«Векторное пространство»

математическое понятие, обобщающее понятие совокупности всех (свободных) Векторовобычного трёхмерного пространства.

Определение В. п. Для векторов трёхмерного пространства указаны правила сложения векторов и умножения их на действительные числа (см. Векторное исчисление). В применении к любым векторам х, у, z и любым числам α, β эти правила удовлетворяют следующим условиям (условия А):

1) х+у=у+х (перестановочность сложения);

2)(х+у)+z=x+(y+z) (ассоциативность сложения);

3) имеется нулевой вектор 0 (или нуль-вектор), удовлетворяющий условию x+0=x: для любого вектора x;

4) для любого вектора х существует противоположный ему вектор у такой, что х+у =0,

5) 1 · х=х,

6) α(βx)=(αβ)х (ассоциативность умножения);

7) (α+β)х=αх+βх (распределительное свойство относительно числового множителя);

8) α(х+у)=αх+αу(распределительное свойство относительно векторного множителя).

Векторным (или линейным) пространством называется множество R, состоящее из элементов любой природы (называемых векторами), в котором определены операции сложения элементов и умножения элементов на действительные числа, удовлетворяющие условиям А (условия 1—3 выражают, что операция сложения, определённая в В. п., превращает его в коммутативную группу). Выражение

α₁e₁+α₂e₂+…+α_ne_n (1)

называется линейной комбинацией векторов e₁, e₂,..., e_n с коэффициентами α₁, α₂,..., α_n. Линейная комбинация (1) называется нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов α₁, α₂,..., α_n отличен от нуля. Векторы e₁, e₂,..., e_n называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная комбинация (1), представляющая собой нулевой вектор. В противном случае (то есть если только тривиальная комбинация векторов e₁, e₂,..., e_n равна нулевому вектору) векторы e₁, e₂,..., e_n называется линейно независимыми.

Векторы (свободные) трёхмерного пространства удовлетворяют следующему условию (условие В): существуют три линейно независимых вектора; любые четыре вектора линейно зависимы (любые три ненулевых вектора, не лежащие в одной плоскости, являются линейно независимыми).

В. п. называется n-мepным (или имеет «размерность n»), если в нём существуют n линейно независимых элементов e₁, e₂,..., e_n, а любые n+1 элементов линейно зависимы (обобщённое условие В). В. п. называются бесконечномерным, если в нём для любого натурального n существует n линейно независимых векторов. Любые n линейно независимых векторов n-мepного В. п. образуют базис этого пространства. Если e₁, e₂,..., e_n — базис В. п., то любой вектор хэтого пространства может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов:

x=α₁e₁+α₂e₂+...+α_ne_n.

При этом числа α₁, α_2,..., α_n называются координатами вектора х в данном базисе.

Примеры В. п. Множество всех векторов трёхмерного пространства образует, очевидно, В. п. Более сложным примером может служить так называемое n-мерное арифметическое пространство. Векторами этого пространства являются упорядоченные системы из n действительных чисел: λ ₁, λ ₂,..., λ _n. Сумма двух векторов и произведение на число определяются соотношениями:

(λ₁, λ₂, …, λ_n)+(μ₁, μ₂, …, μ_n)=(λ₁+μ₁, λ₂+μ₂, …, λ_n+μ_n);

α(λ₁, λ₂, …, λ_n)=(αλ₁, αλ₂, …, αλ_n).

Базисом в этом пространстве может служить, например, следующая система из n векторов e₁ = (1, 0,..., 0), e₂ = (0, 1,..., 0),..., e_n = (0, 0,..., 1).

Множество R всех многочленов α₀+α₁u+…+α_nuⁿ (любых степеней n) от одного переменного с действительными коэффициентами α₀, α₁,..., α_n с обычными алгебраическими правилами сложения многочленов и умножения многочленов на действительные числа образует В. п. Многочлены 1, u, u²,..., uⁿ(при любом n) линейно независимы в R,поэтому R — бесконечномерное В. п.

Многочлены степени не выше n образуют В. п. размерности n+1; его базисом могут служить многочлены 1, u, u²,..., uⁿ.

Подпространства В. п.В. п. R' называется подпространством R, если R' ⊆ R(то есть каждый вектор пространства R'есть и вектор пространства R) и если для каждого вектора v ∈ r' и для каждых двух векторов v₁ и v₂(v₁, v₂ ∈ R') вектор λv (при любом λ) и вектор v₁+v₂ один и тот же независимо от того, рассматриваются ли векторы v, v₁, v₂ как элементы пространства R' или R. Линейной оболочкой векторов x₁, x₂,... x_p называется множество всевозможных линейных комбинаций этих векторов, то есть векторов вида α₁x₁+α₂x₂+…+α_px_p. В трёхмерном пространстве линейной оболочкой одного ненулевого вектора x₁ будет, очевидно, совокупность всех векторов, лежащих на прямой, определяемой вектором x₁.Линейной оболочкой двух не лежащих на одной прямой векторов x₁ и x₂ будет совокупность всех векторов, расположенных в плоскости, которую определяют векторы x₁ и x₂. В общем случае произвольного В. п. R линейная оболочка векторов x₁, x₂,..., x_p этого пространства представляет собой подпространство пространства R размерности р.В n-мерном В. п. существуют подпространства всех размерностей, меньших р.Всякое конечномерное (данной размерности k) подпространство R' В. п. Rесть линейная оболочка любых k линейно независимых векторов, лежащих в R'.Пространство, состоящее из всех многочленов степени ≤ n (линейная оболочка многочленов 1, u, u²,..., uⁿ), есть (n+1)-мepное подпространство пространства R всех многочленов.

Евклидовы пространства. Для развития геометрических методов в теории В. п. нужно указать пути обобщения таких понятий, как длина вектора, угол между векторами и т.п. Один из возможных путей заключается в том, что любым двум векторам х и у из R ставится в соответствие число, обозначаемое (х, у) и называемое скалярным произведением векторов х и у. При этом требуется, чтобы выполнялись следующие аксиомы скалярного произведения:

1) (х, у)=(у, х) (перестановочность);

2) (x₁+x₂, y)=(x₁, y)+(x₂, y) (распределительное свойство);

3) (αx, у)=α(х, у),

4) (х, х)≥ 0 для любого х, причем (х, х) = 0 только для х=0.

Обычное скалярное произведение в трёхмерном пространстве этим аксиомам удовлетворяет. В. п., в котором определено скалярное произведение, удовлетворяющее перечисленным аксиомам, называется евклидовым пространством; оно может быть как конечномерным (n-мерным), так и бесконечномерным. Бесконечномерное евклидово пространство обычно называют гильбертовым пространством (См. Гильбертово пространство). Длина |x| вектора x и угол х и у евклидова пространства определяются через скалярное произведение формулами

Примером евклидова пространства может служить обычное трёхмерное пространство со скалярным произведением, определяемым в векторном исчислении. Евклидово n-мepное (арифметическое) пространство Eⁿ получим, определяя в n-мepном арифметическом В. п. скалярное произведение векторов x =(λ₁, …, λ_n)и y= (μ₁, …, μ_n) соотношением

(x, y)=λ₁μ₁+λ₂μ₂+…+λ_nμ_n. (2)

При этом требования 1)—4), очевидно, выполняются.

В евклидовых пространствах вводится понятие ортогональных (перпендикулярных) векторов. Именно векторы х и у называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю: (х, у)=0.В рассмотренном пространстве Eⁿ условие ортогональности векторов x=(λ₁, …, λ_n) и y=(μ₁, …, μ_n), как это следует из соотношения (2), имеет вид:

λ₁μ₁+λ₂μ₂+…+λ_nμ_n=0. (3)

Применение В. п. Понятие В. п. (и различные обобщения) широко применяется в математике и её приложениях к естествознанию. Пусть, например, R —множество всех решений линейного однородного дифференциального уравнения yⁿ+a₁(x)y⁽ⁿ⁺¹⁾ +…+a_n (x)y=0. Ясно, что сумма двух решений и произведение решения на число являются решениями этого уравнения. Таким образом, R удовлетворяет условиям А. Доказывается, что для R выполнено обобщённое условие В. Следовательно, R является В. п. Любой базис в рассмотренном В. п. называется фундаментальной системой решений, знание которой позволяет найти все решения рассматриваемого уравнения. Понятие евклидова пространства позволяет полностью геометризовать теорию систем однородных линейных уравнений:

Рассмотрим в евклидовом пространстве Eⁿвекторы a_i =(α_i1, α_i2, …, α_in), i=1, 2,..., n и вектор-решение u=(u₁, u₂,..., u_n).Пользуясь формулой (2) для скалярного произведения векторов Eⁿ, придадим системе (4) следующий вид:

(a_i, u)=0, i=1, 2, …, m. (5)

Из соотношений (5) и формулы (3) следует, что вектор-решение u ортогонален всем векторам a_i. Иными словами, этот вектор ортогонален линейной оболочке векторов a_i, то есть решение u есть любой вектор из ортогонального дополнения линейной оболочки векторов a_i. Важную роль в математике и физике играют и бесконечномерные линейные пространства (См. Линейное пространство). Примером такого пространства может служить пространство С непрерывных функций на отрезке с обычной операцией сложения и умножения на действительные числа. Упомянутое выше пространство всех многочленов является подпространством пространства С.

Лит.: Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии, М., 1968; Гельфанд И, М., Лекции по линейной алгебре, М. — Л., 1948.

Э. Г. Позняк.

vector space

vector space

ве́кторное простра́нство

математическое понятие, обобщающее понятие совокупности всех векторов 3-мерного пространства на случай произвольного числа измерений.

* * *

ВЕ́КТОРНОЕ ПРОСТРА́НСТВО, математическое понятие, обобщающее понятие совокупности всех векторов 3-мерного пространства на случай произвольного числа измерений.

, линейное пространство, над полем К, - аддитивно записанная абелева группа Е, в которой определено умножение элементов на скаляры, т. е. отображение

удовлетворяющее следующим аксиомам

Из аксиом 1) - 4) вытекают следующие важные свойства векторного пространства :

Элементы В. п. наз. точками В. п., или векторами, а элементы поля К - скалярами.

Наибольшее применение в математике и приложениях имеют В. п. над полем комплексных чисел или над полем действительных чисел; они наз. соответственно комплексными В. п. или действительными В. п.

Аксиомы В. п. выявляют нек-рые алгебраич. свойства многих классов функций, часто встречающихся в анализе.

Из примеров В. п. самыми фундаментальными и наиболее ранними являются n-мерные евклидовы пространства. Почти столь же важными примерами являются многие функциональные пространства: пространство непрерывных функций, пространство измеримых функций, пространство суммируемых функций, пространство аналитич. функций, пространство функций ограниченной вариации.

Понятие В. п. есть частный случай понятия модуля над кольцом, а именно, В. н. есть унитарный модуль над полем. Унитарный модуль над некоммутативным телом также наз. векторным пространством над телом; теория таких В. п. во многом сложнее теории В. п. над полем.

Одной из важных задач, связанных с В. п., является изучение геометрии В. п., т. е. изучение прямых в В. п., плоских и выпуклых множеств в В. п., подпространств В. п. и базисов в В. п.

Векторным подпространством, или просто подпространством, В. п. Енад полем А' наз. подмножество , замкнутое относительно действий сложения и умножения на скаляр. Подпространство, рассматриваемое отдельно от вмещающего его пространства, есть В. п. над тем же полем.

Прямой линией, проходящей через две точки хи уВ. п. Е, наз. множество элементов вида Множество наз. плоским множеством, если вместе с любыми двумя точками оно содержит прямую, проходящую через эти точки. Каждое плоское множество получается из нек-рого подпространства с помощью сдвига (параллельного переноса): ; это означает, что каждый элемент представим единственным образом в виде причем это равенство осуществляет взаимно однозначное соответствие между Fи G.

Совокупность всех сдвигов данного подпространства образует В. п. над К, наз. фактор-пространством , если определить операции следующим образом:

Пусть - произвольное множество векторов из Е;линейной комбинацией векторов наз. вектор х, определенный формулой

в к-рой лишь конечное число коэффициентов отлично от нуля. Совокупность всех линейных комбинаций векторов данного множества Мявляется наименьшим подпространством, содержащим М, и наз. линейной оболочкой множества М. Линейная комбинация наз. тривиальной, если все коэффициенты равны нулю. Множество Мназ. линейно независимым множеством, если все нетривиальные линейные комбинации векторов из Мотличны от нуля.

Любое линейно независимое множество содержится в нек-ром максимальном линейно независимом множестве , т. е. в таком множестве, к-рое перестает быть линейно независимым после присоединения к нему любого элемента из Е.

Каждый элемент может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации элементов максимального линейно независимого множества:

В связи с этим максимальное линейно независимое множество наз. базисом В. п. (алгебраическим базисом). Все базисы данного В. п. имеют одинаковую мощность, к-рая наз. размерностью В. п. Если эта мощность конечна, пространство наз. конечномерным В. п.; в противном случае оно наз. бесконечномерным В. п.

Поле Кможно рассматривать как одномерное В. п. над полем К;базис этого В. п. состоит из одного элемента; им может быть любой элемент, отличный от нуля. Конечномерное В. п. с базисом из пэлементов наз. n-мерным пространством.

В теории действительных и комплексных В. п. важную роль играет теория выпуклых множеств. Множество Мв действительном В. п. наз. выпуклым множеством, если вместе с любыми двумя его точками х, у отрезок также принадлежит М.

Большое место в теории В. п. занимает теория линейных функционалов на В. п. и связанная с этим теория двойственности. Пусть Еесть В. п. над полем К. Линейным функционалом на Еназ. аддитивное и однородное отображение

Множество всех линейных функционалов на Еобразует В. п. над полем Котносительно операций

Это В. п. наз. сопряженным (или двойственным) пространством (к Е). С понятием сопряженного пространства связан ряд геометрич. терминов. Пусть (соответственно ); аннулятором множества D, или ортогональным дополнением множества D (соответственно множества Г) наз. множество

(соответственно

здесь п - подпространства соответственно пространств Если f - ненулевой элемент из , то есть максимальное собственное линейное подпространство в Е, наз. иногда гиперподпространством; сдвиг такого подпространства наз. гиперплоскостьюв Е;всякая гиперплоскость имеет вид

Если F ~ подпространство В. п. Е, то существуют естественные изоморфизмы между и

Подмножество наз. тотальным подмножеством над Е, если его аннулятор содержит лишь нулевой элемент:

Каждому линейно независимому множеству можно сопоставить сопряженное множество , т. е. такое множество, что ( Кронекера символ).для всех Множество пар наз. при этом биортогональной системой. Если множество есть базис в Е, то тотально над .

Значительное место в теории В. п. занимает теория линейных преобразований В. п. Пусть Е ₁, Е ₂ - два В. п. над одним и тем же полем К. Линейным отображением, или линейным оператором, Т, отображающим В. п. E₁ в В. п. Е ₂ (или линейным оператором из E₁ в E₂), наз. аддитивное и однородное отображение пространства Е ₁ в Е ₂:

Частным случаем этого понятия является линейный функционал, или линейный оператор из Е ₁ в K.

Линейным отображением является, напр., естественное отображение В. п. E на факторпространство , сопоставляющее каждому элементу плоское множество . Совокупность всех линейных операторов образует В. п. относительно операций

Два В. п. Е ₁ и E₂ наз. изоморфными В. п., если существует линейный оператор ("изоморфизм"), осуществляющий взаимно однозначное соответствие между их элементами. Е ₁ и E₂ изоморфны тогда и только тогда, когда их базисы имеют одинаковую мощность.

Пусть Т - линейный оператор, отображающий Е ₁ в Е ₂. Сопряженным линейным оператором, или двойственным линейным оператором, по отношению к Т, наз. линейный оператор определенный равенством

Имеют место соотношения откуда следует, что является изоморфизмом тогда и только тогда, когда Тявляется изоморфизмом.

С теорией линейных отображений В. п. тесно связана теория билинейных отображений и полилинейных отображений В. п.

Важную группу задач теории В. п. образуют задачи продолжения линейных отображений. Пусть F - подпространство В. п. - линейное пространство вад тем же полем, что и Е ₁ и пусть - линейное отображение требуется найти продолжение Тотображения Т ₀, определенное на всем Е ₁ и являющееся линейным отображением Е ₁ в Е ₂ . Такое продолжение всегда существует, но дополнительные ограничения на функции (связанные с дополнительными структурами в В. п., напр., топологией или отношением порядка) могут сделать задачу неразрешимой. Примерами решения задачи продолжения являются Хана- Банаха теорема и теоремы о продолжении положительных функционалов в пространствах с конусом.

Важным разделом теории В. п. является теория операций над В. п., т. е. способов построения новых В. п. по известным. Примеры таких операций - известные операции взятия подпространства и образования фак-торпространства по подпространству. Другие важные операции - построение прямой суммы, прямого произведения и тензорного произведения В. п.

Пусть - семейство В. п. над полем К. Множество Е - произведение множеств - можно превратить в В. п. над полем К, введя операции

полученное В. п. Еназ. прямым произведением В. п. и обозначается . Подпространство В. п. Е, состоящее из всех тех наборов , для каждого из к-рых множество конечно, наз. прямой суммой В. п. и обозначается или ; для конечного числа слагаемых эти определения совпадают; в этом случае используются обозначения:

Пусть - два В. п. над полем - тотальные подпространства В. п. - В. п., имеющее своим базисом совокупность всех элементов пространства Каждому элементу сопоставляется билинейная функция на по формуле Это отображение базисных векторов можно продолжить до линейного отображения Г В. п. в В. п. всех билинейных функционалов на Пусть . Тензорным произведением В. п. Е ₁ и Е ₂ наз. факторпространство образ элемента обозначается . В. п. изоморфно В. п. билинейных функционалов на (см. Тензорное произведение векторных пространств). Наиболее содержательной частью теории В. п. является теория конечномерных В. п. Но и понятие бесконечномерного В. п. часто оказывается плодотворным и имеет интересные приложения, особенно в теории топологических векторных пространств, т. е. В. п., наделенных топологией, определенным образом согласованной с его алгебраич. структурой.

Лит.:[1] Бурбаки Н., Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра, пер. с франц., М., 1962; [2] Райков Д. А., Векторные пространства, М., 1962; [3] Дай М. М., Нормированные линейные пространства, пер. с англ., М., 1961; [41 Эдварде Р., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1969; [5] Халмош П., Конечномерные векторные пространства, пер. с англ., M., 19fiS; [61 Глазман И. М., Любич Ю. И., Конечномерный линейный анализ в задачах, М., 1969. М. И. Кадец.

матем. понятие, обобщающее понятие совокупности всех векторов 3-мерного пространства на случай произвольного числа измерений.

vector space

* * *

linear space

spazio vettoriale

ве́кторний про́стір

ве́кторний про́стір

(линейное про странство) (матем.), обобщающее понятие совокупности всех векторов 3-мерного пространства.