Большая Советская энциклопедия
метод решения задач математической физики, основанный на разделении переменных. Предложен для решения задач теории теплопроводности Ж. Фурье и в полной общности сформулирован М. В. Остроградским (См. Остроградский) в 1828. Решение уравнения, удовлетворяющее заданным начальным однородным и краевым условиям, ищется по Ф. м. как суперпозиция решений, удовлетворяющих краевым условиям и представимых в виде произведения функции от пространственных переменных на функцию от времени. Нахождение таких решений связано с разысканием собственных функций (См. Собственные функции) и собственных значений (См. Собственные значения) некоторых дифференциальных операторов и последующим разложением функций начальных условий по найденным собственным функциям. В частности, разложение функций в ряды и интегралы Фурье (см. Фурье ряд, Фурье интеграл) связано с применением Ф. м. для изучения задач о колебании струны и о теплопроводности стержня. Например, изучение малых колебаний струны длины l, имеющей закрепленные концы, сводиться к решению уравнения u(0, t) = u(l, t) = 0 и начальных условиях u(x,0) = f(x); u't (x, 0) = F(x); 0 ≤ x ≤ l. Решения этого уравнения, имеющие вид X(x) T(t) и удовлетворяющие краевым условиям, выражаются формулой:
Выбирая соответствующим образом коэффициенты An и Bn, можно добиться того, что функция
будет решением поставленной задачи.
Ряд важных проблем, связанных с применением Ф. м., был решен В. А. Стекловым.
Математическая энциклопедия
метод разделения переменных,- метод отыскания частных решений дифференциальных уравнений
где M(N) - линейные дифференциальные выражения, содержащие производные только но переменным х(у), с коэффициентами, также зависящими только от х(у). Функция
будет решением уравнения (1), если существует такая константа 
что
Напр., для уравнения колебаний струны
и решение (2) принимает вид
где с i, 
- произвольные постоянные и 
В полуполосе 
при с 1=0,
2,..., решения (5) удовлетворяют краевому условию
Составленный из этих функций ряд
доставляет решение начально-краевой задачи (4), (6) и
если а п и пb п являются коэффициентами Фурье
от достаточно гладких начальных данных 
и 
Аналогичным образом можно получать решения начально-краевых задач для более общих классов уравнений (1), при этом роль теории рядов Фурье, связанных с разложением (7), играет спектральная теория линейных операторов.
Ф. м. тесно связан со специальными функциями, к-рые являются решениями уравнений (3) при т=n=1 для частных случаев операторов Ми N, многие из этих функций первоначально возникли таким способом. Напр., при применении этого метода к уравнению Гельмгольца
uxx+uyy+и = 0, записанного в полярных координатах в виде (1) с
первое уравнение в (3) является уравнением Бесселя.
Одно и то же дифференциальное уравнение имеет, вообще говоря, целое семейство систем координат, в к-рых оно допускает разделение переменных, т. е. приводится к виду (1). Задача разыскания таких систем координат тесно связана с групповыми свойствами дифференциальных уравнений. Применение методов теории групп Ли позволяет описать все решения с разделенными переменными многих классич. уравнений математич. физики (Лапласа, Гельмгольца, Шрёдингера, волнового уравнения и др.). На этом пути получается также целый ряд соотношений из теории специальных функций.
Метод разделения переменных был предложен для решения волнового уравнения Ж. Д'Аламбером (J. D'Alembert, 1749), с достаточной полнотой метод был развит в нач. 19 в. Ж. Фурье (J. Fourier) и в полной общности сформулирован М. В. Остроградским в 1828.
Лит.:[1] Бицадзе А. В., Уравнения математической физики, М., 1976; [2] Миллер У., Симметрия и разделение переменных, пер. с англ., М., 1981.
А. П. Солдатов.