«Коши задача»

одна из основных задач теории дифференциальных уравнений (См. Дифференциальные уравнения), впервые систематически изучавшаяся О. Коши. Заключается в нахождении решения u (x, t); х = (x₁,..., x_n) дифференциального уравнения вида:

m₀ <>m, m> 0,

удовлетворяющего т. н. начальным условиям.

t = t₀, x ∈ G₀, k= 0, …, m-1, (2)

где G₀ — носитель начальных данных — область гиперплоскости t = t_o пространства переменных x₁,..., x_n. Когда Fи f_k, k = 0,..., m —1, являются аналитическими функциями своих аргументов, задача Коши (1), (2) в некоторой области G пространства переменных t, х, содержащей G₀, всегда имеет и притом единственное решение. Однако это решение может оказаться неустойчивым (т. е. малое изменение начальных данных может вызвать сильное изменение решения), например в том случае, когда уравнение (1) принадлежит эллиптическому типу. При неаналитических данных задача Коши (1), (2) может потерять смысл, если не ограничиться рассмотрением того случая, когда уравнение (1) является гиперболическим.

Лит.: Курант Р., Гильберт Д., Методы математической физики, пер. с нем., т. 2, М.— Л., 1951; Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966.

А. В. Бицадзе.

КОШИ ЗАДАЧА - одна из основных задач теории дифференциальных уравнений. Заключается в нахождении решения такого уравнения, удовлетворяющего т. н. начальным условиям. Напр., для уравнения dy = 2xdx можно поставить Коши задачу: найти решение у = у(х), принимающее при хо = 0 значение уо = 1; оно таково: у = х2 + 1. Систематически изучалась О. Коши.

КОШИ ЗАДАЧА

- задача о нахождении решения дифференц. ур-ния (обыкновенного или в частных производных), удовлетворяющего нач. условиям. Рассмотрена в 1823-24 О. Коши (A. Cauchy).

Примером К. з. может служить осн. задача механики, когда по известным нач. положениям и скоростям частиц требуется при известном законе взаимодействия между ними определить движение частиц во времени.

Поскольку ур-ния матем. физики, для к-рых ставится К. з., описывают реальные процессы, то естественно потребовать: существования решения в определ. классе ф-ций; его единственности; непрерывной зависимости решения от нач. данных. Даже в случае простейшей К. з. dy/dx=f(x, у), у(х ₀) - у ₀, где f(х, у) - заданная ф-ция, выполнение этих требований накладывает ограничения на вид ф-ции f(x, у).

Аналогично ставится К. з. для систем обыкновенных дифференц. ур-ний; при этом у (х )и f ( х, у) - вектор-функции в к.-л. векторном пространстве. Поскольку обыкновенное дифференц. ур-ние порядка п сводится к системе ур-ний первого порядка, К. з. для него фиксирует нач. значения для производных искомой ф-ции вплоть до п-1 порядка.

Для дифференц. ур-ний в частных производных в (n+1)-мерном пространстве-времени К. з. фиксирует нач. значения ф-ции (и её k-1 производных, если k - порядок ур-ния по времени) на "-мерной поверхности.

Напр., для волнового уравнения. решение К. з. с нач. данными: и(х,0) =(x), = (х), где (х), (х) - достаточно гладкие ф-ции, даётся при n=1, 2, 3 Д'Аламбера формулой, Пуассона формулой и Кирхгофа формулой. При этом решение непрерывно зависит от ф-ции и . Для ур-ния в частных производных требуется, чтобы К. з. была корректно поставлена. Напр., для волнового уравнения К. з. корректно поставлена в случае, если нач. данные заданы либо на гиперплоскости t=0, либо на любой пространственноподобной поверхности, для к-рой ]

Лит.: Петровский И. Г., Лекции об уравнениях с частными производными, 3 изд., М., 1061; Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 5 изд., М., 1988; Арнольд В. И., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 3 изд., М., 1984; Бицадзе А. В., Уравнения математической физики, 2 изд., М., 1982. С. В. Молодцов.

Коши́ зада́ча

одна из основных задач теории дифференциальных уравнениний. Заключается в нахождении решения такого уравнения, удовлетворяющего так называемым начальным условиям. Например, для уравнения dy = 2xdx можно поставить Коши задачу: найти решение у = у(х), принимающее при х₀ = 0 значение у₀ = 1; оно таково: у = х² + 1. Систематически изучалась О. Коши.

* * *

КОШИ́ ЗАДА́ЧА, одна из основных задач теории дифференциальных уравнений. Заключается в нахождении решения такого уравнения, удовлетворяющего т. н. начальным условиям. Напр., для уравнения dy = 2xdx можно поставить Коши задачу: найти решение у = у(х), принимающее при х_о = 0 значение у_о = 1; оно таково: у = х² + 1. Систематически изучалась О. Коши.

- одна из основных задач теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными); состоит в отыскании решения (интеграла) дифференциального уравнения, удовлетворяющего так наз. начальным условиям (начальным данным). К. з. обычно возникает при анализе процессов, определяемых дифференциальным законом и начальным состоянием, математич. выражением к-рых и являются уравнение и начальное условие (откуда терминология и выбор обозначений: начальные данные задаются при (=0, а решение отыскивается при ). От краевых задач К. з. отличается тем, что область, в к-рой должно быть определено искомое решение, здесь заранее не указывается. Тем не менее и К. з. можно рассматривать как одну из краевых задач.

Основные вопросы, к-рые связаны с К. з., таковы.

1) Существует ли (хотя бы локально) решение К. з.?

2) Если решение существует, то какому пространству оно принадлежит, в частности, какова область его существования?

3) Является ли решение единственным?

4) Если решение единственно, то будет ли оно корректным, т. е. непрерывным (в каком-либо смысле) относительно начальных данных?

Простейшая К. з. состоит в том, что требуется найти определенную на полупрямой функцию и(х), к-рая удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению 1-го порядка

(а - данная функция) и при х=х ₀ принимает значение и ₀:

Геометрически это означает, что в семействе интегральных кривых уравнения (1) на плоскости ( х, и).разыскивается кривая, преходящая через точку ( х ₀, u₀).

Первое утверждение о существовании такой функции (при условии непрерывности f для всех хи непрерывной дифференцнруемости ее по и).доказано О. Коши (A.Cauchy, 1820-30) и обобщено Э. Пикаром (Е. Picard, 1891-96) (заменившим дифференцируемость условием Липшица по и). При этом решение К. з. оказывается единственным и непрерывно зависящим от начальных данных. Современные представления о К. з. - по существу далеко идущее обобщение этой задачи.

То, что вопросы 1) - 4) глубоко затрагивают суть дела, т. е. для утвердительного ответа на них требуются определенные условия, иллюстрируется уже теорией обыкновенных дифференциальных уравнений. Так, решение К. з. для уравнения (1) с условием (2), где f задана на открытом множестве G и лишь непрерывна, существует на нек-ром интервале, зависящем от Gи (х ₀, u₀) (см. Пеана теорема), но может быть неединственным. Решение может существовать не во всех точках, где определено f.

Дословно так же формулируется К. з. для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, т. е. для обыкновенного дифференциального уравнения вида (1) с начальным условием (2), где и=и (х).- функция со значением в конечномерном векторном пространстве

- функция, определенная в Для существования, единственности и корректности решения К. з. и здесь достаточны условия Пикара.

Для обыкновенных дифференциальных уравнений высших порядков

К. з ., в начальных данных к-рой участвуют, помимо самой функции, и ее производные

стандартным приемом сводится к соответствующей задаче вида (1), (2).

В случае обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка, не разрешимых относительно производной искомой функции, постановка К. з.- та же, разве что в большей степени опирается на ее геометрич. трактовку, но исследование может осложняться невозможностью (даже локальной) редукции уравнения к нормальной форме (1).

Если для обыкновенного дифференциального уравнения постановка и исследование К. з. не содержит принципиальных затруднений, то в случае дифференциальных уравнений с частными производными положение (и, в частности, ответы на вопросы 1) - 4)) существенно усложняется, даже если рассматриваемые функции достаточно регулярны. Это в значительной мере обусловлено многомерностъю пространства независимых переменных и вытекающими из этого (алгебраическими) вопросами разрешимости. Так, условие разрешимости К. з. (в нек-ром смысле промежуточной между "обыкновенностью" и "частностью") для системы уравнений в полных дифференциалах

состоящей в отыскании ( п-k )-мерной интегральной поверхности, проходящей через данную точку, имеет вид

(в окрестности этой точки; здесь d, - символы внешнего дифференциала и внешнего произведения соответственно) (см. Фробениуса теорема).

Для линейных дифференциальных уравнений с частными производными

К. з. ставится следующим образом. В нек-рой области Gпеременных х=( х ₁,..., х _п). найти решение, удовлетворяющее начальным условиям, т, е, принимающее вместе со своими производными до (та-1)-го порядка включительно заданные значения на нек-рой расположенной в G (n-1)-мерной гиперповерхности S(носители начальных условий). Начальные условия можно задавать в виде производных от ипо направлению единичной нормали v к S:

где - известные функции (данные К о ш и). Аналогичным образом ставится К. з. и для нелинейных дифференциальных уравнений. С К. з. связано понятие нехарактеристич. поверхности. Если неособое преобразование переменных " выпрямляет" поверхность Sв окрестности точки х ₀, переводя ее в участок гиперплоскости то в преобразованном уравнении (3) коэффициент при пропорционален величине

Поверхность Sназ. нехарактеристической в точке х ₀, если

В этом случае вблизи точки х ₀ уравнений (3) можно записать в так наз. нормальной форме

К. з. обычно рассматривается, когда носителем начальных данных является характеристич. поверхность, т. е. когда условие (5) выполнено для всех

В теории К. з. важное место занимает Коши - Ковалевской теорема:если S - аналитич. поверхность в окрестности своей точки х ₀, функции аналитичны в этой окрестности и выполнено условие (5), то в окрестности точки существует аналитич. решение и(х).К. з. (3), (4), к-рое в классе аналитич. функций единственно. В предположении аналитичности эта теорема справедлива и для общих нелинейных уравнений, если они могут быть приведены к нормальной форме (6), а также для систем таких уравнений. Эта теорема носит универсальный характер, поскольку она применима аналитич. уравнениям независимо от их типа (эллиптического, гиперболического и т. д.) и дает существование решения в малом. Решение единственно в классе неаналитич. функций.

Для дифференциальных уравнений с частными производными порядка выше 1-го К. з. может оказаться некорректной, если в условиях теоремы Коши - Ковалевской отказаться от аналитичности уравнения или данных Коши. Иллюстрацией служит пример А д а м а р а: К. з. для уравнения Лапласа

с начальными условиями

не имеет решения, если функция не является аналитической.

Широкий класс уравнений, для к-рых К. з. поставлена корректно, составляют гиперболич. уравнения. В этом случае К. з. носит глобальный характер, однако условия нехарактеристичности Sпри этом недостаточно. Необходимо, чтобы Sбыла поверхностью пространственного типа. Модельным уравнением гиперболич. типа является волновое уравнение

рассматриваемое в ( п+1)-мерной области переменных ( х, t)=(x₁, ..., х _n, t). К. з. для этого уравнения с данными

на гиперплоскости t=0 однозначно разрешима для любых достаточно гладких функций и решение непрерывно зависит в метрике пространств C^k от этих функций. Для случаев n=1, n=2 и n=3 явный вид этого решения дается формулами Д'А л а м б е р а, Пуассона и Кирхгофа соответственно:

где - элемент поверхности единичной сферы

Множество точек на плоскости t=0, данные Коши на к-ром вполне определяют значение и( х, t).решения волнового уравнения (7) в точке ( х, t), наз. областью зависимости для этой точки. Областями зависимости точки ( х, t).в случаях n=1, n=2 и n=3 являются отрезок, круг и шар, определяемые соотношением (в соответствующем пространстве Rⁿ). Если носителем данных Коши является нек-рая область Sгиперплоскости t=0, то данные Коши в этой области влияют на решение во всех точках ( х, t).множества, для к-рого пересечение не пусто; это множество наз. областью влияния.

Множество точек , на к-ром решение ивполне определяется по данным Коши на S, наз. областью определения и( х, t) с начальными данными на S. В случае n=1, n=2 и n=3 область определения образуют все точки ( х, t), для к-рых отрезок, круг и шар соответственно расположены в S.

Эти результаты распространяются на более общий случай, когда носителем данных Коши является: поверхность Sпространственного типа, то есть поверхность, для к-рой величина Qв (5) сохраняет на Sположительное значение.

Кроме К. з., для гиперболич. уравнений корректно поставлены и другие задачи, напр. Коши характеристическая задача, смешанная начально-краевая задача; в последней задаче решение имеется в (n+1)-мерном цилиндре с образующей, параллельной оси t, и с основанием S, представляющем собой нек-рую область в пространстве переменных x=(x₁,..., х _п).с границей Г. Носителем начальных условий служит S, а на боковой поверхности Гx{t>0} цилиндра задается значение функции или ее нормальной производной (в случае уравнений 2-го порядка) или более общие краевые условия.

Для вырождающихся уравнений К. з. имеет свои особенности. Напр., если уравнение гиперболич. типа и носителем данных Коши является поверхность, на к-рой уравнение параболически вырождается, то в зависимости от характера вырождения принятие начальных условий может осуществляться с нек-рым весом.

Лит.:[1] К о в а л е в с к а я С. В., Научные работы, М., 1948; [2] А д а м а р Ж., Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа, пер. с франц., М., 1978; [3] Берс Л., Джон Ф.,Шехтер М., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1966; [4] Б и ц а д з е А. В., Уравнения математической физики, М., 1976; [5] Курант Р., Уравнения с частными производными, иер. с англ., М., 1964; [6] Мизохата С., Теория уравнений с частными производными, пер. с япон., М., 1977; [7] Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1972; [8] Хёрмандер Д., Линейные дифференциальные операторы с частными производными, пер. с англ., М., 1965. А. П. Солдатов.

численные методы решения для обыкновенного дифференциального уравнения. Задачей Коши наз. задача определения функции или нескольких функций, удовлетворяющих одному или, соответственно, системе дифференциальных уравнений и принимающих заданные значения в нек-рой фиксированной точке. Пусть

- вектор-функции, определенные и непрерывные соответственно на отрезке и в замкнутой области где - некоторая норма в конечномерном пространстве Rⁿ. В этих обозначениях К. з. для системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка записывается в виде

Вводя соответствующим образом новые неизвестные функции, можно привести к такому виду К. з. для любой системы обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка. Решение задачи (1) существует, если функция f(x, у).непрерывна в П. Для того чтобы это решение было единственным, достаточно, чтобы выполнялось условие О т к у д а:

где функция w(t) - такова, что

или более сильное условие Липшица:

Величина Lназ. постоянной Липшица. Если функция f(x, у).непрерывно дифференцируема по у, то в качестве постоянной Липшица можно взять величину

Оценка (3) с постоянной Липшица (4) оказывается в ряде случаев слишком грубой для успешного применения численных методов решения К. з., несмотря на то, что теоретически решение этой задачи существует и оно единственно. Это происходит, в частности, в тех случаях, когда собственные значения матрицы имеют "большой разброс", т. е. наибольшее собственное значение в сотни или даже тысячи раз больше наименьшего собственного значения. Такие системы, дифференциальных уравнений наз. жесткими системами, а соответствующие задачи - жесткими задачами Кош и. Одним из источников возникновения жестких систем является сведение уравнений с частными производными к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, напр. с помощью метода прямых.

Численные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений представляют собой, как правило, одно или несколько соотношений, связывающих искомую функцию у(х).в дискретной последовательности точке х _k, k=0, 1,..., множество к-рых наз. сеткой. Основы численных методов вообще и для дифференциальных уравнений в частности были заложены Л. Эйлером (L. Euler). Его именем называется один из самых простых методов решения К. з., к-рый состоит в следующем. Пусть решение задачи (1) в окрестности точки х _k разложено в ряд Тейлора

Если величина х-х _k, мала, то, отбрасывая члены порядка ( х-x_k)² и более высокого, получают приближенное равенство

В точке x_k+1 приближенное решение может быть вычислено по формуле

Это соотношение и наз. методом Эйлера.

В дальнейшем численные методы были значительно усовершенствованы. Это развитие велось в основном в двух направлениях: методы, получившие в дальнейшем название Рунге-Кутта методов и конечноразностные методы, важнейшим представителем к-рых является Адамса метод.

К достоинствам методов Рунге - Кутта следует отнести то, что алгоритмы, получающиеся на их основе, являются однородными, т. е. не изменяющимися при переходе от одной точки сетки к другой. Кроме того, в методах Рунге - Кутта можно изменять шаг интегрирования в соответствии с требуемой точностью вычислений без значительного усложнения самого алгоритма (см. Кутта - Мерсона метод, Рунге правило). На основе этих методов созданы достаточно надежные двусторонние методы. Основным недостатком является то, что для вычисления приближенного решения в одной точке сетки требуется несколько вычислений правой части f(x, у).дифференциального уравнения (1). Это приводит, в особенности при сложных правых частях, к значительному увеличению времени вычислений.

В конечноразностных методах, в том числе в методе Адамса, требуется лишь одно вычисление правой части на один узел сетки. Это является главным достоинством конечноразностных методов. Однако для того чтобы начать вычисления по какой-либо конечноразностной формуле, необходимо прежде вычислить дополнительные "начальные значения". Это приводит к тому, что алгоритм оказывается неоднородным - первые несколько значений должны вычисляться по другим формулам. Более существенным недостатком конечноразностных методов является невозможность простого изменения шага интегрирования, т. е. необходимость использовать сетки с постоянным шагом.

На основе конечноразностных методов разработаны так. наз. методы предсказания - уточнения, к-рые представляют собой пару конечноразностных формул, одна из к-рых (предсказывающая) является, как правило, явной, а вторая (уточняющая) - неявной, напр., предсказывающая:

уточняющая:

Предсказывающе-уточняющие методы находят успешное применение при решении жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Несмотря на то, что дифференциальные уравнения высокого порядка формально сводятся к системе уравнений 1-го порядка, методы, приспособленные к конкретному виду дифференциального уравнения, иногда оказываются значительно более эффективными. В связи с этим развиваются конечноразностные методы, использующие производные высшего порядка, напр. Штермера метод.

Лит.:[1] Б е р е з и н И. С., Ж и д к о в Н. П., Методы вычислений, 2 изд., т. 2, М., 1962; [2] Бахвалов Н. С., Численные методы, 2 изд., М., 1975; [3] Modern Numerical Methods for ordinary differential equations, Oxf., 1976.

В. В. Поспелов.

одна из оси. задач теории дифференц. ур-ний. Заключается в нахождении решения такого ур-ния, удовлетворяющего т. н.начальным условиям. Напр., для ур-ния dy = 2xdx можно поставить К. з.: найти решение у = у(х), принимающее при х₀ = 0 значение у_о=1; оно таково: у = х²+1. Систематически изучалась О. Коши.