«Тождество»

основное понятие логики, философии и математики; используется в языках научной теорий для формулировки определяющих соотношений, законов и теорем.

В математике Т. — это Уравнение, которое удовлетворяется тождественно, то есть справедливо для любых допустимых значений входящих в него переменных. С логической точки зрения, Т. — это Предикат, изображаемый формулой х = у (читается: «х тождественно у», «х то же самое, что и y»), которому соответствует логическая функция, истинная, когда переменные х и у означают различные вхождения «одного и того же» предмета, и ложная в противном случае. С философской (гносеологической) точки зрения, Т. — это Отношение, основанное на представлениях или суждениях о том, что такое «один и тот же» предмет реальности, восприятия, мысли.

Логические и философские аспекты Т. дополнительны: первый даёт формальную модель понятия Т., второй — основания для применения этой модели. Первый аспект включает понятие об «одном и том же» предмете, но смысл формальной модели не зависит от содержания этого понятия: игнорируются процедуры отождествлений и зависимость результатов отождествлений от условий или способов отождествлений, от явно или неявно принимаемых при этом абстракций. Во втором (философском) аспекте рассмотрения основания для применения логических моделей Т. связываются с тем, как отождествляются предметы, по каким признакам, и уже зависят от точки зрения, от условий и средств отождествления.

Различение логических и философских аспектов Т. восходит к известному положению, что Суждение о тождественности предметов и Т. как понятие — это не одно и то же (см. Платон, Соч., т. 2, М., 1970, с. 36). Существенно, однако, подчеркнуть независимость и непротиворечивость этих аспектов: понятие Т. исчерпывается смыслом соответствующей ему логической функции; оно не выводится из фактической тождественности предметов, «не извлекается» из неё, а является абстракцией, восполняемой в «подходящих» условиях опыта или, в теории, — путём предположений (гипотез (См. Индукция)) о фактически допустимых отождествлениях; вместе с тем, при выполнении подстановочности (см. ниже аксиому 4) в соответствующем интервале абстракции отождествления, «внутри» этого интервала, фактическое Т. предметов в точности совпадает с Т. в логическом смысле.

Важность понятия Т. обусловила потребность в специальных теориях Т. Самый распространённый способ построения этих теорий — аксиоматический. В качестве аксиом можно указать, например, следующие (не обязательно все):

1. х = х,

2. х = у ⊃ у = х,

3. x = y & y = z ⊃ x = z,

4. А(х) ⊃ (х = у⊃ А(у)),

где А(х) — произвольный предикат, содержащий х свободно и свободный для у, а А(х) и А(у) различаются только вхождениями (хотя бы одним) переменных х и y.

Аксиома 1 постулирует свойство рефлексивности Т. В традиционной логике она считалась единственным логическим законом (См. Логический закон) Т., к которому в качестве «нелогических постулатов» добавляли обычно (в арифметике, алгебре, геометрии) аксиомы 2 и З. Аксиому 1 можно считать гносеологически обоснованной, поскольку она является своего рода логическим выражением индивидуации, на котором, в свою очередь, основывается «данность» предметов в опыте, возможность их узнавания: чтобы говорить о предмете «как данном», необходимо как-то выделить его, отличить от др. предметов и в дальнейшем не путать с ними. В этом смысле Т., основанное на аксиоме 1, является особым отношением «самотождественности», которое связывает каждый предмет только с самим собой — и ни с каким др. предметом.

Аксиома 2 постулирует свойство симметричности Т. Она утверждает независимость результата отождествления от порядка в парах отождествляемых предметов. Эта аксиома также имеет известное оправдание в опыте. Например, порядок расположения гирь и товара на весах различен, если смотреть слева направо, для покупателя и продавца, обращенных лицом друг к другу, но результат — в данном случае равновесие — один и тот же для обоих.

Аксиомы 1 и 2 совместно служат абстрактным выражением Т. как неразличимости, теории, в которой представление об «одном и том же» предмете основывается на фактах не наблюдаемости различий и существенно зависит от критериев различимости, от средств (приборов), отличающих один предмет от другого, в конечном счёте — от абстракции неразличимости. Поскольку зависимость от «порога различимости» на практике принципиально неустранима, представление о Т., удовлетворяющем аксиомам 1 и 2, является единственным естественным результатом, который можно получить в эксперименте.

Аксиома 3 постулирует транзитивность Т. Она утверждает, что суперпозиция Т. также есть Т. и является первым нетривиальным утверждением о тождественности предметов. Транзитивность Т. — это либо «идеализация опыта» в условиях «убывающей точности», либо абстракция, восполняющая опыт и «создающая» новый, отличный от неразличимости, смысл Т.: неразличимость гарантирует только Т. в интервале абстракции неразличимости, а эта последняя не связана с выполнением аксиомы З. Аксиомы 1, 2 и 3 совместно служат абстрактным выражением теории Т. как эквивалентности (См. Эквивалентность).

Аксиома 4 постулирует необходимым условием для Т. предметов совпадение их признаков. С логической точки зрения, эта аксиома очевидна: «одному и тому же» предмету принадлежат все его признаки. Но поскольку представление об «одном и том же» предмете неизбежно основывается на определённого рода допущениях или абстракциях, эта аксиома не является тривиальной. Её нельзя верифицировать «вообще» — по всем мыслимым признакам, а только в определённых фиксированных интервалах абстракций отождествления или неразличимости. Именно так она и используется на практике: предметы сравниваются и отождествляются не по всем мыслимым признакам, а только по некоторым — основным (исходным) признакам той теории, в которой хотят иметь понятие об «одном и том же» предмете, основанное на этих признаках и на аксиоме 4. В этих случаях схема аксиом 4 заменяется конечным списком её аллоформ — конгруентных ей «содержательных» аксиом Т. Например, в аксиоматической теории множеств (См. Аксиоматическая теория множеств) Цермело — Френкеля — аксиомами:

4.1 z ∈ x ⊃ (x = y ⊃ z ∈ y),

4.2 x ∈ z ⊃ (x = y ⊃ y ∈ z),

определяющими, при условии, что универсум содержит только множества, интервал абстракции отождествления множеств по «членству в них» и по их «собственному членству», с обязательным добавлением аксиом 1—3, определяющих Т. как эквивалентность.

Перечисленные выше аксиомы 1—4 относятся к так называемым законам Т. Из них, используя правила логики, можно вывести и многие др. законы, неизвестные в до математической логике. Различие между логическим и гносеологическим (философским) аспектами Т. не имеет значения, коль скоро речь идёт об общих абстрактных формулировках законов Т. Дело, однако, существенно меняется, когда эти законы используются для описания реалий. Определяя понятие «один и тот же» предмет, аксиоматики Т. необходимо влияют на формирование универсума «внутри» соответствующей аксиоматической теории.

Лит.: Тарский А., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948; Новоселов М., Тождество, в кн.: Философская энциклопедия, т. 5, М., 1970; его же, О некоторых понятиях теории отношений, в кн.: Кибернетика и современное научное познание, М., 1976; Шрейдер Ю. А., Равенство, сходство, порядок, М., 1971; Клини С. К., Математическая логика, пер. с англ., М., 1973; Frege G., Schriften zur Logik, B., 1973.

М. М. Новосёлов.

1. то́ждество;
2. то́ждества;
3. то́ждества;
4. то́ждеств;
5. то́ждеству;
6. то́ждествам;
7. то́ждество;
8. то́ждества;
9. то́ждеством;
10. то́ждествами;
11. то́ждестве;
12. то́ждествах.

ТО́ЖДЕСТВО, -а и ТОЖЕСТВО, -а, ср.

1. Полное сходство, совпадение. Т. взглядов.

2. (тождество). В математике: равенство, справедливое при любых числовых значениях входящих в него величин.

| прил. тождественный, -ая, -ое и тожественный, -ая, -ое (к 1 знач.). Тождественные алгебраические выражения.

и то́жество, -а, ср.

1.

Полное сходство, подобие предметов, явлений друг другу или самим себе.

Тождество взглядов. Тождество условий.

□

Затвердили себе, что май есть май, да и кончено: по закону тожества, говорят, так выходит. А какое тут тожество? У людей май бывает светел и радостен; а у нас что! Добролюбов, Вступления к Свистку.

||

Соответствие чего-л. чему-л.

[Эта статья] лишь первая в ряду предположенных мною статей о тожестве условий материального благосостояния с требованиями разума и совести. Чернышевский, Письмо В. А. Гольцеву, 19 авг. 1888.

2. мат.

Равенство, которое справедливо при всех числовых значениях входящих в него обозначений.

Тригонометрические тождества.

I

1.

Абсолютное совпадение с кем-либо или с чем-либо как в своей сущности, так и во внешних признаках и проявлениях; одинаковость.

2.

Точное соответствие чего-либо чему-либо.

II

Равенство, справедливое при всех числовых значениях входящих в него обозначений (в математике).

ТОЖДЕСТВО - отношение между объектами (предметами реальности, восприятия, мысли), рассматриваемыми как "одно и то же"; "предельный" случай отношения равенства. В математике тождество - это уравнение, которое удовлетворяется тождественно, т. е. справедливо для любых допустимых значений входящих в него переменных.

то́ждество то́жество, русск.-цслав. тождьство, тожьство. Образовано по аналогии лат. identitās (: idem "то же") от цслав., ст.-слав. тожде, тоже ср. р. от тъжде ὁ αὑτός (Клоц., Супр.). См. то.

ср. identity представлять собой тождество ≈ to be identicalс. identity.

identity

n.identity; проблема тождества, word problem

с

Identität f

тождество с Identität f

с.

identité f

тождество взглядов — identité de vues

с.

identidad f (тж. мат.)

с.

identità f тж. мат.; identicità(a qc)

ТОЖДЕСТВО и РАЗЛИЧИЕ

две взаимосвязанные категории философии и логики. При определении понятий Т. и Р. используют два фундаментальных принципа: принцип индивидуации и принцип Т. неразличимых. Согласно принципу индивидуации, который был содержательно развит в традиционной натурфилософии и эксплицитно сформулирован уже Боэцием, всякая вещь универсума обладает уникальными чертами. Из этого принципа вытекает проблема универсалий, которая формулируется в следующем виде: каким образом неповторимые индивиды содержат в себе нечто общее, т.е. можно ли считать свойство Т. реальным, если каждая вещь имеет своеобразие (см.УНИВЕРСАЛИИ). Благодаря появлению понятия абстрактного объекта, проблема универсалий стала решаемой. Абстрактным объектом называется реальный объект, характеризуемый по какому-нибудь одному свойству. Поскольку нет двух действительно тождественных вещей, путем абстрагирования выделяются такие объекты, в которых можно актуально установить Т. Для абстрактных объектов Лейбниц ввел принцип Т. неразличимых: один объект тождественен второму, если и только если все свойства одного и второго объекта являются общими. Итак, Т. двух реальных объектов определяется на основании их общего признака, Р. двух реальных объектов — исходя из наличия индивидуального признака. Таким образом, в зависимости от выделяемых признаков, между одними и теми же объектами имеет место как Т., так и Р. С этих позиций, познание свойств реальных объектов может быть интерпретировано как выявление в них Т. и Р., классифицирующих объекты по различным признакам.

ТОЖДЕСТВО

понятие, выражающее предельный случай равенства объектов, когда не только все родовидовые, но и все индивидуальные их свойства совпадают. Совпадение родовидовых свойств (сходство), вообще говоря, не ограничивает числа приравниваемых реально различных объектов — вид может быть и бесконечной совокупностью. Но совпадение наряду с родо-видовыми и всех индивидуальных свойств (индивидуация) необходимо приводит к одному объекту или к одночленной совокупности, в которой объекты различны лишь условно-нумерически.

Имея в виду объективность Т. и опасность подмены Т. сходством, если анализ признаков не доведён до конца, филос. мысль с давних пор связывала совпадение свойств тождественных либо с актуальной бесконечностью этих свойств, либо с положением объектов в пространстве и во времени. В первом случае одновременно постулировалось бесконечное разнообразие объектов (principium individuationis), во втором — абс. характер пространства и времени. Эти соперничающие взгляды на основу Т. господствовали до нач. 20 в. и в естествознании, поскольку они подкреплялись авторитетом классич. физики. Но с появлением новой физики оба постулата в их общем виде пришлось оставить: теория относительности релятивизировала пространственновременные свойства объектов, а микрофизика открыла объекты с очень малым числом тех свойств (параметров), по которым все эти объекты оказались тождественными, обосновав при этом достаточность названных свойств для к.-л. сравнения микрообъектов и вовсе исключив пространственно-временные свойства из множества индивидуализирующих. Т. о., отказ от постулатов, определявших классич. представления о Т., обозначил переход науч. мышления к более простой и более конструктивной идее Т., основанного на понятии о наблюдаемых состояниях объектов, т. е. по существу — на абстракции отождествления или на абстракции неразличимости.

В совр. теории Т. возможная независимость Т. от актуально бесконечной индивидуации объектов выражается условием подстановочности (взаимозаменимости) тождественных, которое означает, что в любом случае процесс абстракции, связанный с Т. и отнесённый к к.-л. предметной области (см. Абстракции принцип), даёт исчерпывающее описание этой области, т. е. поэлементное её разбиение. При этом, строго говоря, вопрос о полноте описания универсума науч. теории в соответствии с принципом подстановочности дополняется вопросом о возможных выразит. средствах описания, напр. о языке науч. теории и её осн. абстракциях. Относительность полноты описания, вызванная условием на подстановку, должна дополняться абс. характером того же описания в том смысле, что сама возможность подстановки должна отражать определ. инвариант в содержании нашего познания, объективность которого гарантируется к.-л. фундаментальными принципами науч. теории (типа принципа неопределённости или принципа запрета в квантовой механике). Тот факт, что Т. имеет место уже независимо от нашего желания отождествлять или различать объекты, выражается в совместном утверждении принципа подстановочяости и принципа Т.: x = х, которые оба входят в определение понятия Т. и в совместной истинности которых проявляется диалектика процесса познания.

В чистой логике формулировка условия подстановочности (с формульной переменной) придаёт понятию Т. характер предельно общей — абс. абстракции. Но в ес-теств.-науч. теориях (в прикладной логике) условия на подстановочность определяют Т. как относит. абстракцию, как равенство относительно определ. предикатов, поскольку сводят его к совпадению только тех свойств, которые подразумеваются данной теорией. Вообще, чисто логич. понятие об «одном и том же» на практике и в теории реализуется в конкретных гно-сеологич. вариантах: на практике — в силу ограничений, которые процесс восприятия накладывает на процесс отождествления; в теории — в силу достаточности запаса свойств, определимых в теории, для суждений о Т. в этой теории. Но хотя понимание Т., ограниченное таким образом, не исключает неабсолютных (т. н. нестандартных) моделей для Т., всё же равносильность относит. и абс. понимания Т. обязательна в интервале абстракции отождествления, поскольку вообще интервал абстракции — это информация о возможных моделях абстракции, извлечённая только из самой абстракции. В логикомодельном истолковании указанная ситуация означает, что если к.-л. теория с относит. Т. имеет модель, то она имет модель и при абс. интерпретации этого Т., т. е. имеет стандартную модель. В интервальном истолковании для этой же ситуации вводится понятие о собств. универсуме теории, полное описание?-poro связано с абстракцией отождествления по признакам, выраженным предикатами, которые определимы в данной теории. Такое относит. Т. абсолютно в универсуме теории; оно естественно индуцируется на универсумах её моделей, если последние известны не сами по себе, а только как образы универсума теории. В этом случае очевидно, что изменение абстракций теории может привести к принципиально иной информации о её моделях.

Различие в названных истолкованиях модельных ситуаций с Т. связано с различными концепциями Т.— лингвистической, преобладающей в логике и восходящей к Фреге, и гносеологической, преобладающей в философии и восходящей к Лейбницу. Согласно первой, смысл Т. заведомо и однозначно определён для любых структур и теорий. Это постоянный предикат, значением которого служит логич. функция, истинная, когда её аргументам сопоставляется один и тот же объект л модели, в которой интерпретируется предикат Т. При этом значение слов «один и тот же» применительно к той или иной модели выносится за рамки лингвистич. концепции Т., а смысл самого Т. сводится к случаю языковой синонимии — это Т. имён, знаков. Согласно гносеологич. концепции, предикат Т. требуется рассматривать, вообще говоря, как переменный, как функцию понятия «один и тот же объект в данной теории», т. е. как функцию той абстракции отождествления, которая выражает подстановочность в этой теории. Поэтому гносеологич. концепция позволяет говорить о Т. различных объектов в прямом смысле, вне их знаковой роли. Кроме того, эта концепция для суждений о Т., истинных в интервале абстракций теории, утверждает и их необходимость, обосновывая эту необходимость постулатами теории и разрешая, т. о., модальные парадоксы Т. Лингвистич. концепция, напротив, довольствуется случайным Т., поскольку синонимия — случайное свойство языка.

Тарский А., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М.,1948; Горский Д. П., Вопросы абстракции и образование понятий, М.,1961; Клини С. К., Математич. логика, пер. с англ., М.,1973;? еге Г., Смысл и денотат, пер. с нем., в кн.: Семиотика и информатика, в. 8, М.,1977; Новоселов М. М., Категория Т. и ее модели, в сб.: Кибернетика и диалектика,?.,1978; Гильберт Д., Бернайс П., Основания математики, пер. с нем., [т.1], М.,1979; Identity and individuation, N.?., 1971.

M. M. Новосёлов.

см. РАЗЛИЧИЕ.

ТО́ЖДЕСТВО -а; ср.

1. Полное сходство, подобие предметов, явлений и т.п. Т. взглядов, рассуждений. Т. условий материального благосостояния с предъявляемыми требованиями. Закон тождества (один из основных законов формальной логики, согласно которому содержание понятий, используемых в умозаключении, не должно меняться).

2. Матем. Равенство, справедливое при всех числовых значениях входящих в него обозначений. Тригонометрические тождества.

* * *

отношение между объектами (предметами реальности, восприятия, мысли), рассматриваемыми как «одно и то же»; «предельный» случай отношения равенства. В математике тождество — это уравнение, которое удовлетворяется тождественно, то есть справедливо для любых допустимых значений входящих в него переменных.

* * *

ТО́ЖДЕСТВО, отношение между объектами (предметами реальности, восприятия, мысли), рассматриваемыми как «одно и то же»; «предельный» случай отношения равенства. В математике тождество — это уравнение, которое удовлетворяется тождественно, т. е. справедливо для любых допустимых значений входящих в него переменных.

равенство (числовое, алгебраическое, аналитическое), справедливое во всех точках области или при всех допустимых значениях переменных (ср. Идентичность).

identity

* * *

identity

обраща́ться в то́ждество — become identical, reduce to an identity

с. матем.

identità f

- алгебраическое тождество

- тригонометрическое тождество

матем.

тото́жність, -ності

- коммутаторное тождество

- тождество обмена

матем.

тото́жність, -ності

- коммутаторное тождество

- тождество обмена

отношение между объектами (предметами реальности, восприятия, мысли), рассматриваемыми как "одно и то же"; "предельный" случай отношения равенства. В математике Т. - это ур-ние, к-рое удовлетворяется тождественно, т. е. справедливо для любых допустимых значений входящих в него переменных.

- англ. identity; нем. Identitat. 1. В математике - уравнение, справедливое при всех допустимых значениях аргументов. 2. Предельный случай равенства объектов, когда не только все родовые, но и все индивидуальные их свойства совпадают.

- англ. identity; нем. Identitat. 1. В математике -уравнение, справедливое при всех допустимых значениях аргументов. 2. Предельный случай равенства объектов, когда не только все родовые, но и все индивидуальные их свойства совпадают.