«Катастроф теория»

катастрофизм учение 1-й половины 19 в., рассматривавшее геологическую историю Земли как чередование длительных эпох относительного покоя и сравнительно коротких катастрофических событий, резко преображавших лик планеты. Идея о катастрофах зародившаяся в глубокой древности, в 17—18 вв. стала использоваться для истолкования геологической истории. Но т.к. длительность существования Земли до начала 19 в. оценивалась не более чем в 100 тыс. лет, было трудно объяснить действием обычных причин зафиксированные в толщах пород огромные изменения, претерпевавшиеся Землёй и её органическим миром в прошлом. Стремясь найти выход из этого затруднения, французский естествоиспытатель Ж. Кювье в 1812 выдвинул гипотезу о катастрофах(переворотах), во время которых на большей части планеты якобы погибало всё живое, а затем опустошённые места заселялись другими видами организмов, пережившими катастрофу в отдалённых районах. Это была попытка не только объяснить грандиозность прошлых преобразований Земли, но и преодолеть противоречие между господствовавшими убеждениями в неизменности видов и уже тогда прочно установленным фактом многократной смены в геологическом разрезе отличных друг от друга ископаемых флор и фаун. Идеи Кювье развивали французский палеонтолог А. д'Орбиньи, швейцарский геолог Л. Агассис, английский геолог А. Седжвик и др., насчитывавшие в геологической истории Земли 27 катастроф, во время которых якобы погибал весь органический мир. После каждой катастрофы, по представлениям этих учёных, в результате очередного божественного «акта творения» создавались совершенно новые растения и животные, не связанные с ранее существовавшими; каждый раз они были более сложно и совершенно организованы, чем предшествующие. В периоды между катастрофами никакого развития и изменений вновь созданные живые существа якобы не претерпевали. Концепция катастрофизма и неоднократных творческих актов согласовывалась с библейской версией творения мира. Принимая эту концепцию, можно было объяснить современное состояние поверхности Земли как результат последнего во времени творческого акта.

Тем не менее катастрофизм первой половины 19 в. сыграл положительную роль в развитии биостратиграфии (См. Биостратиграфия), поскольку учением о резких границах между различными по возрасту толщами и качественным своеобразием органического мира каждого периода (эпохи, века) он способствовал укреплению понятия о руководящих окаменелостях. Положительным было и то, что благодаря К. т. широко распространились идеи о прогрессе в органическом мире и об эпизодических событиях, нарушающих однообразие в истории Земли. Это способствовало формированию в дальнейшем представлений о сочетании эволюционного и скачкообразного развития. В середине 19 в. К. т. стала утрачивать своё значение в геологии благодаря победе представлений о том, что ныне действующих геологических факторов достаточно для осуществления за длительный срок всех перемен, зафиксированных в разрезе (Ч. Лайель). Позднее катастрофизм был побежден и в биологии в результате развития эволюционных представлений (Ч. Дарвином и др.). Однако отказ от идей катастрофизма не был окончательным: в 1-й половине 20 в. они частично возродились в форме так называемого неокатастрофизма — представления об одновременных на всей планете фазах складчатости и горообразования, прерывающих длительные эпохи относительного покоя и медленной эволюции коры (нем. геолог Х. Штилле и его последователи); высказываются мысли о катастрофических событиях во Вселенной, вызывающих усиленную радиацию, обусловливающую гибель одних групп организмов и быстрые мутационные изменения других, приводящие к возникновению новых видов и родов живых организмов (нем. палеонтолог О. Шиндевольф). Убедительная критика идей неокатастрофизма в тектонике дана Н. С. Шатским, а в палеонтологии — Л. Ш. Давиташвили.

В. В. Тихомиров.

КАТАСТРОФ теория (катастрофизм) (от греч. katastrophe - поворот - переворот), геологическая концепция, согласно которой в истории Земли периодически повторяются события, внезапно изменяющие первично горизонтальное залегание горных пород, рельеф земной поверхности и уничтожающие все живое. Выдвинута в 1812 французским ученым Ж. Кювье для объяснения смены фаун и флор, наблюдаемых в геологических пластах. К кон. 19 в. катастроф теория потеряла свое значение.

КАТАСТРОФ ТЕОРИЯ

- совокупность приложений теории особенностей дифференцируемых (гладких) отображений X. Уитни (Н. Whitney) и теории бифуркаций А. Пуанкаре (Н. Poincare) и А. А. Андронова. Назв. введено Р. Томом (R. Thorn) в 1972. К. т. применяется к геом. и физ. оптике, гидродинамике, устойчивости кораблей, а также к исследованию биений сердца, эмбриологии, социологии, лингвистике, эксперим. психологии, экономике, геологии, теории элементарных частиц и моделированию деятельности мозга и психич. расстройств и т. п. Поскольку гладкие отображения встречаются повсеместно, неудивительно, что повсеместно встречаются и их особенности. Когда явление описывается гладким отображением и нет причин для нетипичности (напр., симметрии), применение теории особенностей оправдано и полезно (в оптике, теории упругости и др.), тогда как в нек-рых из описанных Томом и Э. К. Зиманом (Е. Ch. Zeeman) приложений сомнительно уже существование изучаемого отображения (в биологии, лингвистике, социологии).Теория особенностей обобщает исследование экстремумов ф-ций на случай нескольких ф-ций любого числа переменных. Критич. точкой ф-ции уназ. точка, в к-рой все первые частные производные равны нулю, Р у/ Р х _i=0;критич. точка наз. невырожденной, если матрица Р ² у/ Р х Р х_j невырождена, т. е. её определитель отличен от нуля. У типичной ф-ции все критич. точки невырождены. Любая гладкая ф-ция в окрестности каждой невырожденной критич. точки приводится к одной из т. н. нормальных форм Морса, y=bx₁²b...bx_n²+C, гладкой заменой независимых переменных. Эти невырожденные особенности устойчивы: напр., всякая ф-ция, достаточно близкая к у= х² (с производными), имеет в подходящей точке вблизи нуля подобную же особенность (невырожденную точку минимума). Все более сложные особенности неустойчивы. Напр., вырожденная критич. точка ф-ции у =х³ в нуле распадается на две при возмущении, превращающем х³ в х³-ex. Типичные отображения поверхности на плоскость (R² "R²) также имеют лишь устойчивые особенности, а именно, складку (y₁=x_l², у ₂=х ₂) либо сборку Уитни (y₁=x₁³+x₁x₂, y₂=x₂). Сборка есть особенность проектирования поверхности y_l=x₁³+x₁x₂ из пространства (x₁, х ₂, у ₁) на плоскость (y₁ x₂) (рис. 1). Списки типичных особенностей отображений R³ "R³ и R⁴ "R⁴ таковы: 1) у ₁=х ₁², y_i=x_i(i>1); 2) y₁=x₁³+x₁x₂, y_i=x_i(i>1); 3) y₁=x₁⁴+x₁²x₂+x₁x₃, y_i=x_i(i>1); 4) y₁=x₁²6x₂²+x₁x₂+x₂x₄, y₂=x₁x₂, y _З=x _З, y₄=х ₄. Отображение R² "R³ обычно имеет особенностями лишь "зонтики Уитни - Кэли" (рис. 2; y₁=x_l², у ₂=х ₁ х ₂, у ₃=х ₂).

При переходе к высшим размерностям списки типичных особенностей растут и даже становятся континуальными (напр., не всякое отображение Rⁿ "Rⁿ при n>8 аппроксимируется устойчивым). Число классов топологически различных особенностей остаётся конечным при любых размерностях. <В теории бифуркаций рассматривается динамическая система, описываемая ур-нием x=q(x,e), с заданным векторным полем q в n-мерном фазовом пространстве {х}. Поле зависит от k-мерного параметра e. Множество состояний равновесия определяет в (n+k)-мерном пространстве { х,e} k-мерную поверхность q( х,e)=0. В типичном случае эта поверхность гладкая, но её проекция на пространство "управляющих параметров" {e} может иметь особенности. Если рассматривать значения {e} как ф-ции на поверхности состояний равновесия, то точки, в к-рых якобиан этих ф-ций равен 0, наз. бифуркационными, а значения ф-ций в этих точках - бифуркац. значениями параметров e. При подходе управляющих параметров к бифуркац. значениям положения равновесия "бифурцируют" (рождаются или умирают). Знание геометрии типичных особенностей позволяет описывать происходящие при этом явления, напр, скачкообразный переход системы к далёкому состоянию равновесия при плавном изменении параметров. Такие скачки способны разрушить систему (механическую, упругую, электрическую, биологическую, химическую и т. п.), откуда и название К. т. <Наиб. успех достигнут в приложениях К. т. к оптике, где даже типичные особенности каустик и перестройки волновых фронтов в трёхмерном пространстве не были известны. Рассмотрим возмущение (свет, звук, ударную волну, эпидемию и др.), распространяющееся с единичной скоростью из области, ограниченной гладким фронтом. Чтобы построить фронт через время t.нужно отложить отрезок длины t на каждом луче нормали. Через нек-рое время на движущемся фронте появляются особенности в точках каустики (огибающей семейства лучей) исходного фронта. Напр., при распространении возмущения внутрь эллипса на плоскости особенности фронта скользят по каустике, имеющей 4 точки возврата (рис. 3). Эти особенности устойчивы (не исчезают при малой деформации исходного фронта). Типичные особенности фронтов в трёхмерном пространстве - это самопересечения, рёбра возврата (нормальная форма х ²=у ³) и ласточкины хвосты [рис. 4; эта поверхность образована точками (а, b, с), для к-рых многочлен х⁴+ах²+bх+с имеет кратный корень]. Каустики в трёхмерном пространстве имеют особенности ещё двух видов (пирамида и кошелёк; рис. 5).Почти все особенности волновых фронтов (или Лежандра преобразований )можно описать как множествабифуркац. значений параметра m, при к-рых возникают особенности отображения ( х,m) "m. гиперповерхности F( х,m)=0 в пространство m, где F - типичное семейство гладких ф-ций вектора х и векторного параметра m. Типичные особенности каустик (или градиентных отображений x "Р S/ Р x, или отображений Гаусса, сопоставляющих точке поверхности направление нормали) можно описать как множества бифуркац. значенийпараметра m, при к-рых ф-ция F(x,m) переменной x имеет вырожденную критич. точку. Ласточкин хвост, пирамида и кошелёк получаются при

F=x⁵+m₁x²+m₂x² + m₃x; F=x₁²x₂bx₂³+m₁x₂²+m₂x₂+m₃x_1.

Особенностям каустик и фронтов геом. оптики соответствуют в волновой теории особенности асимптотик осциллирующих интегралов в методе стационарной фазы или многомерном перевала методе при слиянии неск. стационарных точек. По порядку величины интеграл при подходе к точке каустики возрастает в l^-v раз, где l - длина волны, а показатель v равен ¹/₆ для общей точки каустики (A₂, особенность Эйри); ¹/₄ для общей точки ребра возврата (А ₃,особенность Пирси); ³/₁₀ для ласточкина хвоста (особенность A₄); ¹/з Для кошелька и пирамиды (особенности D₄).Эти особенности связаны с простыми группами Ли A_k~SU(k+1), D_k~O(2k), а также с правильными многогранниками [конечными подгруппами группы SU(2)].

Показатель v определяет интенсивность света вблизи каустики и её особенностей, разрушение среды интенсивной волной, скопление частиц при движении пылевидной среды с потенц. полем скоростей (с иным значением v) и т. п. Универсальность геометрии бифуркац. диаграмм позволяет использовать их для одновременного моделрования многих различных по своему физическому смыслу явлений. Лит.: Постон Т., Стюарт И., Теория катастроф и её приложения, пер. с англ., М., 1980; Арнольд В. И,, Теория катастроф, 2 изд., М., 1983; его же. Особенности, бифуркации и катастрофы, "УФН", 19S3, т. 141, с. 569; Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М., Особенности дифференцируемых отображений, [т. 1-2]. М., 1982-84; Гилмор Р., Прикладная теория катастроф, пер. С англ., кн. 1-2, М., 1984. В. И. Арнольд.