«Дифференциал»

I

Дифференциа́л (от лат. differentia — разность, различие)

в математике, главная линейная часть приращения функции. Если функция y = f(x) одного переменного х имеет при х = х₀ производную, то приращение

Δy = f (x₀ + Δx) - f(x₀)

функции f(x) можно представить в виде

Δy = f'(x₀) Δx + R,

где член R бесконечно мал по сравнению с Δх. Первый член

dy = f'(x₀) Δх

в этом разложении и называется дифференциалом функции f(x) в точке x₀. Из этой формулы видно, что дифференциал dy линейно зависит от приращения независимого переменного Δx, а равенство

Δy = dy + R

показывает, в каком смысле Д. dy является главной частью приращения Δy.

Подробнее о Д. функций одного и нескольких переменных см. Дифференциальное исчисление.

Обобщение понятия дифференциала.Обобщение понятия Д. на вектор-функции, начало которому положили в начале 20 в. французские математики Р. Гато и М. Фреше, позволяет лучше выяснить смысл понятия «дифференциал» для функций нескольких переменных, а в применении к Функционалам приводит к понятию вариации, лежащему в основе вариационного исчисления (См. Вариационное исчисление).

Важную роль в этом обобщении играет понятие линейной функции (линейного отображения). Функция L(x) векторного аргумента х называется линейной, если она непрерывна и удовлетворяет равенству

L(x' + х ") = L(x') + L(x ")

для любых х' и х " из области определения. Линейная функция n-мерного аргумента х = {x₁,..., x_n} всегда имеет вид

L(x) = a₁x₁ +... + a_nx_n,

где a₁,..., a_n — постоянные. Приращение

ΔL = L(x + h) - L(x)

линейной функции L(x) имеет вид

ΔL = L(h),

т. е. зависит только от векторного приращения h, и притом линейно. Функция f(x) называется дифференцируемой при значении аргумента х, если её приращение Δf = f(x + h) - f(x), рассматриваемое как функция от h, имеет главную линейную часть L(h), т. е. выражается в виде

Δf = L(h) + R(h),

где остаток R(h) при h → 0 бесконечно мал по сравнению с h. Главная линейная часть L(h) приращения Δf и называется дифференциалом df функции f в точке x. При этом в зависимости от того, в каком смысле понимается бесконечная малость R(h) по сравнению с h, различают слабый дифференциал, или дифференциал Гато, и сильный дифференциал, или дифференциал Фреше. Если существует сильный Д., то существует и слабый Д., равный сильному Д. Слабый Д. может существовать и тогда, когда сильный не существует.

В случае f(x) ≡ x из общего определения следует, что df = h, т. е. можно приращение h считать Д. аргумента x и обозначать dx.

Если сделать теперь переменной точку x, в которой определяется Д. df, то он будет функцией двух переменных:

df(x; h).

Далее, считая h = h₁ постоянным, можно найти Д. от дифференциала df(x; h₁) как главную часть приращения

df(x + h₂; h₁) — df(x; h₁),

где h₂ — некоторое второе, не связанное с h₁ приращение x. Получаемый таким образом второй дифференциал d²f = d²f(x; h₁, h₂) является функцией трёх векторных аргументов x, h₁ и h₂, линейной по каждому из двух последних аргументов. Если d²f непрерывно зависит от x, то он симметричен относительно h₁ и h₂:

d²f(x; h₁, h₂) = d²f(x; h₂, h₁).

Аналогично определяется дифференциал dⁿf = dⁿf(x; h₁,..., h_n) любого порядка n.

В вариационном исчислении сам векторный аргумент x является функцией x(t), а дифференциалы df и d²f функционала f[x(t)] называются его первой и второй вариациями и обозначаются δf и δ²f.

Всюду выше речь шла об обобщении понятия Д. на числовые функции векторного аргумента. Существует обобщение понятия Д. и на случай вектор-функций, принимающих значения в банаховых пространствах.

Лит.: Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 2 изд., М., 1967; Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 2 изд., М., 1968; Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 1, М., 1969; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 1, М., 1970; Рудин У., Основы математического анализа, пер. с англ., М., 1966; Дьедонне Ж., Основы современного анализа, пер. с англ., М., 1964.

А. Н. Колмогоров.

Дифференциа́л

Дифференциальный механизм в приводе ведущих колёс автомобиля, трактора или др. транспортных машин. Д. обеспечивает вращение ведущих колёс с разными относительными скоростями при прохождении кривых участков пути.

1. дифференциа́л;
2. дифференциа́лы;
3. дифференциа́ла;
4. дифференциа́лов;
5. дифференциа́лу;
6. дифференциа́лам;
7. дифференциа́л;
8. дифференциа́лы;
9. дифференциа́лом;
10. дифференциа́лами;
11. дифференциа́ле;
12. дифференциа́лах.

ДИФФЕРЕНЦИА́Л, -а, муж.

1. В математике: линейная функция, приближенно равная нек-рой функции в окрестности какой-н. точки. Д. функции.

2. Механизм, дающий возможность расположенным на одной оси колёсам, вращающимся деталям двигаться с разной скоростью для совместной работы (спец.).

| прил. дифференциальный, -ая, -ое (к 1 знач.). Дифференциальное исчисление. Дифференциальное уравнение.

-а, м.

1. мат.

Главная линейная часть приращения зависимой переменной величины (функции), приближенно выражающая значение этого приращения, а также приращение независимой переменной величины.

2. тех.

Механизм в автомобилях, тракторах, танках и т. п., позволяющий правому и левому ведущим колесам вращаться с различной скоростью.

[От лат. differentia — разность]

I

Произвольное приращение независимой переменной величины; главная - линейная - часть приращения зависимой переменной величины, пропорциональная приращению независимой переменной (в математике).

II

Устройство, обеспечивающее вращение с разными скоростями ведущих колес автомобиля, трактора и т.п. при поворотах (в технике).

ДИФФЕРЕНЦИАЛ - название дифференциального механизма в приводе ведущих колес автомобиля, трактора или других колесных машин. Наиболее распространен дифференциал с коническими зубчатыми колесами.

ДИФФЕРЕНЦИАЛ (от лат. differentia - разность - различие), см. Дифференциальное исчисление.

ДИФФЕРЕНЦИАЛ (от латинского differentia - разность, различие), одно из основных понятий дифференциального исчисления.

муж.
1) мат. differential
2) тех. differential gearдифференци|ал - м.
1. мат. differential;
~альный differential;
~альное исчисление мат. differential, calculus;
~альный тариф differential duties pl.;

2.: ком. ~ тариф differential;
фиксированные ~альные тарифы fixed differentials/differences;
коммерческие тарифы commercial differentials/differences.

differential матем., differential gear, equalizing gear, differential gearing, jack-in-the-box

m.differential; дифференциал образов, transformed differential; дифференциал прообразов, original differential

дифференциал м 1. мат. Differential n 1a знак дифференциала Differentialzeichen n 1d 2. авто Ausgleichgetriebe n 1d

м

1)мат. Differential n

знак дифференциала — Differentialzeichen n

2)авто Ausgleichgetriebe n

м.

1)мат. différentielle f

2)тех. differentiel m

м. мат., тех.

diferencial f

м. спец.

differenziale

• ДИФФЕРЕНЦИАЛ, в математике - малое изменение величины в математическом выражении вследствие такого же незначительного изменения переменной. Если обозначить функцию х как f(x), то дифференциал функции, образующийся вследствие небольшого изменения х (обозначим dх), записывается как df и задается в видe f'(x)dx, где f'(x) - ПРОИЗВОДНАЯ от f(x).

• ДИФФЕРЕНЦИАЛ, в технике - набор круглых ШЕСТЕРНЕЙ в транспортном механизме, которые передают энергию от двигателя на колеса. Когда автомобиль огибает угол, дифференциал позволяет наружному (по отношению к углу) ведущему колесу вращаться быстрее, чем внутреннему.

Дифференциал авшмобиля передает вращательное дви жение, создаваемое двигаге-лем, под прямым углом на полувалы (6), приводящие в движение колеса. Зубчатое колесико (2) вала (1) вращав! храповое колесо (3), которое проворачивает зубчатое коле со(4)конических передач (5) Шестерни дифференциала позволяют колесам вращаться с разной скоросгью при ново ротах автомобиля: наружное копесо вращается быстрее, чем внутреннее.

-1) премия или скидка по отношению к цене базисного сорта (марки), с которой могут быть предложены другие сорта (марки), допустимые к поставке по фьючерсному контракту; 2) компенсация дилеру за совершение сделки с нестандартной (неполной) партией ценных бумаг. Дилер добавляет Д.

к цене продажи первой возможной полной партии и заполняет заказ клиента на покупку по несколько более высокой (более низкой) цене.

ДИФФЕРЕНЦИА́Л -а; м. [от лат. differentia - разность]

1. Матем. Главная линейная часть приращения зависимой переменной величины (функции), приближённо выражающая значение этого приращения; приращение независимой переменной величины. Нахождение дифференциалов.

2. Техн. Механизм, обеспечивающий вращение ведущих колёс транспорта с различной скоростью при поворотах. Регулировка дифференциала.

* * *

I

(от лат. differentia — разность, различие), см. Дифференциальное исчисление.

II

название дифференциального механизма в приводе ведущих колёс автомобиля, трактора или других колёсных машин. Наиболее распространён дифференциал с коническими зубчатыми колёсами.

- главная линейная часть приращения функции.

1) Действительная функция y = f{x )действительного переменного наз. дифференцируемой в точке х, если она определена в нек-рой окрестности этой точки и если существует такое число А, что приращение

(при условии, что точка х+Ах лежит в упомянутой окрестности) может быть представлено в виде

где при При этом А Ах обозначается через dy и наз. дифференциалом функции f(х)в точке х. Д. dy при фиксированном хпропорционален Ах, т. е. является линейной функцией от D х. Дополнительный член a при является, в силу определения, бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с D х (и по сравнению с dy, если ). Именно в этом смысле Д. и наз. главной частью приращения функции.

Для функции, дифференцируемой в точке х, при , т. е. функция, дифференцируемая в некоторой точке, непрерывна в ней. Функция f(x)дифференцируема в точке хв том и только в том случае, если она имеет в этой точке конечную производную

при этом

Существуют непрерывные, но не дифференцируемые функции.

Кроме обозначения dy используется обозначение df(x);тогда предыдущее равенство принимает вид

Приращение аргумента Ах обозначается также через dx и наз. дифференциалом независимого переменного. Поэтому можно писать

Отсюда f(x)=dyldx, т. е. производная равна отношению Д. dy и dx. Если А=0, то при Dx->0, т. е. Ау и dy при являются в случае А неравно 0 эквивалентными бесконечно малыми; этим, рав, но как и простой структурой Д. (линейностью по Ах), часто пользуются в приближенных вычислениях, полагая Dy=dy при малых D х. Если хотят, напр., вычислить f(x+Dx), зная f{x)(Dxмало), то полагают

Конечно, такое рассуждение имеет ценность, если можно оценить соответствующую погрешность.

Геометр и чес к ое истолкование Д. Уравнение касательной к графику.функции y=f(x)в точке М( х ₀, у ₀). имеет вид y-y₀=f '( х ₀)( х-х ₀). Если положить x=x₀+D х, то y-y₀=f'( х ₀)D х. Правая часть есть значение Д. функции f(x)в точке х ₀, отвечающее рассматриваемому значению Ах. Таким образом, Д. совпадает с соответствующим, приращением ординаты касательной к кривой y-f(x)(см. отрезок NT на рис. 1).

При этом a= Dу-dy, т. е. значение|a| совпадает с длиной отрезка TS.

2) Определение дифференцируемости и Д. естественным образом обобщается на действительные функции от пдействительных переменных. Напр., в случ. п=2 действительная функция z=f(x, у)наз. дифференцируемой в точке ( х, у )по совокупности переменных хи у, если она определена в нек-рой окрестности этой точки и ее полное приращение

может быть представлено в виде

где Аи В- некоторые числа, при r=предполагается, что точка ( х+D х, у+Dy). принадлежит упомянутой окрестности (см. рис. 2) При этом вводится обозначение и dz наз. полным дифференциалом, или просто дифференциалом, функции f(x,у). в точке ( х, у )(иногда с добавлением: "по совокупности переменных хи у"). Для фиксированной точки ( х, у )Д. dz есть линейная функция от Ах и Ау;разность а= Az-dz есть бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с р. В этом смысле dz есть главная линейная часть приращения Az.

Если f(x, у )дифференцируема в точке ( х, у), то oн непрерывна в этой точке и имеет в ней конечные частные производные

Таким образом

Приращения Ах и Ау независимых переменных, как и в случае одного переменного, обозначаются dx и dу По этой причине можно написать

Существование конечных частных производных, во обще говоря, не влечет дифференцируемости функции (даже если предполагать заранее ее непрерывность) здесь нарушается аналогия с функциями одного переменного.

Если функция f(x, у )имеет в точке ( х, у )частную производную по х, то произведение f_x(x, y)dx наз. частным дифференциалом по х;аналогично, f'_y(x, y)dy есть частный Д. по у. Если функция дифференцируема, то ее полный Д. равен сумме частных Д. Геометрически полный Д. df(x₀, у ₀ )есть приращение аппликаты касательной плоскости поверхности z-f(x, у )в точке ( х ₀, у ₀, z₀), где z₀=f(z₀, у ₀ )(см. рис. 3).

Достаточный признак дифференцируемости функции: если в некоторой окрестности точки (x₀, y₀) функция f(x, у) име ет частную производную f'_x, непрерывную в точке ( х ₀, у ₀), и, кроме того, имеет в точке ( х ₀, у ₀ )частную производную f'_y, то f(x, у )дифференцируема в этой точке Если функция f(x, у )дифференцируема в каждо точке открытой области D, то в любой точке этой области причем ( х, y) = f_x(x, у), В( х, y) = f'_y(x, у). Если при этом существуют непрерывные в Dчастные производные А' _у и В' _х, то всюду

Это показывает, в частности, что не всякое выражение с непрерывными А и В (вобласти D)является в этой области полным Д. нек-рой функции двух переменных. В этом состоит еще одно нарушение аналогии с функциями одного переменного, где любое выражение A(x)dx с непрерывной в нек-ром промежутке функцией (х). служит Д. для нек-рой функции.

Выражение Adx+Bdy является полным Д. нек-рой функции z=f(x, у), в односвязной открытой области D, если ( х, у )и В( х, у )непрерывны в этой области и удовлетворяют условию А' =В' _Х и при этом а) А'_y и В' _х непрерывны или б) ( х, у) и В( х, у) дифференцируемы по совокупности переменных хи увсюду в D(см. [7], [8]).