«Квантор»

(от лат. quantum — сколько)

логическая операция, дающая количественную характеристику области предметов, к которой относится выражение, получаемое в результате её применения. В обычном языке носителями таких характеристик служат слова типа «все», «каждый», «некоторый», «существует», «имеется», «любой», «всякий», «единственный», «несколько», «бесконечно много», «конечное число», а также все количественные числительные. В формализованных языках (См. Формализованный язык), составной частью которых является Исчисление предикатов, для выражения всех подобных характеристик оказывается достаточным К. двух видов: К. (все) общности (оборот «для всех х», обозначается через ∀x, (∀x), (x) (Ax), х», обозначения: ∃x, (∃x), (Ех),

С помощью К. можно записать четыре основных формы суждений традиционной логики: «все А суть В» записывается в виде ∀x [A(x)⊃ ⊃B(x)], «ни одно A не есть B» — в виде ∀x [A(x)⊃¬B(x)], «некоторые А суть B» — в виде ∃x [A(x)&B(x)], «некоторые А не суть В» — в виде ∃x [A(x)& ¬B(x)] (здесь А(х) означает, что х обладает свойством A, ⊃ — знак импликации (См. Импликация),—отрицания (См. Отрицание), & — конъюнкции (См. Конъюнкция)).

Часть формулы, на которую распространяется действие каких-либо К., называется областью действия этого К. (её можно указать с помощью скобок). Вхождение какой-либо переменной (См. Переменная) в формулу непосредственно после знака К. или в область действия К., после которого стоит эта переменная, называется её связанным вхождением. Все остальные вхождения переменных называются свободными. Формула, содержащая свободные вхождения переменных, зависит от них (является их функцией (См. Функции)); связанные же вхождения переменных можно «переименовывать»; например, записи ∃x(x = 2y) и ∃z(z = 2y) означают одно и то же, чего нельзя сказать о ∃x(x = 2y) и ∃x(x = 2t). Применение К. уменьшает число свободных переменных в логическом выражении и превращает (если К. не «фиктивный», т. е. относится к переменной, действительно входящей в формулу) трёхместный предикат в двухместный, двухместный — в одноместный, одноместный — в высказывание. Употребление К. кодифицируется специальными «постулатами квантификации» (присоединение которых к исчислению высказываний (См. Исчисление высказываний) по существу и означает расширение его до исчисления предикатов), например, следующими «постулатами Бернайса»: аксиомами A(t) ⊃ ∃xA(x) и ∀xA(x) ⊃ A(t) и правилами вывода (См. Правило вывода) «если доказано С ⊃А(х) ⊃ С, то можно считать доказанным и С ⊃ ∀хA(х)» и «если доказано А(х)⊃С, то можно считать доказанным и ∃хA(x) ⊃ C» (здесь х не входит свободно в С).

К К. общности и существования сводятся и др. виды К., например вместо так называемого К. единственности ∃! x («существует единственный х такой, что») можно писать «обычные» К., заменяя ∃! xA(x) на

∃ xA(x) &∀y∀z[A(y)&A(z) ⊃ y = z].

Аналогично, К., «ограниченный» каким-либо одноместным предикатом P(x)(∃x_{P (x)}, читается как «существует x, удовлетворяющий свойству Р и такой, что», а ∀x_{p (x)}—«для всех х, удовлетворяющих свойству Р, верно, что»), легко выразить через К. общности и существования и операторы импликации и конъюнкции:

∃x_{p (x)} A(x) ≡∃x[P(x)&A(x)] и

∀x_{p (x)} A(x) ≡∀x[P(x)⊃A(x)].

Лит.: Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, с. 72—80, 130—138; Чёрч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960, с. 42—48.

Ю.А. Гастев.

лог. quantifierquantifier

quantifier

m.quantor, quantifier

КВАНТОР

— логический оператор, с помощью которого высказывание о к.-л. отдельном объекте преобразуется в высказывание о совокупности (множестве) таких объектов.

В логике используется два основных К.: К. общности, «V», и К. существования, «Э». В естественном языке отдаленными смысловыми аналогами К. общности являются слова «все», «любой», «каждый»; смысловыми аналогами К. существования — слова «некоторые», «существует». С помощью данных К. любое атрибутивное высказывание вида Р(х) о том, что объекту х присуще свойство Р, может быть преобразовано в соответствующее кванторное высказывание вида VхР(х) и вида ЗхР(х). Содержательно сама кванторная формула «VxP(x)» читается как «для всех х имеет место Р(х)», а формула «ЭхР(х)» — как «для некоторых х имеет место Р(х)». Высказывание вида VxP(x) истинно, если любой х обладает свойством Р; и ложно, если хотя бы один х не обладает свойством Р. Аналогичным образом, высказывание вида ЗхР(х) истинно, если хотя бы один х обладает свойством Р; и ложно, если ни один х не обладает свойством Р.

На основе элементарных кванторных формул «VxP(x)», «ЭхР(х)» могут быть построены др., более сложные кванторные формулы. Логические взаимосвязи между такими формулами изучаются в логике предикатов. В частности, формула «ЗхР(х)» логически эквивалентна формуле «) VxКВАНТОР| P(x)», а формула «VхР(х)» эквивалентна формуле «) Эх) Р(х)», где «)» — знак отрицания.

В неявной форме К. использовались уже Аристотелем, однако в строгом содержательном и формальном смысле они впервые были введены в логику Г. Фреге.

(от лат.quantum — сколько) — символ, используемый для обозначения некоторых операций математической логики, одновременно логическая операция, дающая количественную характеристику области предметов, к которым относится выражение, получаемое в результате ее применения.

Обычно используются два квантора:

1) квантор общности (символ х читается: «для любого х», «для каждого х», «для всех х»);

2) квантор существования (символ х читается: «существует х», «найдется х»).

- общее название для логических операций, к-рые по предикату Р(х)строят высказывание, характеризующее область истинности предиката Р(х). В математич. логике наиболее употребительны квантор всеобщности и квантор существования Высказывание означает, что область истинности предиката Р(х)совпадает с областью значений переменной х. Высказывание означает, что область истинности предиката Р(х)непуста. Если интересуются поведением предиката Р(х)не на всей области значений переменной х, а лишь на ее части, выделяемой предикатом R(x), то часто употребляют так наз. ограниченные кванторы и при этом высказывание Р(х) означает то же, что и а Р(х)- то же, что где a - знак конъюнкции,- знак импликации.

В. Е. Плиско.

quantifier

* * *

quantifier

наве́шивать ква́нторы — quantify

ква́нтор о́бщности — generality [universal] quantifier

ограни́ченный ква́нтор — bounded quantifier

ква́нтор существова́ния — existential quantifier

м. матем.

quantificatore m

- квантор общности

вчт, матем.

ква́нтор

- квантор всеобщности

- ограниченный квантор

вчт, матем.

ква́нтор

- квантор всеобщности

- ограниченный квантор

вчт; матем. ква́нтор