«Пирсона кривые»

семейство кривых Распределения [т. е. кривых у = у(х), изображающих зависимость плотности распределения от х], удовлетворяющих дифференциальному уравнению

,

где a, b_o, b₁, b₂— действительные числа. П. к. классифицируются на 12 типов в зависимости от значения параметров а, b₀, b₁, b₂ и интервала изменения х. Примерами П. к. являются Нормальное распределение, Стьюдента распределение, распределение χ².

Всякая П. к. у(х) однозначно определяется заданием её первых четырёх Моментов:

, ν = 1, 2, 3, 4.

На основании этого свойства П. к. иногда используются в математической статистике для приближённого представления неизвестной плотности р(х). Пусть, например, имеется большой ряд независимых наблюдений x₁, x₂,..., x_n случайной величины Х с неизвестной плотностью распределения р(х). Применяя метод моментов (см. Статистические оценки), полагают р(х) выбирают такую П. к. y(x), для которой

П. к. впервые были применены для построения эмпирических плотностей английским математиком К. Пирсоном в 1894.

Лит.: Кендалл М., Стьюарт А., Теория распределений, пер. с англ., М., 1966.

- название семейства непрерывных распределений вероятностей (распределений Пирсона), плотности к-рых р(х).удовлетворяют дифференциальному уравнению

(*)

где параметры а, b₀, b₁, b₂ - действительные числа. Более точно, кривыми Пирсона наз. графики зависимости р(х).от х. Распределения, являющиеся решениями уравнения (*), совпадают с предельными формами гипергеометрического распределения, П. к. классифицируются в зависимости от характера корней уравнения

Семейство П. к. составляют 12 типов и нормальное распределение. Многие важнейшие распределения в математич. статистике могут быть получены с помощью преобразований из уравнения (*).

Систематич. описание типов П. к. дано У. Элдертоном (W. Elderton, 1938). В упрощенном виде классификация по типам такова.

Тип I:

частный случай - бета-распределение 1-го рода.

Тип II:

(вариант П. к. типа I); частный случай - равномерное распределение.

Тип III:

частные случаи - гамма-распределение, "хи-квадрат"-распределение.

Тип IV:

Тип V:

(сводится преобразованием к типу III).

Тип VI:

частные случаи - бета-распределение 2-го рода, Фишера F-распределение.

Тип VII:

частный случай - Стьюдента распределение.

Тип VIII:

Тип IX:

Тип X:

показательное распределение.

Тип XI:

частный случай - Парето распределение.

Тип XII:

(вариант типа I).

Наиболее важны в приложениях типы I, III, VI, VII.

Всякая П. к. однозначно определяется своими первыми четырьмя моментами

если они конечны. Это свойство семейства П. к. используется для приближенного описания эмпирических распределений.

Метод подгонки П. к. к нек-рому эмпирич. распределению состоит в следующем. По независимым результатам наблюдений вычисляют первые четыре выборочных момента, затем определяется тип подходящей П. к. и методом моментов находятся значения неизвестных параметров искомой П. к. В общем случае метод моментов не является эффективным методом получения оценок П. к. Проблема более точной аппроксимации распределений с помощью П. к. получила новое решение в работах Л. Н. Большева (1963) по асимптотич. преобразованиям.

П. к. были введены К. Пирсоном (К. Pearson, 1894).

Лит.:[1] Еldеrtоn W. P., Frequency curves and correlation, 4 ed., Camb., 1953: [2] Кендалл М., Стьюарт А., Теория распределений, пер. с англ., М., 1966; [3] Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975; 1.4] Большей Л. Н., "Теория вероятн. и ее примен.", 1963 т. 8, М" 2, с. 129-55. А. В. Прохоров.