«Простое число»

целое положительное число, большее, чем единица, не имеющее других делителей, кроме самого себя и единицы: 2, 3, 5, 7, 11, 13,... Понятие П. ч. является основным при изучении делимости натуральных (целых положительных) чисел; именно, основная теорема теории делимости устанавливает, что всякое целое положительное число, кроме 1, единственным образом разлагается в произведении П. ч. (порядок сомножителей при этом не принимается во внимание). П. ч. бесконечно много (это предложение было известно ещё древнегреческим математикам, его доказательство имеется в 9-й книге «Начал» Евклида). Вопросы делимости натуральных чисел, а следовательно, вопросы, связанные с П. ч., имеют важное значение при изучении групп (См. Группа); в частности, строение группы с конечным числом элементов тесно связано с тем, каким образом это число элементов (порядок группы) разлагается на простые множители. В теории алгебраических чисел (См. Алгебраическое число)рассматриваются вопросы делимости целых алгебраических чисел; понятия П. ч. оказалось недостаточным для построения теории делимости — это привело к созданию понятия Идеала. П. Г. Л. Дирихле в 1837 установил, что в арифметической прогрессии а + bx при х = 1, 2,... с целыми взаимно простыми а и b содержится бесконечно много П. ч.

Выяснение распределения П. ч. в натуральном ряде чисел является весьма трудной задачей чисел теории (См. Чисел теория). Она ставится как изучение асимптотического поведения функции π(х), обозначающей число П. ч., не превосходящих положительного числа х. Первые результаты в этом направлении принадлежат П. Л. Чебышеву, который в 1850 доказал, что имеются такие две такие постоянные а и А, что <>x) <>при любых x ≥2 [т. е., что π(х) растет, как функция Адамар, 1896, Ш. Ла Валле Пуссен, 1896), заключающийся в том, что предел отношения π(х) к

В дальнейшем значительные усилия математиков направлялись на уточнение асимптотического закона распределения П. ч. Вопросы распределения П. ч. изучаются и элементарными методами, и методами математического анализа. Особенно плодотворным является метод, основанный на использовании тождества

(произведение распространяется на все П. ч. р= 2, 3,...), впервые указанного Л. Эйлером; это тождество справедливо при всех комплексных s с вещественной частью, большей единицы. На основании этого тождества вопросы распределения П. ч. приводятся к изучению специальной функции — дзета-функции (См. Дзета-функция)ξ(s),определяемой при Res > 1 рядом

Эта функция использовалась в вопросах распределения П. ч. при вещественных sЧебышевым; Б. Риман указал на важность изучения ξ(s) при комплексных значениях s. Риман высказал гипотезу о том, что все корни уравнения ξ(s) = 0, лежащие в правой полуплоскости, имеют вещественную часть, равную ¹/₂. Эта гипотеза до настоящего времени (1975) не доказана; её доказательство дало бы весьма много в решении вопроса о распределении П. ч. Вопросы распределения П. ч. тесно связаны с Гольдбаха проблемой (См. Гольдбаха проблема),с не решенной ещё проблемой «близнецов» и другими проблемами аналитической теории чисел. Проблема «близнецов» состоит в том, чтобы узнать, конечно или бесконечно число П. ч., разнящихся на 2 (таких, например, как 11 и 13). Таблицы П. ч., лежащих в пределах первых 11 млн. натуральных чисел, показывают наличие весьма больших «близнецов» (например, 10006427 и 10006429), однако это не является доказательством бесконечности их числа. За пределами составленных таблиц известны отдельные П. ч., допускающие простое арифметическое выражение [например, установлено (1965), что 2¹¹²¹³ —1 есть П. ч.; в нём 3376 цифр].

Лит.: Виноградов И. М., Основы теории чисел, 8 изд., М., 1972; Хассе Г., Лекции по теории чисел, пер. с нем., М., 1953; Ингам А. Е., Распределение простых чисел, пер. с англ., М. — Л., 1936; Прахар К., Распределение простых чисел, пер. с нем., М., 1967; Трост Э., Простые числа, пер, с нем., М., 1959.

ПРОСТОЕ Число - натуральное Число, большее, чем единица, и не имеющее других делителей, кроме самого себя и единицы: 2, 3, 5, 7, 11, 13... Число простых чисел бесконечно.

ПРОСТОЕ Число, натуральное число, большее чем единица, не имеющее других делителей, кроме самого себя и единицы: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,... Число простых чисел бесконечно.

мат. prime numberпростое число: prime number

prime number

ПРОСТОЕ ЧИСЛО, см. число,ПРОСТОЕ.

просто́е число́

натуральное число, большее, чем единица, и не имеющее других делителей, кроме самого себя и единицы: 2, 3, 5, 7, 11, 13... Число простых чисел бесконечно.

* * *

ПРОСТО́Е ЧИСЛО́, натуральное число, большее, чем единица, и не имеющее других делителей, кроме самого себя и единицы: 2, 3, 5, 7, 11, 13... Число простых чисел бесконечно.

- натуральное (целое положительное) число р>1, имеющее только два делителя 1 и p: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,... Числа, имеющие не менее трех различных делителей, наз. составными. Понятие П. ч. является основным ири изучении делимости натуральных чисел. Так, основная теорема элементарной теории чисел утверждает, что всякое натуральное число, отличное от единицы, либо простое, либо, если оно составное, может быть представлено в виде произведения простых чисел. При этом такое представление единственно (с точностью до расположения сомножителей). Запись этого произведения в виде степеней одинаковых П. ч., а самих П. ч. в порядке возрастания, дает канонич. разложение натурального числа:

С помощью канонич. разложений натуральных чисел a_l, а ₂,..., а _k находят наибольший общий делитель d=(a₁, а ₂,..., a_k).и наименьшее общее кратное m=[a₁, а ₂,..., a_k] этих чисел. С помощью канонич. разложения натурального числа пвычисляются значения теоретико-числовых функций t(n), S(п).и j(n), к-рые обозначают соответственно число делителей, сумму делителей числа пи количество натуральных чисел , взаимно простых с п(т. е. таких, что ( т, n)=1):

Существенной особенностью этих формул является их зависимость от арифметич. структуры натурального аргумента п.

П. ч. играют роль своеобразных "кирпичиков", из к-рых строятся вес остальные натуральные числа. Еще в 3 в. до н. э. Евклид доказал бесконечность множества П. ч., а Эратосфен нашел способ отсеивания П. ч. из множества натуральных чисел (см. Эратосфена решето). Л. Эйлер (L. Euler) нашел доказательство бесконечности множества П. ч., основанное на использовании средств математич. анализа. Дальнейшее развитие аналитич. метода Эйлера оказалось очень плодотворным (см. Аналитическая теория чисел). П. Л. Чебышев открыл ряд новых законов, к-рым подчиняются П. ч. В частности, с помощью элементарных рассуждений, использующих канонич. разложение для числа n!, П. Л. Чебышев нашел неравенства, к-рым должно удовлетворять количество p(х). простых чисел :

где a<1, b>1 - нек-рые положительные константы. Наиболее глубокие закономерности, к-рым подчиняется поведение последовательности П. ч., были получены путем углубления исходных идей П. Л. Чебышева с помощью аналитических и, в ряде случаев, элементарных методов (см. Распределение простых чисел).

П. ч. связаны не только с мультипликативной, но и с аддитивной структурой натуральных чисел. Достаточно характерной в этом отношении является Гольдбаха проблема о разбиении натуральных чисел на сумму трех П. ч., решенная в 1937 И. М. Виноградовым (см. Аддитивная теория чисел). Изучение законов разложения П. ч. в алгебраич. полях проливает свет на свойства обычных П. ч. Напр,, рассматривая закон разложения П. ч. в поле гауссовых чисел, получают теорему Гаусса: р=а ²+b² тогда и только тогда, когда (mod 4).

Существует много пока (1983) еще не решенных проблем, относящихся к П. ч. Напр.:

будет ли бесконечным множество П. ч. Мерсенна:

р=2^q-1, где q- простое; будет ли бесконечным множество П. ч. Ферма:

, где - целое;

существует Ли бесконечное множество П. ч. р ₁ и р ₂ "близнецов", т. е. таких, что р ₁- р ₂=2.

Экспериментальные и эвристич. соображения свидетельствуют в пользу положительного решения сформулированных выше проблем и др. аналогичных задач.

Лит.:[1] Xассе Г., Лекции по теории чисел, пер. с нем., М., 1953 Б. М. Бредихин.

prime number

* * *

prime number

numero primo

про́сте́ число́

про́сте́ число́

натуральное число, большее, чем единица, и не имеющее др. делителей, кроме самого себя и единицы: 2, 3, 5, 7, 11, 13,... Число П. ч. бесконечно.