«Возможных перемещений принцип»

один из вариационных принципов механики (См. Вариационные принципы механики), устанавливающий общее условие равновесия механической системы. Согласно В. п. п., для равновесия механической системы с идеальными связями (см. Связи механические) необходимо и достаточно, чтобы сумма работ δA_i, всех приложенных к системе активных сил на любом возможном перемещении (См. Возможные перемещения) системы была равна нулю. Математически В. п. п. выражается уравнением

где F_i — действующие активные силы, δs_i — величины возможных перемещений точек приложения этих сил, α_i — углы между направлениями сил и возможных перемещений. Для систем с несколькими степенями свободы уравнение (1) должно составляться для каждого независимого перемещения в отдельности.

Таким образом, В. п. п. позволяет найти условия равновесия системы, не вводя неизвестных реакций связей, что существенно упрощает решение и расширяет класс разрешимых задач. Например, с помощью В. п. п. легко найти условия равновесия подъёмного механизма, детали которого скрыты в коробке К (см. рис.). Из уравнения (1) получаем

где Р иQ— действующие силы. Для окончательного расчёта надо установить зависимость между перемещениями δs_B и δs_D.Если при одном повороте рукоятки АВвинт поднимается на величину h, то эта зависимость найдётся из пропорции δs_B: δs_D = 2πa: h, где а — длина рукоятки. Окончательно уравнение (2) даёт следующее условие равновесия Р = Qh/2πa. Методами геометрической статики (если скрытые в коробке детали механизма неизвестны) эта задача вообще решена быть не может.

О применении аналогичного метода к решению задач динамики см. Д'Аламбера - Лагранжа принцип.

С. М. Тарг.

Рисунок к ст. Возможных перемещений принцип.

ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ принцип - для равновесия механической системы необходимо и достаточно, чтобы сумма работ всех действующих на систему сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю. Возможных перемещений принцип применяется при изучении условий равновесия сложных механических систем (механизмов, машин).

ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПРИНЦИП

один из вариационных принципов механики, устанавливающий общее условие равновесия механич. системы. Согласно В. п. п., для равновесия механич. системы с идеальными связями (см. СВЯЗИ МЕХАНИЧЕСКИЕ) необходимо и достаточно, чтобы сумма работ dAi всех приложенных к системе активных сил на любом возможном перемещении системы была равна нулю. Математически В. п. п. выражается ур-нием:

SdAi?SFidsicosai=0, (*)

где FI — действующие активные силы, 6s; — величины возможных перемещений точек приложения этих сил, ai — углы между направлениями сил и возможных перемещений. Для систем с неск. степенями свободы ур-ние (*) может составляться для каждого независимого перемещения в отдельности. В. п. п. позволяет найти условия равновесия системы с идеальными связями, не вводя неизвестных реакций связей, что существенно упрощает решение и расширяет класс разрешимых задач. О применении метода, аналогичного даваемому В. п. п. к решению задач динамики (см. Д'АЛАМБЕРА — ЛАГРАНЖА ПРИНЦИП).

ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПРИНЦИП

ВОЗМО́ЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕ́НИЙ ПРИ́НЦИП, для равновесия механической системы необходимо и достаточно, чтобы сумма работ всех действующих на систему сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю. Возможных перемещений принцип применяется при изучении условий равновесия сложных механических систем (механизмов, машин).

виртуальных скоростей принцип,- дифференциальный вариационный принцип классической механики, выражающий наиболее общие условия равновесия механических систем, стесненных идеальными связями.

Согласно В. п. п. механич. система находится в равновесии в нек-ром положении тогда и только тогда, когда сумма элементарных работ заданных активных сил на всяком возможном перемещении, выводящем систему из рассматриваемого положения, равна нулю или меньше нуля:

в любой момент времени.

Возможными (виртуальными) перемещениями системы наз. элементарные (бесконечно малые) перемещения точек системы, допускаемые в данный момент времени наложенными на систему связями. Если связи являются удерживающими (двусторонними), то возможные перемещения обратимы, и в условии (*) следует брать знак равенства; если же связи- неудерживающие (односторонние), то среди возможных перемещений имеются необратимые. При движении системы под действием активных сил связи действуют на точки системы с нек-рыми силами реакций (пассивные силы), в определении к-рых предполагается полностью учтенным механич. действие связей на систему (в том смысле, что связи возможно заменять вызванными ими реакциями) (аксиома освобождаемости). Связи наз. идеальными, если сумма элементарных работ их реакций причем знак равенства имеет место для обратимых возможных перемещений, а знаки равенства или больше нуля - для необратимых перемещений. Положения равновесия системы - такие положения в к-рых система будет оставаться все время, если она помещена в эти положения с нулевыми начальными скоростями при этом предполагается, что уравнения связей удовлетворяются при любом tзначениями Активные силы в общем случае предполагаются заданными функциями а в условии (*) следует считать

В условии (*) содержатся все уравнения и законы равновесия систем с идеальными связями, благодаря чему можно сказать, что вся статика сводится к одной общей формуле (*).

Закон равновесия, выражаемый В. п. п., впервые был установлен Гвидо Убальди (Guido Ubaldi) на рычаге и на движущихся блоках или полиспастах. Г. Галилей (G. Galilei) установил его для наклонных плоскостей и рассматривал этот закон как общее свойство равновесия простых машин. Дж. Валлис (J. Wallis) положил его в основание статики и из него вывел теорию равновесия машин. Р. Декарт (R. Descartes) свел всю статику к единому принципу, к-рый, по существу, совпадает с принципом Галилея. И. Бернулли (J. Bernoulli) первый понял большую общность В. п. п. и его полезность при решении задач статики. Ж. Лагранж [1] выразил В. п. п. в общей форме и тем самым свел всю статику к адиной общей формуле; он дал доказательство (не вполне строгое) В. п. п. для систем, стесненных двусторонними (удерживающими) связями. Общая формула статики для равновесия любой системы сил и разработанный Ж. Лагранжем метод применения этой формулы были систематически им использованы для вывода общих свойств равновесия системы тел и решения различных проблем статики, включая задачи равновесия несжимаемых, а также сжимаемых и упругих жидкостей. Ж. Лагранж считал В. п. п. основным принципом для всей механики. Строгое доказательство В. п. п., а также распространение его на односторонние (неудерживающие) связи было дано Ж. Фурье [2], М. В. Остроградским [3].

Лит.:[1] Lagrange J., Mecanique analytiquc, P., 1788 (рус. пер.: Лагранж Ж., Аналитическая механлка, М.-Л., 1950); [2] Fourier J., "J. de 1'Ecole Polytechnique", 1798, t. II, p. 20; [3] Остроградский М. В., Лекции по аналитической механике, Собр. соч., т. 1, ч. 2, М.-Л., 1946.

В. В. Румянцы.

для равновесия механич. системы необходимо и достаточно, чтобы сумма работ всех действующих на систему сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю. В. п. п. применяется при изучении условий равновесия сложных механич. систем (механизмов, машин).