«Лежандра многочлены»

сферические многочлены, специальная система многочленов последовательно возрастающих степеней. Впервые рассматривалась А. Лежандроми П. Лапласом (в 1782—85) независимо друг от друга. Для n = 0,1,2,... Л. м. Р(х) могут быть определены формулой:

,

в частности:

,

,

,

и т.д. Все нули многочлена P_n (x) — действительные и лежат в основном промежутке [—1, +1], перемежаясь с нулями многочлена P_n+i (x). Л. м. — Ортогональные многочлены с весом 1 на отрезке [—1, +1,]; они образуют полную систему, чем обусловливается возможность разложения в ряд по Л. м. произвольной функции f(x), интегрируемой на отрезке [—1, +1]:

,

где

Характер сходимости рядов по Л. м. примерно тот же, что и рядов Фурье.

Явное выражение для Л. м.:

Производящая функция:

(Л. м. — коэффициенты при n-й степени в разложении этой функции по степеням t). Рекуррентная формула:

nP_n (x)+(n -1) P_n-2(x)-(2n -1) xP_n-1(x)=0.

Дифференциальное уравнение для Л. м.

возникает при разделении переменных в уравнении Лапласа в сферических координатах. См. также Сферические функции.

Лит.: Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф., Специальные функции. Формулы, графики, таблицы, пер. с нем., 2 изд., М., 1968; Лебедев Н. Н., Специальные функции и их приложения, 2 изд., М. — Л., 1963.

В. Н. Битюцков.

ЛЕЖАНДРА МНОГОЧЛЕНЫ - специальная система многочленов, ортогональных с весом 1 на отрезке ЛЕЖЕ (Leger) Фернан (1881-1955) - французский живописец и график. Геометризованные, уподобленные машинным формам изображения современного мира, картины, посвященные труду индустриальных и строительных рабочих ("Строители", 1951), монументальные декоративные композиции (оформление музея Леже в Бьо по эскизам Леже, 1956-60).

Лежа́ндра многочле́ны

специальная система многочленов, ортогональных с весом 1 на отрезке [-1; 1]. Рассматривались А. Лежандром и П. Лапласом (в 1782—85).

* * *

ЛЕЖА́НДРА МНОГОЧЛЕ́НЫ, специальная система многочленов, ортогональных с весом 1 на отрезке [-1;1]. Рассматривались А. Лежандром и П. Лапласом (в 1782—85).

сферические многочлены, - многочлены, ортогональные на сегменте [ -1,1] с единичным весом Стандартизованные Л. м. определяются Родрига формулой

и имеют представление

Наиболее употребительны формулы

Л. м. можно определить как коэффициенты разложения производящей функции

где ряд в правой части сходится, если

Несколько первых стандартизованных Л. м. имеют вид

Л. м. порядка пудовлетворяет дифференциальному уравнению (уравнению Лежандра)

к-рое появляется при решении уравнения Лапласа в сферич. координатах методом разделения переменных. Ортонормированные Л. м. имеют вид

и допускают равномерную и весовую оценки

Ряды Фурье по Л. м. внутри интервала (-1, 1) аналогичны тригонометрич. рядам Фурье; есть теорема о равносходимости этих двух рядов, к-рая означает, что ряд Фурье - Лежандра функции f(х).в точке

сходится тогда и только тогда, когда в точке сходится тригонометрия, ряд Фурье функции

В окрестности концов положение иное, ибо последовательность возрастает со скоростью Если функция f(x).на гегменте [-1, 1] непрерывна и удовлетворяет условию Липшица порядка то ряд Фурье - Лежандра сходится к функции f(х).равномерно на всем сегменте [-1, 1]. При условии этот ряд, вообще говоря, расходится в точках x=±1.

Эти многочлены введены А. Лежандром [1].

Лит.:[1] Legendre А. М., "Memoires de mathematique et de physique, presentes a l'Academie royale des sciences par divers savants", 1785, t. 10, p. 411-34; [2] Гобсон Е. В., Теория сферических и эллипсоидальных функций, пер. с англ., М., 1952; см. также лит. при статье Ортогональные многочлены.

П. Я. Суетии.

спец. система многочленов, ортогональных с весом 1 на отрезке [-1; 1]. Рассматривались А. Лежандром и П. Лапласом (в 1782-85).