«Повторного логарифма закон»

одна из предельных теорем теории вероятностей, близкая по смыслу к закону больших чисел (см. Больших чисел закон). П. л. з. указывает при определённых условиях точный порядок роста сумм независимых случайных величин при увеличении числа слагаемых. Пусть, например, случайные величины X₁, X₂,..., X_n,... независимы и каждая из них принимает два значения: +1 или —1, каждое с вероятностью, равной ¹/₂, и пусть s_n =X₁+...+X_n. Тогда с вероятностью, равной 1, при любом δ > 0:

1) при всех n, бо́льших некоторого (зависящего от случая) номера N:

s_n

2) для бесконечной последовательности номеров n:

s_n > (1 - δ)

Название «П. л. з.» объясняется наличием в вышеприведённых выражениях множителя In In n. П. л. з. возник из задач т. н. метрической теории чисел (см. Чисел теория). Первый результат, относящийся к П. л. з., был установлен в 1924 А. Я. Хинчиным. Дальнейшие существенные продвижения в изучении условий приложимости П. л. з. связаны с работами А. Н. Колмогорова (1929) и В. Феллера (1943).

Лит.: Феллер В., Введение в теорию вероятностей и её приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1, М., 1967.

Ю. В. Прохоров.

предельная теорема теории вероятностей, являющаяся уточнением больших чисел усиленного закона. Пусть X₁, Х ₂,...- последовательность случайных величин и

Для простоты предполагается, что S_n для каждого пимеет нуль своей медианой. В то время как теоремы об усиленном законе больших чисел указывают условия, при к-рых почти наверное (п. н.) при , где {а _п} - числовая последовательность, теоремы о П. л. з. имеют дело с числовыми последовательностями {с _n} такими, что

п. <н. (1)

или

п. <п. (2)

Соотношение (1) равносильно тому, что и для любого e>0, где запись "б. ч." означает бесконечное число раз.

Соотношения вида (1) и (2) справедливы при более ограничительных условиях, чем оценки, вытекающие из усиленного закона больших чисел. Если {Х _n} - последовательность независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение с математич. ожиданием, равным нулю, то п. <н. при (теорема Колмогорова); если выполнено дополнительное условие , то имеет место более сильное соотношение (2), в к-ром

где (теорема Хартмана - Винтнера).

Первой теоремой общего типа о законе повторного логарифма был следующий результат А. Н. Колмогорова [1]. Пусть {Х _п}- последовательность независимых случайных величин с математич. ожиданиями, равными нулю, конечными дисперсиями и пусть

Если при и существует последовательность положительных постоянных {М _n} такая, что

то выполнены соотношения (1) и (2) при

В частном случае, когда {Х _п} - последовательность независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение с двумя значениями, это утверждение было получено А. Я. Хинчиным [2]. IO. Марцинкевич и А. Зигмунд [3] показали, что в условиях теоремы Колмогорова нельзя заменить о на О. Обобщения П. л. з. Колмогорова для последовательностей независимых ограниченных неодинаково распределенных случайных величин были исследованы В. Феллером [4]. Другие обобщения П. л. з. см. в [5]; имеется также следующий результат (см. [6]), примыкающий к теореме Хартмана - Винтнера: если {Х _п} - последовательность независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение с бесконечной дисперсией, то

п. <н.

Результаты, полученные в области П. л. з. для последовательностей независимых случайных величин, послужили отправным пунктом для многочисленных исследований применимости П. л. з. к последовательностям зависимых случайных величин и векторов и к случайным процессам.

Лит.:[1] Колмогоров А. Н., "Math. Ann.", 1929, Bd 101, S. 126-35; [2] Xинчин А. Я., "Fundam. math.", 1924, v. 6, p. 9-20; [3] Marcinkiewicz J., Zygmund A., там же, 1937, v. 29, p. 215-22; [4] Feller W., "Trails. Amer. Math. Soc.", 1943, v. 54, p. 373-402; [5] Strassen V., "Z. Wahrscheinlichkeitstheor. und verw. Geb.", 1964, Bd 3, S. 211-26; [6] его же, там же, 1965-66, Bd 4, S. 265-68' [7] Наrtman P., Wintnеr A., "Amer. J. Math.", 1941, v. 63, p. 169- 176; 18] Ламперти Д ж., Вероятность, пер. сангл., М., 1973; [9] Петров В. В., Суммы независимых случайных величин, М., 1972. В. В. Петров.