«Плотность вероятности»

случайной величины X, функция р(х), такая, что при любых a и b вероятность неравенства а <> равна

Например, если Х имеет Нормальное распределение, то

Если П. в. p(x) непрерывна, то при достаточно малых dx вероятность неравенства xXx+dx приближённо равна p(x)dx.П. в. всегда удовлетворяет условиям

Аналогично определяют П. в. p(x₁,...,x_s)для нескольких случайных величин X₁, X₂, ..., X_s (т. н. совместную П. в.): при любых a_i, b_iвероятность одновременного выполнения неравенств a₁ <>_i <>₁, . . ., a_s <>_s <>_sравна

Если существует совместная П. в. X₁, Х₂, ..., X_s, то для независимости (См. Независимость)этих величин необходимо и достаточно. чтобы совместная П. в. была произведением П. в. отдельных величин X_i, i = 1, 2, . . ., s.

frequency function, probability density

probability density, density function, frequency function, probability density function

пло́тность вероя́тности

случайной величины X, функция р(х) такая, что при любых а и b вероятность неравенства а<Х<b равна . В частности, вероятность того, что х<Х<x + Δх, при малом Δх приближённо равна р(х)Δх.

* * *

ПЛО́ТНОСТЬ ВЕРОЯ́ТНОСТИ случайной величины Х, функция p(х) такая, что при любых a и b вероятность неравенства a<Х<b равна:

В частности, вероятность того, что х<Х<х+Dх, при малом Dх приближенно равна r(х)Dх.

плотность распределения вероятностей,- производная функции распределения, отвечающей абсолютно непрерывной вероятностной мере. Пусть X - случайный вектор, принимающий значения в re-мерном евклидовом пространстве , Р( х _г,..., х _п).- его функция распределения и пусть существует неотрицательная функция f(x_lt..., х _п). такая, что

для любых действительных ij,..., х _п. Тогда/(ij,..., х _п).наз. плотностью вероятности случайного вектора Xи для любого борелевского множества

Любая неотрицательная интегрируемая функция i(x:,..., х _п), удовлетворяющая условию

является П. в. нек-рого случайного вектора.

Если случайные векторы Xи У, принимающие значения в , независимы и имеют П. в. }( х _г,..., хД).и g(x_l,..., х _п).соответственно, то случайный вектор X--Y имеет П. в. h(x₁,..., x_rt), к-рая является рверт-кой функций fug:

Пусть Х=(X₁,..., Х _п).и Y=(Y₁,..., Y _т) - случайные векторы, принимающие значения в и и имеющие П. в. f(x₁,..., х _п).и g(y₁,..., у _т).соответственно, и пусть Z=( Х ₁,.. ., Х _n, Y₁,..., Y_m) - случайный вектор в R^n+m. Тогда если Xи У независимы, то Z имеет П. в. h(t₁,..., t_n+m), наз. совместной плотностью распределения вероятностей случайных векторов Xи Y, причем

(1)

И обратно, если Zимеет П. в., удовлетворяющую соотношению (1), то Xи Y независимы.

Характеристич. функция j(t₁,..., t_n) случайного вектора X, имеющего П. в. f(x₁,..., х _т), выражается формулой

причем если j(t₁,..., t_n).абсолютно интегрируема, то f(x₁,..., х _п).является ограниченной непрерывной функцией и

П. в. f(x₁,..., х _п).и соответствующая характеристич. функция j(t₁,..., t_n).связаны также следующим соотношением (тождество Планшeреля): функция f²(x₁,..., х _п).интегрируема тогда и только

тогда, когда интегрируема функция|j(t₁,..., t_n)|², и в этом случае

Пусть , - измеримое пространство, v и m суть s-конечные меры на , причем v абсолютно непрерывна относительно m, т. е. из равенства m(A)=0 следует равенство . В этом случае на существует неотрицательная измеримая функция f такая, что

для любого . Функция f наз. производной Радона - Никодима меры v по мере m, а в случае, когда v - вероятностная мера, также П. в. v по отношению к m.

Спонятием П. в. тесно связано понятие доминирова иного семейства распределений. Семейство вероятностных распределений на измеримом пространстве наз. доминированным, если на существует s-конечная мера mтакая, что каждая вероятностная мера из имеет П. в. по отношению к m (или, что то же самое, каждая мера из абсолютно непрерывна относительно m). Предположение о доминированности является существенным в нек-рых теоремах математич. статистики.

Лит.: [1] Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей, 2-изд., М., 1973; [2] Феллер В., Введение в теорию вероятностей и се приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 2, М., 1967; [3] Леман Э., Проверка статистических гипотез, пер. с англ., 2 изд., М., 1979. Н. Г. Ушаков.

случайной величины.X - такая ф-ция р(х) > 0. что вероятность неравенства а < X < b (при любых а и b) равна интеграл^b_ap(x)dx; ф-ция р(х) должна удовлетворять при этом условию:

probability density, density function, frequency function, probability density function

* * *

probability density

матем. densità di probabilità

густина́ ймові́рності

густина́ ймові́рності

случайной вели чины X, функция р(х) такая, что при любых а и Ь вероятность неравенства а<Х<b равна интеграл^b_a p(x)dx. В частности, вероятность того, что х < X < х + Дельта х: при малом Дельта х приближённо равна р(х)*Дельта х.

Производная (если она существует) от

функции распределения.

Примечание. Часто f(x)dx называют "элементом вероятности".