«Скалярное произведение»

векторов а и b, Скаляр, равный произведению длин этих векторов и косинуса угла между ними; обозначается (а, b)(или ab). Например, работа постоянной силы F вдоль прямолинейного пути S равна (F, S). Свойства С. п.: 1) (а, b) =(b, а), 2) (αа, b) = α(а, b) (α — скаляр), 3) (a, b+c)= (a, b) + (а, с), 4) (a, a) > 0, если а ≠ 0, и (а, а) = 0, если а = 0.

Длина вектора а равна Если (а, b) = 0, то либо а = 0, либо b = 0, либо a⊥ b. Если а =(a₁, a₂, a₃) и b =(b₁, b₂, b₃), то (а, b) = a₁ b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ (в прямоугольных декартовых координатах). Понятие «С. п.» обобщают на n-мерные векторные пространства (См. Векторное пространство), где равенство (а, b) = Линейное пространство, в котором определено С. п. и выполнена аксиома полноты относительно нормы Полное пространство), называют гильбертовым пространством (См. Гильбертово пространство). Гильбертовы пространства играют важную роль в функциональном анализе и квантовой механике. Для векторных пространств над полем комплексных чисел условие 1) заменяют условием (а, b)= и С. п. определяют как

Векторы а и b можно рассматривать как Кватернионыa₁i + a₂j + a₃k и b₁i + b₂j + b₃k. Тогда их С. п. равно взятой с обратным знаком скалярной части произведения этих кватернионов (а векторное произведение — векторной части).

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ векторов а и b - число (скаляр) (a,b), равное произведению длин этих векторов на косинус угла ? между ними, т. е. (a,b) =

innerproduct, inner product, scalar product

dot product, inner product, scalar product

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

- отображение, сопоставляющее каждой паре е ₁,е ₂ векторов к.-л. векторного пространства L нек-роечисло (e₁, е ₂), причём выполняются след. условия:а) (*означает комплексное сопряжение); б)(e,e) = 0 лишь при е =0. Из этих аксиом следуют неравенство Коши- Буняковского - Шварца

и антилинейность С. п. по первому аргументу, т. е.

С. <п. порождает в L н о р м у, т. е. операцию, сопоставляющуюкаждому вектору е вещественное неотрицательное число ,к-рое служит обобщением понятия длины вектора е,. Т. о., пространство L оказывается нормированным. Норма задаёттопологию пространства L, т. е. определяет в нём понятие близости: последовательность е ₁,е ₂,..., е _п,... векторов считается сходящейсяк вектору «, если -при .Пространство L наз. полным, если любая последовательность векторов е ₁,..., е _п... (такая, что при га, )имеет предел е, являющийся вектором того же L. Если (e₁,e₂)= 0, то векторы e₁ и е ₂ наз. ортогональными. Если , то вектор наз. нормированным. Совокупность e₁, е ₂,...,е _п наз. ортонормированной системой векторов, еслиона состоит из нормированных, попарно ортогональных векторов.

Конечномерное пространство L, снабжённое С. п., наз. евклидовымпространством. Если L является бесконечномерным и полным, тооно наз. гильбертовым пространством. С. п. ( е ₁, е), гдевектор e₁ фиксирован, а вектор е рассматриваетсякак переменная, определяет числовую ф-цию f(e) - (e₁, е )нагильбертовом пространстве. Эта ф-ция линейно зависит от е иобладаетсвойством непрерывности [если , то ],её называют линейным функционалом.

В гильбертовом пространстве всякий линейный функционал i(e )порождаетсяС. п., т. е. всегда найдётся такой вектор e₁, что f(e)= (e₁, е).

Лит.: Дирак П. А. М., Принципы квантовой механики, пер. с англ.,2 изд., М., 1979; Кострикин А. П., М а н и н Ю. И., Линейная алгебра игеометрия, 2 изд., М., 1986. О. И. Завьялов.