«Гаусса принцип»

принцип наименьшего принуждения, один из вариационных принципов механики (См. Вариационные принципы механики), согласно которому для механической системы с идеальными связями (см. Связи механические) из всех кинематически возможных, т. e. допускаемых связями, движении, начинающихся из данного положения и с данными начальными скоростями, истинным будет то движение, для которого «принуждение» Z является в каждый момент времени наименьшим. Установлен К. Гауссом (1829).

Физическая величина, называемая «принуждением», вводится следующим образом. Свободная материальная точка с массой m при действии на неё заданной силы Fбудет иметь ускорение F/m; если же на точку наложены связи, то её ускорение при действии той же силы F станет равным какой-то др. величине w. Тогда отклонение точки от свободного движения, вызванное действием связи, будет зависеть от разности этих ускорений, т. e. от F/m—w. Величину Z, пропорциональную квадрату этой разности, и называют «принуждением». Для одной точки

а для механической системы Z равняется сумме таких величин.

Рассмотрим, например, точку, которая начинает двигаться вдоль гладкой наклонной плоскости из положения А без начальной скорости (см.рис.). Для неё кинематически возможно любое перемещение АВ, AB₁, AB₂,... в этой плоскости с какими-то ускорениями w, w₁, w₂,..; при свободном же падении точка совершила бы перемещение AC вдоль вертикали с ускорением g. Тогда отклонения точки от свободного движения изобразятся отрезками CB, CB₁, CB₂,..., наименьшим из которых будет отрезок CB, перпендикулярный к наклонной плоскости. Следовательно, «принуждение» Z, пропорциональное квадратам CB, CB₁, CB₂,..., будет наименьшим при движении вдоль линии наименьшего ската AD. Это и будет истинное движение точки, происходящее с ускорением w = gsinα.

Г. п. пользуются для составления уравнений движения механических систем и изучения свойств этих движений.

Лит. см. при ст. Вариационные принципы механики.

Рис. к ст. Гаусса принцип.

ГАУССА ПРИНЦИП

(принцип наименьшего принуждения) - вариационный принцип механики, устанавливающий одно из общих свойств движения механич. системы с любыми (голономными и неголономными) идеальными связями (см. Связи механические). Сформулирован К. Ф. Гауссом в 1829. Выражаемое Г. п. свойство движения связано с понятием о т. н. "принуждении" системы, вводимом след. образом. Если рассмотреть свободную материальную точку массой т, то она под действием заданной силы F совершит за промежуток времени из положения А перемещение, определяемое с точностью до малых 3-го порядка вектором:

где - скорость точки в положении А, - ускорение, сообщаемое силой .

При наличии связей та же точка под действием той же силы и реакции связи получит какое-то др. ускорение (часть ускорения, равная , будет точкой "потеряна") и совершит за время из того же положения А и при той же нач. скорости др. перемещение:

Разность определяет вызванное действием связи отклонение точки от направления свободного движения, пропорциональное потерянному ускорению . Величина Z, равная сумме произведений масс всех точек системы на квадраты их потерянных ускорений, и наз., по Гауссу, "принуждением" системы:

Г. п. устанавливает, что при идеальных удерживающих связях из всех кинематически возможных (допускаемых связями) движений, к-рые система может иметь, начиная перемещение из данной конфигурации с данными нач. скоростями, истинным будет то движение, для к-рого Z в каждый момент времени минимально. Напр., для частицы, движущейся вдоль наклонной плоскости под действием силы тяжести из положения А при v₀=0 (рис.), свободным будет пере мещение AB по . вертикали, а кинематически возможным при данной связи - любое из перемещений AC₀, AC₁, AC₂,... вдоль наклонной плоскости. Следовательно, "принуждение" Z для частицы пропорционально квадрату величины BC_i, к-рая, очевидно, будет наименьшей для истинного перемещения AC₀ (по линии наименьшего ската), что и утверждает Г. п.

Математически Г. п. выражается равенством Z=0, в к-ром варьируются только ускорения точек системы; при этом предполагается, что силы от ускорения не зависят. Тогда из (1) можно получить др. выражение Г. п.: истинное движение механич. системы отличается от всех др. кинематически возможных движений, начинающихся из той же конфигурации и с теми же нач. скоростями, тем, что только для истинного движения в каждый данный момент времени справедливо равенство:

С помощью Г. п. можно получить дифференц. ур-ния движения любой механич. системы с идеальными связями. В частности, из него следует, что при отсутствии заданных сил точка будет двигаться вдоль данной гладкой поверхности по кривой, имеющей наименьшую кривизну. Это указывает на связь Г. п. с принципом прямейшего пути (см. Герца принцип).

Лит.: Бухгольц H. H., Основной курс теоретической механики, ч. 2, 6 изд., M., 1972; Леви-Чивита Т., Амальди У., Курс теоретической механики, пер. с итал., т. 2, ч. 2, M., 1951; Невзглядов В. Г., Теоретическая механика, M., 1959. С. M. Тарг.

ГАУССА ПРИНЦИП

(принцип наименьшего принуждения), один из вариационных принципов механики, согласно к-рому для механич. системы с идеальными связями (см. СВЯЗИ МЕХАНИЧЕСКИЕ) из всех кинематически возможных, т. е. допускаемых связями, движений, начинающихся из данного положения и с данными нач. скоростями, истинным будет то движение, для к-рого «принуждение» Z явл. в каждый момент времени наименьшим. Установлен нем. учёным К. Ф. Гауссом (1829). Физ. величина, наз. «принуждением», вводится след. образом. Свободная матер. точка с массой m при действии на неё заданной силы F будет иметь ускорение F/m; если же на точку наложены связи, то её ускорение при действии той же силы станет равным какой-то др. величине w. Тогда отклонение точки от свободного движения, вызванное действием связи, будет зависеть от разности этих ускорений, т. е. от F/m-w. Величину Z, пропорц. квадрату этой разности, и наз. «принуждением». Для одной точки

Z=1/2m(F/m-w)2.

а для механич. системы Z равняется сумме таких величин.

Рассмотрим, напр., точку, к-рая начинает двигаться вдоль гладкой наклонной плоскости из положения А без нач. скорости (рис.).

.

Для неё кинематически возможно любое перемещение АВ, АВ1, АВ2,... в этой плоскости с какими-то ускорениями w, w1, w2,...; при свободном же падении точка совершила бы перемещение вдоль вертикали АС с ускорением g. Тогда отклонения точки от свободного движения изобразятся отрезками СВ, СВ1, СВ2,..., наименьшим из к-рых будет отрезок СВ, перпендикулярный к наклонной плоскости. Следовательно, «принуждение» Z, пропорц. квадратам СВ, СВ1, СВ2,..., будет наименьшим при движении вдоль линии наименьшего ската AD. Это и будет истинное движение точки, происходящее с ускорением w=gsina. Математически Г. п. выражается равенством dZ=0, в к-ром варьируются только ускорения точек системы; при этом предполагается, что силы от ускорения не зависят.

Г. п. пользуются для составления ур-ний движения механич. систем и изучения св-в этих движений.

наименьшего принуждения принцип,- один из основных, наиболее общих дифференциальных вариационных принципов классической механики, установленный К. Гауссом (см. [1]) и выражающий экстремальное свойство действительного движения системы из класса мыслимых по Гауссу движений, удовлетворяющих наложенным на систему идеальным связям и условиям постоянства положений и скоростей точек системы для рассматриваемого момента времени.

Согласно Г. п. "движение системы материальных точек, связанных между собой произвольным образом и подверженных любым влияниям, в каждое мгновение происходит в наиболее совершенном, какое только возможно, согласии с тем движением, каким обладали бы эти точки, если бы они стали свободными, т. е. оно происходит с наименьшим возможным принуждением, если в качестве меры принуждения за время dt принять величину, равную сумме произведений массы каждой точки на квадрат величины ее отклонения от того положения, которое она заняла бы, если бы была свободной" (см. [1]).

Г. п. равносилен Д'Аламбера -Лагранжа принципу и применим как к голономным, так и к неголономным системам. Г. п. обобщен на случай освобождения системы от части связей (см. [2], [3]), а также на случай систем, стесненных неидеальными связями, и на случай сплошных сред (см. [4]).

Лит.:[1] Gauss С., "J. reine und angew. Math.", 1829, Bd 4, S. 232-35; [2] Болотов Е. А., "Изв. Физ.-матем. об-ва при Казан, ун-те", 1916, т. 21, сер. 2, Я" 3, с. 99-152; [3] Четаев Н. Г., там же, 1932-33, т. 6, сер. 3, с. 68-71; [4] Румянцев В. В., "Прикл. матем. и механ.", 1973, т. 37, № 6, с. 963-73. В. В. Румянцев.

вариационный принцип механики, устанавливающий одно из общих свойств движения мех. системы с любыми идеальными связями (см. Связи механические). Наз. также принципом наименьшего принуждения, т. к. он содержит в формулировке понятие "принуждения", вычисляемого как сумма произведений масс всех точек системы на квадраты их "потерянных" из-за наличия связей ускорений. Г. п. устанавливает, что из всех возможных перемещений системы истинным будет движение, для к-рого это принуждение в каждый момент времени минимально. Матем. выражение Г. п. позволяет получать дифференц. ур-ния движения любой мех. системы с идеальными связями. Принцип сформулирован К. Гауссом в 1829.