«Линейный функционал»

обобщение понятия линейной формы (См. Линейная форма) на линейные пространства (См. Линейное пространство). Линейным функционалом f на линейном нормированном пространстве Е называют числовую функцию f(x), определённую для всех х из Е и обладающую следующими свойствами:

1) f(x) линейна, т. е. f((x +(у)=(f(x)+(f(y),

где х и у — любые элементы из Е, α и β — числа;

2) f(x) непрерывна.

Непрерывность f равносильна требованию, чтобы Е; выражение f и обозначают

В пространстве С [a, b] функций α(t), непрерывных при a(t(b, с нормой ф. являются, например, выражения:

f₂[((t)] =((t₀), a(t₀(b.

В гильбертовом пространстве (См. Гильбертово пространство)Н Л. ф. суть скалярные произведения (l, х), где l — любой фиксированный элемент пространства Н; ими исчерпываются все Л. ф. этого пространства.

Во многих задачах можно из общих соображений установить, что та или иная величина является Л. ф. Например, к Л. ф. приводит решение линейных дифференциальных уравнений с линейными краевыми условиями. Поэтому очень существенным является вопрос об общем аналитическом выражении Л. ф. в разных пространствах.

Совокупность всех Л. ф. данного пространства Е превращается в линейное нормированное пространство E̅, если определить естественным образом сложение Л. ф. и умножение их на числа. Пространство E̅ называют сопряжённым к E̅; это пространство играет большую роль при изучении Е.

С понятием Л. ф. связано понятие слабой сходимости. Последовательность {xn} элементов линейного нормированного пространства называют слабо сходящейся к элементу х, если

для любого Л. ф. f. См. также Функциональный анализ.

ЛИНЕЙНЫЙ ФУНКЦИОНАЛ - обобщение понятия линейной формы на случай бесконечномерных пространств.

мат. linear functional

лине́йный функциона́л

обобщение понятия линейной формы на случай бесконечномерных пространств.

* * *

ЛИНЕ́ЙНЫЙ ФУНКЦИОНА́Л, обобщение понятия линейной формы на случай бесконечномерных пространств.

линейная форма, на векторном пространстве Lнад полем k- отображение такое, что

.для всех Понятие Л. ф., будучи важным специальным случаем понятия линейного оператора, является одним из основных в линейной алгебре и играет значительную роль в анализе.

На множестве Л. ф. на Lопределены операции сложения и умножения на скаляр по формулам

Они задают в структуру векторного" пространства над k.

Ядром Л. ф. наз. подпространство

Если _ (т. е. ), то Кеr f - гиперплоскость в L. Л. ф. с совпадающими ядрами пропорциональны.

Если - базис в L, то для

Сопоставление } есть изоморфизм на Следствие: Lизоморфно тогда и только тогда, когда оно конечномерно. При переходе к новому базису в Lэлементы преобразуются по тем же формулам, что и векторы базиса.

Оператор определенный равенством инъективен. Он является изоморфизмом тогда и только тогда, когда Lконечномерно. Этот изоморфизм, в отличие от изоморфизма между Lи естествен.

Л. ф. на локально выпуклых пространствах, в частности нормированных пространствах,- важный объект изучения функционального анализа. Каждый непрерывный (как отображение топологич. пространств) Л. ф. f на локально выпуклом пространстве Еограничен, т. е.

для всех ограниченных Если Е - нормированное пространство, то верно и обратное; при этом оба свойства эквивалентны конечности числа

Непрерывные Л. ф. на локально выпуклом пространстве Еобразуют подпространство к-рое наз. сопряженным к Д. В E* рассматриваются различные топологии, в том числе слабая и сильная, к-рые отвечают соответственно за поточечную и за равномерную сходимость на ограниченных множествах. Если Е - нормированное пространство, то Е* - банахово пространство относительно нормы а соответствующая топология совпадает с сильной. Единичный шар рассматриваемый в слабой топологии, компактен.

Важные приложения к анализу имеет теорема Хана - Банаха, одна из формулировок к-рой такова: если - преднорма на векторном пространстве Е, f₀ - Л. ф., заданный на подпространстве Е ₀ в Еи такой, что для всех то f₀ может быть распространен на все Ес сохранением линейности и указанной оценки. Следствие: любой непрерывный Л. ф., заданный на подпростр-анстве E₀ в локально выпуклом пространстве Е, может быть продолжен до непрерывного Л. ф. на Е, а если Е - нормированное пространство, то и с сохранением нормы. Отсюда для каждого найдется

Пусть Е - нормированное пространство, а Е* и затем ( Е*)*взяты с соответствующими нормами. Тогда оператор

- изометрическое вложение. Если при этом вложении Есовпадает с (E*)*, то такое нормированное пространство, необходимо полное, наз. рефлексивным. Напр., рефлексивны тогда и только тогда, когда р>1. Аналогичное понятие рефлексивности есть и для общих локально выпуклых пространств.

Для многих конкретных локально выпуклых пространств описаны все Л. ф.: напр., сопряженное к гильбертову пространству Несть для фиксированного Сопряженное к С[ а, b]есть

для фиксированной функции ограниченной вариации }.

Лит.:[1] Б у р б а к и Н., Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра, пер. с франц., М., 1962; [2] Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981. А. Я. Хелемский.

funzionale lineare

ліні́йний функціона́л

ліні́йний функціона́л

обобщение понятия линейной формы на случай бесконечномерных пространств.