«Связность»

понятие дифференциальной геометрии, возникшее в связи с понятием параллельного перенесения (См. Параллельное перенесение). С. — определённый тип связей (сопоставлений) геометрических образов, относящихся к различным точкам рассматриваемого пространства С. характеризуется геометрическими свойствами преобразований касательных пространств от точки к точке. Например так называемая аффинная связность определяется аффинным отображением касательных пространств, и при этом геометрические образы сравниваются по их аффинным свойствам. Обобщение понятия аффинной связности приводит к понятию пространства со С. относительно любой группы Ли (см. Непрерывная группа).

Лит.: Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; Норден А. П., Пространства аффинной связности, М. — Л., 1950.

1. свя́зность;
2. свя́зности;
3. свя́зности;
4. свя́зностей;
5. свя́зности;
6. свя́зностям;
7. свя́зность;
8. свя́зности;
9. свя́зностью;
10. свя́зностями;
11. свя́зности;
12. свя́зностях.

СВЯ́ЗНЫЙ, -ая, -ое; -зен, -зна. Хорошо изложенный, логически стройный. С. рассказ. Связно (нареч.) ответить.

-и, ж.

Свойство по знач. прил. связный.

Связность речи.

□

Изложение исторических событий требует последовательности и связности. М. Горький, О работе по «Истории фабрик и заводов».

СВЯ́ЗНОСТЬ, связности, мн. нет, жен. отвлеч. сущ. к связный. Связность изложения.

I

отвлеч. сущ. по прил. связный I

II

1.

Свойство физических тел связывать частицы.

2.

Степень сцепления частиц чего-либо.

жен. connectedness, coherency, coherenceсвязн|ость - ж. coherence;
~ый coherent: ~aя речь coherent speech.

(породы) adhesion горн., cohesion,(элементов модулей) cohesiveness, connection матем., connectivity,(модулей системы) coupling, tenacity

ж.

(последовательность) cohérence f (de), suite f (dans)

ж.

coherencia f, ligazón f; continuidad f(последовательность)

свя́зность ре́чи — coherencia del discurso

ж.

connessione(изложения); coerenza(речи)

СВЯЗНОСТЬ

дифференциально-геометрическая - правило, сопоставляющеекаждому тензору типа ( р, q )его ковариантную производную являющуюся тензором типа ( р, q + 1). В координатах х ¹,...,х ^п С. задаётся набором Кристоффе-ля символов по ф-ле:

При замене координат величины должны заменяться на

С. определяет параллельный перенос тензоров вдоль кривых: тензор . параллелен вдоль кривой , i = l,..., п, если . Ур-ниями определены геодезич. С.

Тензор кручения С. определяется ф-лой С. с нулевым кручением наз. симметричной. Кривизна С. определяется кривизнытензором

Через кривизну и кручение выражаются коммутаторы ковариантныхпроизводных, напр. для векторов Т ⁱ имеем:

Евклидова С. задаётся, по определению, условиями в нек-рых координатах;в этом случав координаты наз. евклидовыми. В таких координатах ковариантные производные совпадаютс частными. Тем самым евклидова С. определяет правила дифференцированиятензоров в любых криволинейных координатах. С. является евклидовой(локально), если её кривизна и кручение равны нулю.

В римановом пространстве (или псевдоримановом пространстве) С, <однозначно определяется по римановой метрике ( индефинитной метрике)g_ij условиями ,. Параллельныйперенос при этом сохраняет длины векторов и углы между ними:

тензор кривизны этой С. наз. тензором кривизны риманова пространства.

С. и построенные по ней тензоры используются в ур-ниях общей теорииотносительности.

С. в расслоении со структурной группой G - то же, что калибровочное поле. Поля , принимающие значения в зарядовом пространстве, играют при этом роль тензорныхполей. Если А _i (х)- калибровочное поле, принимающее значениев Ли алгебре L(G) группы G симметрии зарядового пространства (т. <е. матричнозначное), то ковариантные производные поля определяются ф-лами:

Осн. их свойство - при локальных зарядовых преобразованиях [где ф-ция g(x )принимает значения в группе GJ и калибровочныхпреобразованиях

производная преобразуется ковариантно:. Это даёт однозначный рецепт введения взаимодействия полей A_i(x )и : если -свободный лагранжиан поля ,инвариантный относительно зарядовых преобразований, то лагранжиан описывает калибровочно-инвариантное взаимодействие полей А _i и

Параллельный перенос поля вдоль кривой xⁱ = xⁱ(t )определяется из ур-ния .Кривизна С. в расслоении определяется ф-лой:

где скобки обозначают коммутатор. При калибровочных преобразованияхона меняется по закону:

Если кривизна С. равна нулю, то калибровочное поле локально представляетсяв виде

и калибровочным преобразованием приводится к нулевому. Кривизна С. определяетизменение поля при параллельном переносе вдоль контура бесконечно малого параллелограммасо сторонами ,:. Она удовлетворяет тождеству Б ь я н к и:,где . В полный лагранжиан калиоровочных теории, используемых, напр., в теории сильных взаимодействий, кривизна входит в инвариантной комбинации- (здесьSp - след матрицы, е - заряд).

Лит.: Славнов А. А., Фаддеев Л. Д., Введение в квантовую теориюкалибровочных полей, 2 изд., М., 1988; Дубровин Б. А., Новиков С. П., ФоменкоА. Т., Современная геометрия, 2 изд., М., 1986. Б. А. Дубровин.

горных пород (a.rock coherence, rock cohesion; н.Bindigkeit der Gesteine; ф.cohesion des roches; и.coherencia de rocas) - сопротивляемость г. п. стремлению разъединить слагающие их минеральные частицы растяжением, сжатием, кручением, разломом. C. характеризует физ.-хим. особенности г. п., их прочность, сопротивление упругим и вязкопластичным деформациям, к-рые определяют смещение одних минеральных частиц относительно других, степень постоянства и восстанавливаемости связей после их нарушения, водостойкость связей и т.п.

C. обусловлена степенью увлажнения, характером цементирующего вещества, фракционным составом, формой и трением частиц и обеспечивается силами сцепления за счёт плёночной, капиллярной, свободной воды и коллоидов. B сухом и мёрзлом состояниях связные (глинистые) породы по свойствам близки к скальным. При переходе из пластич. состояния в текучее C. уменьшается до нуля. Диаграмма сопротивления сдвигу y таких пород в координатах τ, σ - прямая, параллельная оси σ. При влажности 12,5-30,4% сцепление составляет (0,69-8,04)·* 10⁴ Пa. C. определяется содержанием и особенностями глинистых (размер 0,005 мм) и пылеватых (размер 0,05-0,005 мм) частиц. C. резко возрастает y частиц размером 0,001 мм и меньше, уменьшается при наличии крупных зёрен, структурных отдельностей, наличия соединений кальция, натрия, калия. C. повышается при увеличении содержания глины и уменьшении влажности. Примесь пылеватых песчаных частиц уменьшает C. Для глинистых пород она достигает (5-6) * 10⁶ Пa, песчаных -5·* 10⁵ Пa. При соотношении глина - песок 80:20, 70:30, 60:40 C. соответственно составляет (7,6-89,4) * 10⁵, (16,3-71,0) * 10⁵. (11,3- 52,2) * 10⁵ Пa, т.e. c увеличением содержания отощающих примесей прочность снижается.H. И. Aндриенко.

- свойство топологич. пространства, состоящее в том, что пространство нельзя представить в виде суммы двух отделенных друг от друга частей, или, более строго, непустых непересекающихся открыто-замкнутых подмножеств. Пространство, не являющееся связным, наз. н е с в я з н ы м. Напр., обычная евклидова плоскость - связное пространство; если удалить из нее точку, то остаток связен; если удалить какую-нибудь окружность, не сводящуюся к точке, то остаток уже несвязен.

Абстрактное свойство С. выражает интуитивное представление о С. пространства в единое целое, об отсутствии в нем каких-либо изолированных "островков". С. топологич. пространства сохраняется при гомеоморфизмах и является одним из важнейших свойств топологич. пространства.

Подмножество топологич. пространства наз. связным, если оно - связное подпространство. После введения этого понятия можно утверждать, что пространство связно, если любые его две точки лежат в нек-ром связном подмножестве, т. е. их можно соединить нек-рым связным множеством. С этой точки зрения абстрактное свойство С. можно рассматривать как обобщение л и н е й н о й с в я з н о с т и, т. е. свойства пространства, заключающегося в возможности связать любые его две точки нек-рым путем - непрерывным образом отрезка. Открытое связное подмножество наз. о б л а с т ь ю. Области и выпуклые подмножества в евклидовых пространствах являются линейно связными и, тем более, связными.

Если семейство связных подмножеств имеет непустое пересечение, то объединение этого семейства - связное множество. Для всякой точки топологич. пространства объединение всех связных подмножеств, ее содержащих, есть наибольшее связное подмножество, ее содержащее, оно наз. к о м п о н е н т о й этой точки. Компоненты - замкнутые множества, различные компоненты не пересекаются.

К в а з и к о м п о н е н т о й точки наз. пересечение всех содержащих ее открыто-замкнутых подмножеств. Компонента точки содержится в ее квазикомпоненте. В бикомпактных пространствах компоненты и квазикомпоненты совпадают.

Пространство наз. наследственно несвязным (дисперсным), если все его компоненты одноточечны, т. е. все его связные подмножества только одноточечны. Пространство наз. вполне несвязным (нигде не связным), если все его квазикомпоненты одноточечны. Пространство наз. экстремально несвязным, если замыкание любого открытого множества открыто. Хаусдорфово экстремально несвязное пространство вполне несвязно, а всякое вполне несвязное пространство наследственно несвязно. Существует связное пространство, содержащее точку дисперсии, но удалении к-рой остаток есть вполне несвязное пространство. Пример - Куратовского - Кнастера веер.

Связное бикомпактное пространство наз. континуумом. Пересечение убывающего семейства непустых континуумов есть непустой континуум. Однако никакой континуум нельзя разложить в объединение счетного семейства непустых непересекающихся замкнутых подмножеств (теорема Серпиньского).

Пространство наз. н е п р и в о д и м ы м между нек-рыми своими двумя точками, если оно связно и эти две точки нельзя соединить никаким связным множеством, отличным от всего пространства. Всякий континуум для любых своих двух точек содержит неприводимый между ними подконтинуум (т е о р е м а М а з у р к е в и ч а - Я н и ш е в с к о г о).

Пространство наз. л о к а л ь н о с в я з н ы м в точке, если всякая окрестность этой точки содержит нек-рую связную ее окрестность.

Пространство наз. с в я з н ы м в размерности п, если каждое непрерывное отображение n-мерной сферы в него продолжается до непрерывного отображения n-мерного шара. С. в размерности 1 эквивалентна тривиальности фундаментальной группы пространства.

Непрерывное отображение одного топологич. пространства в другое наз. м о н о т о н н ы м, если прообраз каждой точки - связное подмножество. Для замкнутых отображений монотонность эквивалентна связности прообраза каждого связного подмножества.

Лит.:[1] А л е к с а н д р о в П. С., Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977; [2] К у р а т о в с к и й К., Топология, пер. с англ., т. 2, М., 1969. В. И. Малыхин.

на расслоенном пространстве - дифференциально-геометрическая структура на гладком расслоенном пространстве со структурной группой Ли, обобщающая связности на многообразии, в частности, напр., Леви-Чивита связность в римановой геометрии. Пусть является гладким локально тривиальным расслоением, на типовом слое Fк-рого эффективно и гладко действует группа Ли G. С. в этом расслоении - это отображение категории кусочно гладких кривых базы Вв категорию диффеоморфизмов слоя на слой, к-рое кривой L=L(x₀, х₁). с началом х ₀ и концом х ₁ сопоставляет диффеоморфизм и удовлетворяет следующим аксиомам:

1) при и справедливы

2) при произвольном тривиализующем диффеоморфизме и при диффеоморфизм , где ,

определяется действием нек-рого элемента ;

3) для нек-рой кусочно гладкой параметризации отображение , где

L_t - образ отрезка [0, t]при l, определяет кусочно гладкую кривую в G, начинающуюся в единице , причем и с общим ненулевым касательным вектором определяют пути в G с общим касательным вектором , гладко зависящим от x₀ и X.

Диффеоморфизм ГLназ. параллельным перенесением вдоль L. Параллельные перенесения вдоль всевозможных замкнутых кривых L(х ₀, х₀ )составляют голономии группу связности Г в точке х ₀, изоморфную нек-рой подгруппе Ли в G, независящей от х ₀. Кривая

(у ₀, у ₁ )в Еназ. горизонтальной для связности Г, если для любого при нек-рой ее кусочно гладкой параметризации. Если заданы L(x₀, х₁ )и , то всегда существует единственная горизонтальная , наз. горизонтальным п о д н я т и е м кривой L, такая, что ; она состоит из . Множество горизонтальных поднятий всех Lв Вопределяет связность Г однозначно: ГLотображает концы всех поднятий кривой Lв их начала.

С. наз. линейной, если q_j ( х, X )при произвольных j и хзависит от Xлинейно или, что равносильно, если для любой касательные векторы горизонтальных кривых с началом уобразуют в Т _у (Е)векторное подпространство , наз. горизонтальным подпространством. При этом , где F_y - слой, проходящий через у, то есть F_y=p^-1 (р(у)). Гладкое распределение наз. горизонтальным распределением линейной связности Г. Оно определяет Г однозначно: горизонтальными поднятиями являются его интегральные кривые.

Расслоенное пространство Еназ. главным (соответственно пространством однородного типа) и обозначается Р(соответственно Q), если Gдействует на Fпросто транзитивно (соответственно транзитивно), т. е. если для произвольных существует точно один (соответственно существует) элемент , к-рый переводит z в z'. Пусть Gдействует на Fслева; тогда на Ропределяется ее естественное правостороннее действие, в к-ром gопределяет . При этом Qотождествимо с фактормногоооразием P/H, составленном из орбит yo Н, где Н - стационарная подгруппа нек-рой точки из F=G/H. Общее Еотождествимо с фактормногообразием орбит относительно действия, определяемого формулой

Гладкое распределение на Рявляется горизонтальным распределением нек-рой линейной С. (к-рую оно определяет однозначно) тогда и только тогда, когда

для произвольных и . Все горизонтальные распределения на Q(соответственно Е).являются образами таких D при канонич. проекции (соответственно естественных поднятий таких на при канонич. проекции Часто линейная С. определяется прямо как распределение с указанными выше свойствами. Известно, что в каждом Р, а вместе с тем и в каждом Qи Е, существует нек-рая линейная С.

Исследование линейной С. в Р проводится обычно с помощью связности формы, к-рая определяет С. однозначно и может быть положена в основу еще одного ее определения. Важной ее характеристикой является кривизны форма, с помощью к-рой можно вычислить алгебру Ли группы голономии.

Впервые понятие С. возникло в 1917 в работе Т. Леви-Чивита [1] о параллельном перенесении вектора в римановой геометрии. Уже в 1918 Г. Вейль [2] дал понятие аффинной связности. В 20-е гг. Э. Картан (см. [3] - [5]) перешел к исследованию проективной связности и конформной связности, в 1926 дал общую концепцию "неголономного пространства с фундаментальной группой" (см. Связности на многообразии), где эти пространства освещены с точки зрения общей теории С. В 40-е гг. В. В. Вагнер развивал еще более общую концепцию, близкую по духу (но не по методу) к современному понятию С. Решающим был 1950, когда появились сводное изложение В. В. Вагнера [6], первые заметки Г. Ф. Лаптева, открывающие новые подходы, особенно в части аналитич. аппарата, и работа Ш. Эресмана [7], положившая начало современной глобальной теории С. См. также Вейля связность, Линейная связность, Риманова связность, Симплектическая связность, Эрмитова связность.

Лит.:[1] L e v i-C i v i t а Т., "Rend. circ. mat. Palermo", 1917, t. 2, p. 173-205; [2] W e y l H., Raum, Zeit, Materie,

5 Aufl., В., 1923; [3] C a r t a n E., "Ann. Soc. pol. math.", 1923, t. 2. p. 171-221; [4] е г о ж е, "Bull. Soc. math, de France", 1924 t. 52, p. 205-41; [5] e г о ж е, "Acta math.", 1926, t. 48, p. 1-42; [6] В а г н е р В. В., "Тр. Семин, по вект. и тенз. анализу", 1950, в. 8, с. 11-72; [7] E h r e s m a n n С., в кн.: Coll. de Topologie. Bruxelles, 1950, P., 1951, p. 29-55; [8] Л а п т е в Г. Ф., "Тр. Моск. матем. об-ва", 1953, т. 2, с. 275-382;[9] Н о м и д з у К., Группы Ли и дифференциальная геометрия, пер. с англ., М., 1960; [10] Л и х н е р о в и ч А., Теория связностей в целом и группы голономий, пер. с франц., М., 1960; [11] Л у м и с т е Ю. Г., в кн.: Итоги науки. Сер. Математика, в. 21 - Алгебра. Топология. Геометрия. 1969, М., 1971, с. 123-68. Ю. Г. Лумисте.

(породы) adhesion горн., cohesion,(элементов модулей) cohesiveness, connection матем., connectivity,(модулей системы) coupling, tenacity

* * *

connectivity, connection

* * *

connectivity

ж.

1)coerenza f, coesione f

2) матем. connessione f

- аффинная связность

- линейная связность

матем., физ.

зв'я́зність, -ності

- аффинная связность

- противоположная связность

матем., физ.

зв'я́зність, -ності

- аффинная связность

- противоположная связность