«Конечных разностей исчисление»

раздел математики, в котором изучаются функции при дискретном (прерывном) изменении аргумента, в отличие от дифференциального исчисления (См. Дифференциальное исчисление) и интегрального исчисления (См. Интегральное исчисление), где аргумент предполагается непрерывно изменяющимся. Конечными разностями «вперёд» для последовательности значений y₁= f (x₁), y₂ = f (x₂),..., y_k = f (x_k),... функции f (x), соответствующих последовательности значений аргумента x₀,..., x_k,,...(x_k = х₀ + kh, h — постоянное, k — целое), называют выражения:

Δy_k ≡Δf (x_k) = f (x_k+1) - f (x_k)

(разности 1-го порядка),

Δ²y_k ≡Δ²f (x_k) =Δf (x_k+1)- Δf (x_k) = f (x_k+2)-2f (x_k+1) + f (x_k)

(разности 2-го порядка),

Δⁿy_k ≡Δⁿf (x_k) =Δ^n-1f (x_k+1) - Δ^n-1f (x_k)

(разности n-го порядка).

Соответственно, конечные разности «назад» Δⁿy_к определяются равенствами

Δⁿy_к =Δⁿy_{к + n}.

При интерполяции (См. Интерполяция) часто пользуются т. н. центральными разностями δⁿy, которые вычисляются при нечётном n в точках х = x_i+¹l₂h, а при чётном n в точках х = x_i по формулам

δf (x_i + ¹/₂h) ≡ δy_i+1/2 = f (x_i+1) - f (x_i),

δ²f (x_i) ≡ δ²y_i = δy_i+1/2,

δ^2m-1f (x_i + ¹/₂h) ≡ δ^2т—1yi_+1/2 = δ^2т—2yi₊₁-δ^2т—2yi,

δ^2mf (x_i) ≡ δ^2ту_i = δ^2т—1yi_+1/2 - δ^2т—1yi_-1/2

Они дополняются средними арифметическими

где m = 1,2,...; если m = 0, то полагают

Центральные разности δⁿy связаны с конечными разностями Δⁿy соотношениями

δ^2ту_i = Δ^2ту_i-m,

δ^2т+1yi_+1/2 = Δ^2m+1y_i-m

Если значения аргумента не составляют арифметической прогрессии, т. е. x_k+1 - x_k неесть тождественно постоянная, то вместо конечных разностей пользуются разделёнными разностями, последовательно определяемыми по формулам

…………………………..……………………

Связь между конечными разностями и производными устанавливается формулой Δⁿy_k = f ⁽ⁿ⁾(гдеx_k≤_k+n.Существует полная аналогия между ролью конечных разностей в теории функций дискретного аргумента и ролью производных в теории функций непрерывного аргумента; конечные разности являются удобным аппаратом при построении ряда разделов численного анализа: интерполирование функций, численное дифференцирование и интегрирование, численные методы решения дифференциальных уравнений.

Например, для приближённого решения (См. Приближённое решение)дифференциального уравнения (обыкновенного или с частными производными) часто заменяют входящие в него производные соответствующими разностями, деленными на степени разностей аргументов, и решают полученное таким способом разностное уравнение (одномерное или многомерное).

Важный раздел К. р. и. посвящен решению разностных уравнений вида

F [x,(f (x),...,Δⁿf (x)] = 0 (1)

задаче, во многом сходной с решением дифференциальных уравнений n-го порядка. Обычно уравнение (1) записывают в виде

Ф [х, f (x), f (x₁),..., f (x_n)] =0,

выражая разности через соответствующие значения функции. Особенно простой случай представляет линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами:

f (x+n) + a₁f (x+n-1) +... + a_nf (x) = 0,

где a₁,..., a_n — постоянные числа. Чтобы решить такое уравнение, находят корни λ₁, λ₂,... λ_n его характеристического уравнения

λⁿ + a₁λ^n-1+...+a_n = 0.

Тогда общее решение данного уравнения представится в виде

f (x) = С₁λ₁^х + C₂λ₂^x +... + C_nλ_n^x,

гдеC₁, C₂,..., C_n —произвольные постоянные (здесь предполагается, что среди чисел λ₁, λ₂,..., λ_nнет равных).

Лит.: Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений, 3 изд., т. 1—2, М., 1966; Гельфонд А. О., Исчисление конечных разностей, 3 изд., М., 1967.

Под редакцией Н. С. Бахвалова.

КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ИСЧИСЛЕНИЕ - раздел математики, в котором изучаются функции при дискретном (прерывном) изменении аргумента, в отличие от дифференциального исчисления и интегрального исчисления, где аргумент предполагается непрерывно изменяющимся.

коне́чных ра́зностей исчисле́ние

раздел математики, в котором изучаются функции при дискретном (прерывном) изменении аргумента, в отличие от дифференциального исчисления и интегрального исчисления, где аргумент предполагается непрерывно изменяющимся.

* * *

КОНЕ́ЧНЫХ РА́ЗНОСТЕЙ ИСЧИСЛЕ́НИЕ, раздел математики, в котором изучаются функции при дискретном (прерывном) изменении аргумента, в отличие от дифференциального исчисления(см. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ) и интегрального исчисления(см. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ), где аргумент предполагается непрерывно изменяющимся.

- раздел математики, в к-ром изучаются функции при дискретном изменении аргумента, в отличие от дифференциального и интегрального исчислений, где аргумент изменяется непрерывно. Пусть функция y=f(x)задана в точках x_k=x₀+kh(h - постоянная, к- целое). Тогда

- (конечные) разности первого порядка,

- разности второго порядка,...,

- разности n-го порядка. Разности удобно располагать в таблицу:

Разность n-го порядка через величины у ₀, у₁,... выражается формулой:

Наряду с разностями вперед Dy_k употребляются разности назад:

В ряде вопросов (в частности, при построении интерполяционных формул) используют центральные разности: к-рые определяются следующим образом:

Между центральными dⁿy_l. и обычными разностями Dⁿy_k имеется связь

В случае, когда промежутки х _k+1- х _k не постоянны, рассматривают так наз. разделенные разности:

Имеет место формула

Иногда вместо [ х ₀; х ₁;...; х _п] употребляется обозначение f(x₀; х ₁;...; х _п). Если x_n=x₀+nh, n=0, 1, 2,..., то

Если функция f(x)в интервале x_k<х<x_k+n имеет n-ю производную fⁿ (х), то

К. р. и. тесно связано с общей теорией приближения функций, используется в приближенном дифференцировании и интегрировании, в приближенном решении дифференциальных уравнений и других вопросах. Пусть поставлена задача (интерполяционная задача) о восстановлении функции f(x), если известны значения f(x)в точках х ₀, х ₁,..., х _п. Строится многочлен Р(х)степени п, к-рый в указанных точках принимает те же значения, что и f(x). Его можно записать в различных формах - в форме Лагранжа, в форме Ньютона и т. д. В форме Ньютона интерполяционный многочлен имеет вид:

а в случае равноотстоящих значений независимого переменного:

Функцию f(х)принимают приближенно равной Р _п{х). Если f(x)имеет n+1 производную, то ошибка от замены f(x)на Р _п (х)оценивается соотношением

где x, лежит в интервале, в к-ром находятся точки х, х ₀,..., хД. В случае, если f(x)- многочлен степени

то f(x) = P_n(x). При неограниченном увеличении числа узлов интерполяции многочлен Р _п (х)становится в пределе многочленом Р(х)"бесконечной" степени и естественно возникает вопрос: когда f(x)-P(x), т. е. когда будет выполняться равенство

(для простоты рассматривается случай равноотстоящих узлов). Пусть х ₀=0, h=i, так что x_n=n(n>0). Если ряд (1) сходится в точке а, отличной от узлов (ряд (1) всегда сходится в узлах х ₀, x₁...), то он сходится в полуплоскости Re x>a и представляет собой в этой полуплоскости аналитич. функцию, к-рая в полуплоскости удовлетворяет условию (e>0):

Обратно, если f(x)аналитична в нек-рой полуплоскости и имеет оценку роста, подобную указанной (несколько лучше ее), то она представляется рядом (1). Таким образом, в ряд (1) (так наз. ряд Ньютона) разлагаются функции из весьма узкого класса (только аналитич. функции с определенным ростом). Изучаются ряды Ньютона, когда узлы - вообще комплексные числа. Такие ряды нашли большое применение в теории трансцендентных чисел. Пусть теперь узлы интерполяции образуют треугольную матрицу

и интерполяционный многочлен Р _п (х)строится по узлам, расположенным в (n+1)-й строчке. Класе функций, для к-рых Р _п (х)стремится к f(x)при зависит от матрицы узлов. Напр., в случае, когда

(x _п, k- корни Чебышева многочлена), для сходимости интерполяционного процесса на отрезке [ -1,1] достаточно выполнения условия

где w(d) - непрерывности модуль f (х)на [ -1,1].

Другая важная задача К. р. и - задача суммирования функций. Пусть дана нек-рая функция f(x). Требуется найти в конечном виде, точно или приближенно, сумму

при фиксированных х ₀ и hи большом п, если известны нек-рые аналитич. свойства f(x). Иначе говоря, исследуется асимптотич. поведение S_n при Пусть х ₀=0, h=i (для простоты) и найдена функция F(x)такая, что

Тогда