«Перевала метод»

метод нахождения асимптотических выражений (См. Асимптотическое выражение) некоторых интегралов. Многие специальные функции (например, Цилиндрические функции,Сферические функции и др.) выражаются интегралами вида

где f(τ) = u(х, у)+ iυ(x, y)— аналитическая функция от τ = х + iy такая, что u(х, у) стремится к — ∞ при приближении к концам контура С. Для вычисления этих интегралов при больших положительных значениях z применяется П. м. Он состоит в том, что контур С деформируют в контур C', имеющий те же концы, что и С, и проходящий через нуль τ₀ функции f'(τ) по кривой вида υ(x, y)=const (по теореме Коши значение интеграла не меняется при деформации контура). На поверхности t = u(х, у)контур C' изобразится путём, проходящим через точку перевала этой поверхности (отсюда название метода) так, что по обе стороны этой точки путь как можно более круто спускается к большим отрицательным значениям u(х, у). Поэтому при действительном положительном z существенное влияние на значение интеграла (*) оказывает лишь ближайшая окрестность точки τ₀, и это обстоятельство может быть использовано для получения асимптотического выражений интеграла, например заменой функции f(τ) в окрестности точки то отрезком её ряда Тейлора.

П. м., как правило, даёт возможность найти весь асимптотический ряд для интеграла (*).

Если подинтегральная функция многозначна, то при деформации контура приходится считаться с разрезами, возникающими в результате неоднозначности, и часть пути направлять вдоль разрезов. П. м. применяется и к вычислению интегралов вида

Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, 8 изд., т. 3, ч. 2, М., 1969.

ПЕРЕВАЛА МЕТОД

- способ оценкиинтегралов, подынтегральные ф-ции к-рых имеют резкий максимум. Обычно П. <м. применяют для оценки интегралов вида

где - большой параметр,- контур в комплексной плоскости z, ф-ции f(z) и q(z )аналитичныв области, содержащей П. м. позволяет получить асимптотическое разложение интеграла Суть П. м. заключается в том, что для подынтегральной ф-ции с резким максимумомосн. вклад в интеграл даёт малая окрестность точки максимума z₀.Преобразуя путь интегрирования и производя замену переменных, добиваютсятого, чтобы наиб. давала окрестность z₀ как можно меньшегоразмера, а подынтегральная ф-ция имела наиб. простой вид. Получающиесяэталонные интегралы часто удаётся вычислить. Простейший вариант П. м. былиспользован П. Лапласом (P. Laplace) в 1820, затем он был развит в работахБ. Римана (В. Riemann) в 1863 и П. Дебая (P. Debye) в 1909.

На первом этапе вычислений контур деформируют в контур с теми же концами, проходящий через стационарные точки z₀ ф-ции q(z)[точки, в к-рых q'(z)=0]. Стационарнаяточка является седловой точкой поверхности и = и(х, у) =Req(z),z= х+ iy. Наиб. удобный путь интегрирования совпадает с линией, <вдоль к-рой Im q(z )постоянна, a Req(z) убывает быстреевсего (перевальный контур, путь наибыстрейшего спуска), тогда вычислениеинтеграла сводится к интегрированию по вещественной переменной. Др. возможность- выбор линии с постоянной Req(z), в этом случае П. м. переходитв метод стационарной фазы. Если при переходе к перевальному контуру встречаютсяособые точки ф-ции f(z), соответствующие вклады учитываютс помощью Коши теоремы. Если в рассматриваемой области q'(z)неимеет пулей, осн. вклад в интеграл даёт окрестность одного из концов контураинтегрирования.

На след. этапе вычислений производят заменупеременной так, чтобы максимум ф-ции достигалсяпри s =0, а производная обладала нулями такого же порядка, как и ф-ция q'(z). От выбора зависит вид эталонного интеграла.

1. Если q'(z )имеет в точке z₀ нуль порядка m, а f(z) регулярна вблизи z₀,то Эталонныйинтеграл выражается через гамма-функцию (см. Эйлера интегралы).

2. Если q'(z )имеет два близкорасположенных простых нуля z_1,2, то а₀- постоянная. Эталонный интеграл выражается через Эйри функцию. Если конечна, то надо учитывать вклады каждого нуля отдельно (случай 1).

3. Три равноотстоящих нуля, расположенныхблизко друг к другу. Подстановка = а ₀- ( а+ s²)²,эталонный интеграл выражается через параболического цилиндра функцию.

4. Если вблизи z₀ имеетсяполюс ф-ции f(z), то интеграл разбивается на две части, одна изк-рых соответствует случаю 1, а вторая выражается через интеграл вероятностиили Френеля интеграл (см. Интегральные функции).

5. Если f(z) имеет точку ветвления1-го порядка вблизи простой седловой точки, то интеграл выражается черезф-цию параболич. цилиндра.

6. Седловая точка находится вблизи концевойточки контура интегрирования, но не совпадает с ней. Эталонный интегралвыражается через интеграл Френеля.

Напр., если ф-ция f(z) неимеет особенностей вблизи изолиров. седловой точки 1-го порядка z₀,т. е. точки, в к-рой q'(z₀) =0, q"(z₀)0,то асимптотич. значение таково:

аналогично получают асимптотич. разложениеинтеграла по степеням

П. м. можно применять и в многомерномслучае. Напр., для кратного вещественного интеграла

имеющего простую стационарную точку x₀= {x_i0,..., x_n0}, и для ф-ции f(x),регулярной вблизи x₀, асимптотич. оценка имеет вид

Возможность перехода к эталонному интегралув случае многомерной перевальной точки определяется леммой Морса, в соответствиис к-рой в окрестности невырожденной перевальной точки существует такаясистема локальных координат z₁,..., z_n,что f(z) = f(0) + z²₁+.... + z²_n. В тех случаях, когда при заменепеременных возникают особенности, структуру эталонных интегралов определяютметодами теории дифференцируемых отображений (см. Катастроф теория).

П. м. зачастую является единств, средствомоценки интегралов, его применяют в разл. задачах матем. и статистическойфизики, распространения и рассеяния волн, диффузии и теплопроводности, <при исследовании специальных функций, интегральных преобразований идр.

Лит.: Джеффрис Г., Свирлс Б., Методыматематической физики, пер. с англ., в. 3, М., 1970, гл. 17; Федорюк М. <В., Метод перевала, М., 1977; Фелсен Л., Маркувиц Н., Излучение и рассеяниеволн, пер. с англ., т. 1, М., 1978, гл. 4; Олвер Ф., Введение в асимптотическиеметоды и специальные функции, пер. с англ., М., 1978.

В. Е. Рокотян.

- метод вычисления асимптотики интегралов вида

(*)

где - большой параметр, у - контур в комплексной плоскости z, функции f(z).и S(z) голоморфны в области D, содержащей у. Нули функции S'(z) наз. точками перевала функции S(z); точка перевала - седловая точка поверхности U== Re S(x+y). Суть П. м. состоит в следующем. Контур g деформируется в контур с теми же концами, лежащий в Dи такой, что достигается только в точках перевала или на концах (перевальный контур). Асимптотика интеграла (*) по перевальному контуру вычисляется с помощью Лапласа метода и равна сумме вкладов от указанных точек максимума. Вклад от точки z₀ - это интеграл вида (*), взятый по малой дуге контура , содержащей точку z₀. Если z₀ - внутренняя точка контура - точка перевала и , то

Перевальный контур обладает минимаксным свойством: на нем достигается

где минимум берется по всем контурам , лежащим в Dи имеющим те же концы, что и g. Основная трудность при применении П. м.- отбор точек перевала, т. е. выбор перевального контура , отвечающего g.

П. м. восходит к П. Дебаю [1]; идеи этого метода были высказаны ранее Б. Риманом (см. [2]). Вычисление вкладов от точек перевала и от концов контура см. в [3] - [9].

П. м.- по существу единственный метод, позволяющий вычислять асимптотику интегралов вида (*). С его помощью вычислены асимптотики преобразований Лапласа, Фурье, Меллина, экспоненты от полинома, многих специальных функций.

Пусть - ограниченное многообразие с краем размерности пи класса , функции f(z), S(z).голоморфны в нек-рой области D, содержащей g, и dz=. Пусть достигается только в одной точке z⁰, к-рая является внутренней точкой g и невырожденной точкой перевала функции S(z), т. е. . Тогда вклад от z⁰ равен

Лит.:[1] Dеbуе P., "Math. Ann.", 1909, Bd 67, S. 535-58; [2] Риман Б., Сочинения, пер. с нем., М.- Л., 1948; [3] Эрдейи А., Асимптотические разложения, пер. с англ., М., 1962; [4] Брейн Н. Г., Асимптотические методы в анализе, пер. с англ., М., 1961; [5] Евграфов М. А., Асимптотические оценки и целые функции, 2 изд., М., 1962; [6] Копсон Э.-Т., Асимптотические разложения, пер. с англ., М., 1966; [7] Оlvеr F. W. J., Asymptotics and special functions, N. Y. - [a. o.], 1974; [8] Риекстыньш Э. Я., Асимптотические разложения интегралов, т. 1-2, Рига, 1974-77; [9] Федорюк М. В., Метод перевала, М., 1977. М. В. Федорюк.