«Бесконечное произведение»

произведение бесконечного числа сомножителей u₁,u₂,..., u_n,..., т. е. выражение вида

Б. п., в котором сомножителями являются числа, иногда называемые бесконечным числовым произведением. Б. п. не всегда может быть приписано числовое значение. Если существует отличный от нуля Предел последовательности частичных произведений

pn = u₁u₂... u_n

при n → ∞, то Б. п. называется сходящимся, a lim pn = р — его значением, и пишут:

Исторически Б. п. впервые встретились в связи с задачей о вычислении числа π. Так, французский математик Ф. Виет (16 в.) получил формулу:

а английский математик Дж. Валлис (17 в.) — формулу:

Особое значение Б. п. приобрели после работ Л. Эйлера, применившего Б. п. для изображения функций. Примером может служить разложение синуса:

Разложения функций в Б. п. аналогичны разложениям многочленов на линейные множители; они замечательны тем, что выявляют все значения независимого переменного, при которых функция обращается в нуль.

Для сходимости Б. п. необходимо и достаточно, чтобы u_n ≠ 0 для всех номеров n, чтобы u_N > 0, начиная с некоторого номера N, и чтобы сходился ряд

Т. о., исследование сходимости Б. п. эквивалентно исследованию сходимости этого ряда.

Лит.: Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 2, М.— Л., 1966; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, М., 1965.

БЕСКОНЕЧНОЕ произведение - произведение бесконечного числа сомножителей , т. е. выражение вида:

continued product, infinite product

infinite product

бесконе́чное произведе́ние

произведение бесконечного числа сомножителей u1, u2,..., u_n,..., то есть выражение вида: u₁u₂...u_n... = П^∞_k = 1 Uk

* * *

БЕСКОНЕ́ЧНОЕ ПРОИЗВЕДЕ́НИЕ, произведение бесконечного числа сомножителей, т. е. выражение вида:

.

выражение

содержащее бесконечное множество числовых или функциональных сомножителей, каждый из к-рых отличен от нуля. Б. п. наз. сходящимся, если существует отличный от нуля предел последовательности частичных произведений

при . 3начением Б. п. наз. этот предел

и пишут

Б. п. сходится тогда и только тогда, если сходится ряд

Тем самым исследование сходимости Б. п. сводится к исследованию сходимости рядов. Б. п. (*) наз. абсолютно сходящимся, если сходится Б. п.

для абсолютной сходимости Б. п. (*) необходимо и достаточно, чтобы абсолютно сходился ряд

Б. п. обладает переместительным свойством (т. е. его значение не зависит от порядка сомножителей) в том и только в том случае, если оно сходится абсолютно. Б. п. (*) с функциональными сомножителями

определенными, напр., в области D плоскости комплексного переменного z, сходится равномерно в D, если последовательность частичных произведений сходится в Dравномерно к пределу, отличному от нуля. В приложениях, однако, весьма важен случай, когда нек-рые сомножители имеют нули в Dтакие, что на любом компакте их лежит не более конечного числа. Понятие сходимости обобщается при этом следующим образом: Б. п. (*) наз. (абсолютно, равномерно) сходящимся внутри D, если для любого компакта существует такой номер , что все сомножители на kпри и последовательность частичных произведений

сходится на К(абсолютно, равномерно) к пределу, отличному от нуля. Если все сомножители - аналитич. функции на D и Б. п. сходится равномерно внутри D, то оно представляет в D аналитич. функцию.

Б. п. впервые встретилось у Ф. Виета (F. Viete, 1593) при рассмотрении задачи о квадратуре круга, а именно он получил аналитич. редставление числа p, построив следующее Б. п.:

Другое представление числа пвосходит к Дж. Валлису (J. Wallis, 1665):

Б. п. с функциональными сомножителями появились у Л. Эйлера (L. Euler, 1742), напр.:

Б. п.- основной аппарат для представления аналитич. функций с явным указанием их нулей; они являются для целых функций аналогом разложения многочлена на множители. См. также Бляшке произведение, Вейерштрасса теорема о бесконечном произведении, Каноническое произведение.

Лит.:[1] Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971; [2] Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., ч. 1-2, М., 1976; [3] Бицадзе А. <В., Основы теории аналитических функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1972. Е. Д. Соломенцев.

infinite product

prodotto infinito

нескінче́нний добу́ток

нескінче́нний добу́ток

произведение бесконечного числа сомножителей и₁, и₂,..., и_n,..., т. е. выражение вида: u₁u₂...u_n...=П_k=1 u_k