«Метатеория»

(от Мета...)

теория, анализирующая структуру, методы и свойства какой-либо другой теории — т. н. предметной теории, или объектной. Термин «М.» осмысленно употребляется лишь по отношению к некоторой конкретной предметной теории; так, М. логики называют металогикой (См. Металогика), М. математики — метаматематикой (См. Метаматематика); аналогичный смысл имеют термины «метахимия», «метабиология» и т. п. (за исключением «метафизики»). В принципе можно говорить о М. любой научной дисциплины, как дедуктивной, так и недедуктивной (например, метатеоретическая роль в известном смысле играет философия); однако по-настоящему продуктивным понятие М. оказывается в применении именно к дедуктивным наукам: математике, логике и математизированным фрагментам естествознания и др. наук (например, лингвистики). Более того, фактическим объектом рассмотрения в М. оказывается, как правило, не сама по себе та или иная содержательная научная теория, а её формальный аналог и экспликат — точное понятие исчисления (См. Исчисление) (формальной системы (См. Формальная система)); если же подлежащая исследованию в М. теория носит содержательный характер, то она предварительно подвергается формализации (См. Формализация). Т. о., часть М., изучающая структуру своей предметной теории, имеет дело с ней именно как с формальной системой, т. е. воспринимает её элементы как лишённые какого бы то ни было «содержания» (смысла) чисто формальные Конструктивные объекты, строго идентифицируемые (или, наоборот, различаемые) между собой, из которых по четко сформулированным правилам образования строятся знакосочетания, являющиеся «выражениями» (формулами) данной формальной системы. Эта часть М. — т. н. синтаксис — изучает также дедуктивные средства рассматриваемой предметной теории (см. Дедукция); в ней, в частности, определяется понятие (формального) Доказательства для данной предметной теории, а также более общее понятие вывода из данных посылок. Сама М., в отличие от предметной теории, есть теория содержательная: характер используемых в ней средств описания, рассуждения и доказательства может быть каким-либо специальным образом оговорён и ограничен, но во всяком случае сами эти средства суть содержательно понимаемые элементы обычного (естественного) языка и «логики здравого смысла». Основное содержание М. составляют метатеоремы (См. Метатеорема), или «теоремы о теоремах». Примером синтаксической метатеоремы может служить теорема о дедукции, устанавливающая связь между понятием выводимости (доказуемости) в данной предметной теории (например, в исчислении высказываний или исчислении предикатов) и логической операцией импликации (См. Импликация), входящей в «алфавит» данной предметной теории.

В круг интересов М. входит также рассмотрение всевозможных интерпретаций (См. Интерпретация) исследуемой формальной системы; соответствующая часть (или аспект) М., воспринимающая предметную теорию как Формализованный язык, называют семантикой (см. Логическая семантика). Примером семантической метатеоремы является теорема о полноте классического исчисления высказываний, согласно которой для этого исчисления понятия доказуемой формулы (формальной теоремы) и формулы, истинной при некоторой «естественной» его интерпретации, совпадают.

Многие понятия М. (и относящиеся к ним метатеоремы) носят «смешанный» характер: и синтаксический, и семантический. Таково, например, важнейшее понятие непротиворечивости (См. Непротиворечивость), определяемое и как невыводимость в предметной теории формального противоречия (т. е. конъюнкции (См. Конъюнкция) некоторой формулы и её отрицания (См. Отрицание); т. н. внутренняя непротиворечивость), и как «соответствие» данной предметной теории некоторой её «естественной» интерпретации (т. н. внешняя, или семантическая, непротиворечивость); совпадение обоих этих понятий по объёму есть нетривиальный факт М., относящийся, очевидно, и к синтаксису, и к семантике данной теории. Классическим примером метатеоремы, связывающей ряд важнейших синтаксических и семантических понятий, являются теоремы Гёделя (См. Гёдель) о неполноте формальной арифметики (и содержащих её более богатых логико-математических исчислений) и о невозможности доказательства непротиворечивости широкого класса исчислений формализуемыми в этих исчислениях средствами. Понятие разрешимости формальной теории носит, напротив, чисто синтаксический характер, а понятие полноты (См. Полнота) — по преимуществу семантический. М., конечно, сама может быть формализована и быть предметом изучения некоторой метаметатеории и т. д.

Понятие «М.» впервые было выдвинуто Д. Гильбертом в связи с его программой обоснования классической математики средствами создаваемой его школой теории доказательств (метаматематики). Ряд важнейших метатеоретических результатов (главным образом семантического содержания) был получен А. Тарским (См. Тарский). В развитие идей Тарского и Р. Карнапа, Х. Б. Карри называет М. «эпитеорией», резервируя термин «М. » для некоторого более специального словоупотребления. См. также Аксиоматический метод, Метаязык, Математический формализм.

Лит.: Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, гл. III—VIII, XIV, XV; Чёрч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960 (введение); его же. Математическая логика, пер. с англ., М., 1973; Карри Х. Б., Основания математической логики, пер с англ., М., 1969, гл. 2—3.

Ю. А. Гастев.

МЕТАТЕО́РИЯ, -и, жен. (спец.). Теория, представляющая основные свойства какой-н. другой теории, специально для этого формализованной.

| прил. метатеоретический, -ая, -ое.

МЕТАТЕОРИЯ (от мета... и теория) - изучает структурные, дедуктивные, семантические и пр. свойства какой-либо другой (предметной) теории, представленной обычно в виде формальной системы или исчисления.

metatheorymetatheory

МЕТАТЕОРИЯ

(от греч. meta — после, за, позади) — теория, изучающая язык, структуру и свойства некоторой др. теории. Теория, свойства которой исследуются в М., называется предметной, или объектной, теорией. Наиболее развиты М. в логике и математике (металогика И метаматематика). Объектом исследования М. обычно оказывается не содержание объектной теории, а ее формальные свойства, поэтому она предварительно формализуется и представляется в виде формального исчисления. В М. обычно выделяют две части: синтаксис, изучающий структурные и дедуктивные свойства исследуемой теории, и семантику, рассматривающую вопросы интерпретации изучаемой теории. Понятие «М.» впервые было предложено нем. математиком Д. Гильбертом в связи с его программой обоснования математики средствами теории доказательств. Ряд важных метатеоретических результатов был получен А. Тарским.

МЕТАТЕОРИЯ - теория, анализирующая различные свойства, структуру, закономерности, методы и приемы исследования другой теории, называемой объектной или предметной. М. выполняет методологическую функцию по отношению к определенной научной области. М. главным образом применяется в исследовании логических теорий (металоги-ка) и оснований математики (метаматематика). Понятие М. впервые ввел Д. Гильберт в связи с программой обоснования математики. Математика была представлена им как теория, которая содержит все утверждения о том, что то или иное математическое выражение доказуемо. В структурном отношении М. включает в себя совокупность теоретических положений, выступающих схемами положений объектной (предметной) теории. М. обычно формулируется на метаязыке. Отсюда, - в узком смысле, М. - это теория, изучающая синтаксические, семантические, прагматические и логические (специальные правила вывода) свойства систем с формализованным языком при помощи методов аксиоматизации, алгоритмизации, конструктивизации и т.д. Например, в аспекте аксиоматического метода проблемами М. выступают проблемы непротиворечивости, независимости и полноты предметной теории. Дедуктивные средства предметной теории формулируются в качестве метааксиом и метатеорем, которые принципиально не могут быть описаны в языке предметной (объектной) теории. М. выступает по отношению к последней как понимающая рефлексивная система. Синтаксический и семантический языки, а также метаакеиомы и мета-теоремы составляют метаязык. Более специализированное рассмотрение М. осуществляется в разделе математической логики - теории моделей. Предельной объемлющей системой оценки любых форм знания и человеческой деятельности выступает культура, осознаваемая в своих предельных основаниях посредством философской рефлексии.

метатео́рия

(от мета... и теория), изучает структурные, дедуктивные, семантические и прочие свойства какой-либо другой (предметной) теории, представленной обычно в виде формальной системы или исчисления.

* * *

МЕТАТЕО́РИЯ (от мета...(см. МЕТА... (часть сложных слов)) и теория(см. ТЕОРИЯ)), изучает структурные, дедуктивные, семантические и пр. свойства какой-либо другой (предметной) теории, представленной обычно в виде формальной системы или исчисления(см. ИСЧИСЛЕНИЕ).

- совокупность математич. средств и методов, предназначенных для описания и определения нек-рой формальной аксиоматич. теории, а также для исследования ее свойств. М. является важной составной частью метода формализации - одного из центральных методов математич. логики.

Суть этого метода можно кратко охарактеризовать следующим образом. Допустим, нас интересует нек-рая содержательная математич. теория T₁. Это может быть сложная теория, семантика к-рой недостаточно интуитивно ясна (напр., это может быть теория множеств, математич. анализ, арифметика 2-го порядка и т. п.). Нас интересует, является ли Т ₁ непротиворечивой теорией или совместен ли с Т ₁ нек-рый математич. принцип (напр., выбора аксиома). С целью выяснения этого вопроса вначале формулируется точный логико-математич. язык Q такой, что все интересующие пас утверждения Т ₁ записываются в виде формул языка Q. Затем логич. принципы, употреблявшиеся в теории для получения новых фактов, формализуются в виде аксиом и чисто формальных правил вывода, позволяющих выводить новые формулы языка Qиз аксиом и уже выведенных формул. Таким образом, возникает формальная система (или, иначе, формальная аксиоматическая теория, исчисление) точно описывающая нек-рый интересующий, нас фрагмент содержательной теории Т ₁. Существенно при этом, что формулировка не требует исчерпывающего проникновения в, быть может, весьма сложную семантику Т ₁. Исчисление строится по простым законам как чисто знаковая система и для понимания устройства этой знаковой системы нет нужды вникать в смысл выводимых в ней формул.

Такой подход открывает, во-первых, возможность строго математически сформулировать интересующие нас проблемы, относящиеся к выводимости нек-рых формул в и, во-вторых, исследовать средствами нек-рой содержательной теории Т ₂. В этой ситуации наз. предметной теорией, а Т ₂- ее метатеорией.

С точки зрения оснований математики важно, чтобы Т ₂ была в нек-ром отношении более надежной теорией, чем Т ₁ , так что исследование средствами Т ₂ можно было бы рассматривать как действительное разъяснение и обоснование неясных деталей семантики Т ₁ с помощью более убедительной теории Т ₂ . В этой связи особенное предпочтение отдается достаточно надежным М., отражающим финитные установки в математике, теориям, построенным в рамках интуиционизма или конструктивной математики. Впрочем, вне оснований математики это ограничение не является обязательным. Если нас интересует не столько вопрос об интуитивной ясности Т ₁, сколько просто факт о выводимости или невыводимости нек-рых формул в естественно исследовать средствами любой исторически сложившейся и убедительной для исследователя математич. теории Т ₂, не накладывая никаких априорных ограничений.

Можно далее исследовать аналогичным образом и метатеорию Т ₂ , построив формальную систему и изучая уже средствами нек-рой метамета-теории Т ₃ . Такого рода исследования характерны для доказательств теории.

Лит.:[1] Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. С англ., М., 1957.

А. Г. <Драгалин

ж.

metateoria f

матем.

метатео́рія

матем.

метатео́рія

- англ. metatheory; нем. Metatheorie. Теория, анализирующая структуру, методы и принципы к.-л. научной теории.

(МЕТА-THEORY) Этот термин обозначает общие философские посылки, обеспечивающие правила построения тех или иных социологических теорий и обосновывающие использование конкретных социологических методов. В социологии существует несколько таких метатеорий, примером может служить герменевтика.

- англ. metatheory; нем. Metatheorie. Теория, анализирующая структуру, методы и принципы к.-л. научной теории.