помощью таблиц Б.-р.). Функция Б.-р. позволяет также вычислять значения функций биномиального распределения, ввиду соотношения
Б.-р. находит применение не только в математич. статистике, так, напр., плотность Б.-р. является весовой функцией для системы ортогональных Якоби многочленов.
Лит.:[1] Большев Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, 2изд., М., 1968;|2] Пирсон К. Таблицы неполной бета-функции, пер. с англ., М., 1974. А. В. Прохоров.
BETA-ФУНКЦИЯ, В-функция, В-функция Эйлера, эйлеров интеграл 1-го рода - функция двух переменных 
, определяемая при 
равенством
Значения Б.-ф. при различных значениях параметров 
связаны между собой следующими соотношениями
Справедлива формула
В случае комплексных ри q интеграл (*) сходится, когда 
Б.-ф. выражается через гамма-функцию:
В. И. Битюцков.
Большой энциклопедический политехнический словарь
[по имени нем. астронома Ф. Бесселя (F. Bessel; 1784 - 1846)] - то же, что цилиндрические функции.