«Геометрические построения»

решение некоторых геометрических задач при помощи вспомогательных инструментов (линейка, циркуль и т.п.), которые предполагаются абсолютно точными. В исследованиях по Г. п. выясняется круг задач, разрешимых с помощью заданного набора инструментов, и указываются способы решения этих задач. Г. п. обычно разделяются на построения на плоскости и в пространстве. Отдельные задачи на Г. п. на плоскости рассматривались ещё в древности (например, знаменитые задачи о трисекции угла (См. Трисекция угла), удвоении куба (См. Удвоение куба), квадратуре круга (См. Квадратура круга)). Как и многие другие, они относятся к задачам на Г. п. с помощью циркуля и линейки. Г. п. на плоскости имеют богатую историю. Теория этих построений разработана датским геометром Г. Мором (1672) и затем итальянским инженером Л. Маскерони (1797). Значительный вклад в теорию Г. п. был сделан швейцарским учёным Я. Штейнером (1833). Лишь в 19 в. был выяснен круг задач, разрешимых с помощью указанных инструментов. В частности, отмеченные выше знаменитые задачи древности не разрешимы с помощью циркуля и линейки.

Г. п. на плоскости Лобачевского занимался сам Н. И. Лобачевский. Общая теория таких построений и построений на сфере была развита советским геометром Д. Д. Мордухай-Болтовским.

Г. п. в пространстве связаны с методами начертательной геометрии. Теория Г. п. представляет интерес лишь в части, связанной с практическими приложениями в начертательной геометрии.

Лит.: Адлер А., Теория геометрических построений, пер. с нем., 3 изд., Л., 1940; Четверухин Н. Ф., Методы геометрических построений, М., 1938; Штейнер Я., Геометрические построения, выполняемые с помощью прямой линии и неподвижного круга, пер. с нем., М., 1939; Александров И. И., Сборник геометрических задач на построение с решениями, 18 изд., М., 1950.

Э. Г. Позняк.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ - приемы, позволяющие по графически данным элементам (точкам, прямым, окружностям) найти (построить) с помощью наперед заданных средств другие элементы, связанные с данными некоторыми условиями. Наиболее известны построения с помощью циркуля и линейки (односторонней, без делений). В связи с этим типом геометрических построений возникли классические задачи древности: квадратура круга, трисекция угла и удвоение куба.

геометри́ческие построе́ния

приёмы, позволяющие по графически данным элементам (точкам, прямым, окружностям) найти (построить) с помощью наперёд заданных средств другие элементы, связанные с данными некоторыми условиями. Наиболее известны построения с помощью циркуля и линейки (односторонней, без делений). В связи с этим типом геометрических построений возникли классические задачи древности: квадратура круга, трисекция угла и удвоение куба.

* * *

ГЕОМЕТРИ́ЧЕСКИЕ ПОСТРОЕ́НИЯ, приемы, позволяющие по графически данным элементам (точкам, прямым, окружностям) найти (построить) с помощью наперед заданных средств другие элементы, связанные с данными некоторыми условиями. Наиболее известны построения с помощью циркуля и линейки (односторонней, без делений). В связи с этим типом геометрических построений возникли классические задачи древности: квадратура круга(см. КВАДРАТУРА КРУГА), трисекция угла и удвоение куба(см. УДВОЕНИЕ КУБА).

решение нек-рых геометрич. задач при помощи различных инструментов (линейки, циркуля и др.), к-рые предполагаются абсолютно точными. В зависимости от выбора инструментов определяется цикл задач, к-рые могут быть разрешены этими средствами. Основным набором инструментов для Г. п. являются циркуль и линейка. Задача на построение разрешима при помощи циркуля и линейки, если координаты искомой точки могут быть записаны в виде выражений, содержащих конечное число операций сложения, умножения, деления и извлечения квадратного корня, примененных к координатам заданных точек (см., напр., Деления круга многочлен). Если таких выражений не существует, то задача не может быть решена при помощи циркуля и линейки. К этим задачам относятся, напр., удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга. Любая задача на построение, разрешимая при помощи циркуля и линейки, может быть решена при помощи и других наборов инструментов: одним циркулем - так наз. Мора - Маскерони построения (G. Mohr, 1672; L. Mascheroni, 1797); линейкой с двумя параллельными краями, к-рая может быть заменена угольником (A. Adler, 1890); линейкой и окружностью, заданной в плоскости чертежа с отмеченным центром,- Понселе - Штейнера построения (V. Poncelet, 1822; J. Steiner, 1833).

Лит.:[1] Адлер А., Теория геометрических построений, пер. с нем., 3 изд., Л., 1940; [2] Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем., М.- Л., 1948; [3] Энциклопедия элементарной математики, кн. 4, Геометрия, М., 1963.

П. С. Моденов, А. С. Пархоменко.

приёмы, позволяющие по графически данным элементам (точкам, прямым, окружностям) найти (построить) с помощью наперёд заданных средств др. элементы, связанные с данными нек-рыми условиями. Наиболее известны построения с помощью циркуля и линейки (односторонней, без делений). В связи с этим типом Г. п. возникли классич. задачи древности: квадратура круга, трисекция угла и удвоение куба.