«Квадратичный вычет»

понятие теории чисел. К. в. по модулю m —число а, для которого Сравнениеx² ≡ а(mod m) имеет решение: при некотором целом х число x²—a делится на m; если это сравнение не имеет решений, то а называют квадратичным невычетом. Например, если m = 11, то число 3 будет К. в., так как сравнение x²≡ 3 (mod 11) имеет решения х=5,х=6, а число 2 будет невычетом, т.к. не существует чисел х, удовлетворяющих сравнению x²≡ 2 (mod 11). К. в. являются частным случаем Вычетов степени n для n =2.Если m равно простому нечётному числу р, то среди чисел 1, 2,..., р—1 имеется (р—1)/2 К. в. и (р—1)/2 квадратичных невычетов. Для изучения К. в. по простому модулю р вводится Лежандра символ а взаимно просто с р, то полагают а— К. в., и а— квадратичный невычет. Основной теоремой в этом круге вопросов является так называемый закон взаимности К. в.: если р и q— простые нечётные числа, то

Эту закономерность открыл около 1772 Л. Эйлер, современная формулировка дана А. Лежандром, полное доказательство впервые дал в 1801 К. Гаусс. Удобным обобщением символа Лежандра является Якоби символ. Закон взаимности К. в. получил многочисленные обобщения в теории алгебраических чисел. И. М. Виноградовыми др.учёными изучалось распределение К. в. и суммы значений символа Лежандра.

Лит.: Виноградов И. М., Основы теории чисел, 8 изд., М., 1972.

КВАДРАТИЧНЫЙ ВЫЧЕТ в теории чисел - частный случай степенного вычета.

quadratic residue

квадрати́чный вы́чет

в теории чисел, частный случай степенного вычета.

* * *

КВАДРАТИ́ЧНЫЙ ВЫ́ЧЕТ в теории чисел, частный случай степенного вычета(см. СТЕПЕННОЙ ВЫЧЕТ).

по модулю то - целое число а, для которого разрешимо сравнение

Если указанное сравнение не разрешимо, то число аназ. квадратичным невычетом по модулю т. Критерий Эйлера: пусть р>2 простое.

Число а, взаимно простое с р, является К. в. по модулю ртогда и только тогда, когда

и является квадратичным невычетом по модулю ртогда и только тогда, когда

Лит.:[1] Виноградов И. М., Основы теории чисел, 8 изд., М., 1972.

С. А. Степанов.

квадрати́чний ли́шок

квадрати́чний ли́шок

в теории чисел, частный случай степенного вычета.