«Периодическая функция»

функция, значение которой не изменяется при добавлении к аргументу определённого, неравного нулю числа, называемого периодом функции. Например, sin х и cos x: являются П. ф. с периодом 2π; {x} — дробная часть числа х —П. ф. с периодом 1; Показательная функцияe^x (если х — комплексное переменное) — П. ф. с периодом 2πi и т.п. Так как сумма и разность двух периодов есть снова период и, следовательно, любое кратное периода есть также период, то каждая П. ф. имеет бесконечное множество периодов. Если П. ф. имеет действительный период, непрерывна и отлична от постоянной, то для неё существует наименьший положительный период Т; всякий другой действительный период той же функции будет иметь вид kT, где k = ±1, ± 2,.... Сумма, произведение и частное П. ф. с одним и тем же периодом являются П. ф. с тем же периодом. Производная П. ф. есть П. ф. с тем же периодом, однако интеграл от П. ф. f(x) с периодом Т будет П. ф. (с тем же периодом) лишь в том случае, когда f (x) с периодом Т [подчинённая ещё некоторым условиям, например непрерывная и имеющая в интервале (О, T) лишь конечное число максимумов и минимумов] может быть представлена суммой сходящегося тригонометрического ряда (ряда Фурье) вида:

;

коэффициенты этого ряда выражаются через f(x) по формулам Эйлера — Фурье (см. Тригонометрические ряды (См. Тригонометрический ряд), Фурье коэффициенты).

Для непрерывной П. ф. комплексного переменного возможен случай, когда существуют два периода T₁ и T₂, отношение которых не есть действительное число: если функция отлична от постоянной, то всякий её период будет иметь вид k₁T₁ + k₂T₂, где k₁ = 0,±1, ±2,... и k₂ = 0, ±1, ± 2,.... В этом случае П. ф. называется двоякопериодической функцией (См. Двоякопериодические функции).Рассматриваются ещё двоякопериодические функции второго и третьего родов; под ними понимают функции, которые при добавлении периодов к аргументу приобретают, соответственно, постоянный или показательный множитель [то есть f(x + T₁) = a₁f(x) и f(x + T₂)= a₂f(x)или f(x + T₁)= и f(x + T₂) -= e^a₂^x f(x)].

Сумма П. ф. с разными периодами не будет периодической функцией в случае, когда периоды несоизмеримы [напр., cos х + cosПочти периодическая функция). П. ф. играют чрезвычайно большую роль в теории колебаний и вообще в математической физике.

ПЕРИОДИЧЕСКАЯ функция - функция, значения которой не изменяются при прибавлении к аргументу некоторого (отличного от нуля) числа, т. н. периода функции. Напр., sin х - периодическая функция с периодом 2?, ибо sin (х + 2?) = sin x при любых х. Широко применяются в математике, физике и технике, особенно в изучении различных колебательных процессов.

мат. periodic function

periodic function

периоди́ческая фу́нкция

функция, значения которой не изменяются при прибавлении к аргументу некоторого (отличного от нуля) числа, так называемого периода функции. Например, sinx — периодическая функция с периодом 2π, ибо sin(x + 2π) = sinx при любых x. Широко применяются в математике, физике и технике, особенно в изучении различных колебательных процессов.

* * *

ПЕРИОДИ́ЧЕСКАЯ ФУ́НКЦИЯ, функция, значения которой не изменяются при прибавлении к аргументу некоторого (отличного от нуля) числа, т. н. периода функции. Напр., sin х — периодическая функция с периодом 2p, ибо sin (х + 2p) = sin x при любых х. Широко применяются в математике, физике и технике, особенно в изучении различных колебательных процессов.

функция, имеющая период. 1) Пусть функция f(x).определена на и имеет период Т. Для получения графика f(x) достаточно график функции f(x).на , где а - нек-рое число, переместить вдоль R на + Т, +2Т,.... Если П. ф. f(x).с периодом Тимеет конечную производную f(х), то f^' (х).является П. ф. с тем же периодом. Пусть f(x).интегрируема на любом отрезке и имеет период Т.

Первообразная имеет период Т, если , в противном случае первообразная П. ф. непериодическая, такова, напр., первообразная функции f(x) = cos x+1. А. А. Конюшков.

2) П. ф. комплексного переменного z - однозначная аналитич. ция f(z), имеющая только изолированные особые точки во всей плоскости комплексного переменного С, для к-рой существует число , называемое периодом функции f(z), такое, что

Любая линейная комбинация периодов данной П. ф. f(z) с целочисленными коэффициентами также является периодом f(z). Все периоды данной П. ф. f(z)const составляют дискретную абелеву группу по сложению, называемую группой периодов функции f(z). Если базис этой группы состоит из одного единственного основного, или примитивного, периода , т. е. если любой период ресть целое кратное 2w, то f(z) наз. однопериодической функцией. В случае базиса, состоящего из двух основных периодов , имеем двоякопериодическую функцию. Если П. ф. f(z) отлична от константы, то базис ее группы периодов не может состоять более чем из двух основных независимых периодов (теорема Якоби).

Любая полоса вида

где 2w - один из основных периодов П. ф. f(z), или ей конгруэнтная, наз. полосой периодов функции f(z); обычно принимают a=p/2, т. е. рассматривают полосу периодов, стороны к-рой перпендикулярны основному периоду 2w. В каждой полосе периодов П. ф. принимает любое свое значение и притом одинаково часто.

Любая целая П. ф. f(z) во всей плоскости С разлагается в ряд Фурье

(*)

к-рый сходится равномерно и абсолютно на прямой и вообще на любой сколь угодно широкой полосе конечной ширины, параллельной этой прямой. Случай, когда целая П. ф. f(z) стремится к определенному конечному или бесконечному пределу в каждом из двух концов полосы периодов, характеризуется тем, что ряд (*) содержит лишь конечное число членов, то есть f(z) есть тригонометрич. полином.

Любая мероморфная П. ф. f(z) во всей плоскости С с основным периодом 2w представима в виде отношения двух целых П. ф. с тем же периодом, т. е. в виде отношения двух рядов вида (*). В частности, класс всех тригонометрич. функций можно описать как класс таких мероморфных П. ф. с периодом 2p, к-рые в каждой полосе периодов имеют лишь конечное число полюсов и стремятся к определенному пределу в каждом конце полосы периодов.

Лит.:[1] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 2, М., 1968. Е. Д. Соломенцев.

ф-ция, значения к-рой не изменяются при прибавлении к аргументу нек-рого (отличного от нуля) числа, т. н. периода ф-ции. Напр., sinx - П. ф. с периодом 2я, ибо sin (х + 2ПИ) = sinх при любых х. П. ф. широко применяются в математике, физике и технике, особенно в изучении разл. колебат. процессов.

periodic function

funzione periodica

періоди́чна фу́нкція

періоди́чна фу́нкція

функция, значения к-рой не изменяются при прибавлении к аргументу нек-рого (отличного от нуля) числа, т. н. периода функции. Напр., sin х - П. ф. с периодом 2ПИ, ибо sin (х + 2ПИ) = sin x при любых х. Широко применяются в математике, физике и технике, особенно в изучении разл. колебат. процессов.