«Экстремум»

(от лат. extremum — крайнее)

значение непрерывной функции f(x), являющееся или максимумом, или минимумом. Точнее: непрерывная в точке х₀ функция f(x) имеет в x₀ максимум (минимум), если существует окрестность (x₀ + δ, x₀ — δ) этой точки, содержащаяся в области определения f(x), и такая, что во всех точках этой окрестности выполняется неравенство f(x₀), ≥f(x) [соответственно, f(x₀) ≤ f(x)]. Если при этом существует такая окрестность, что в ней f(x₀) > f(x) [или f(x₀)(x)] при х≠x₀, то говорят о строгом, или собственном, максимуме (минимуме), в противном случае — о нестрогом, или несобственном, максимуме (минимуме) (на рис. 1 в точке А достигается строгий максимум, в точке В — нестрогий минимум). Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Для того чтобы функция f(x) имела Э. в некоторой точке x₀, необходимо, чтобы она была непрерывна в x₀ и чтобы либо f`(x<sub>0</sub>) = 0 (точка А на рис. 1), либо f`(x₀) не существовала (точка С на рис. 1). Если при этом в некоторой окрестности точки x₀ производная f'(x) слева от x₀положительна, а справа отрицательна, то f(x) имеет в x₀ максимум; если f'(x)слева от x₀ отрицательна, а справа положительна, то — минимум (первое достаточное условие Э.). Если же f'(x) не меняет знака при переходе через точку x₀, то функция f(x) не имеет Э. в точке x₀ (точки D, Е и F на рис. 1). Если f(x) в точке x₀ имеет п последовательных производных, причём f'(x₀) = f``(x₀) =...= f ^(n-1) (x₀)=0, a f⁽ⁿ⁾(x₀)≠0,то при п нечётном f(x) не имеет Э. в точке x₀, а при п чётном имеет минимум, если f⁽ⁿ⁾ (x₀) > 0, и максимум, если f⁽ⁿ⁾ (x₀) <> Э. функции не следует смешивать с наибольшим и наименьшим значениями функции (См. Наибольшее и наименьшее значения функции).

Аналогично Э. функции одного переменного определяется Э. функции нескольких переменных. Необходимым условием Э. является в этом случае обращение в нуль или же несуществование частных производных первого порядка. Например, на рис. 2частные производные равны нулю в точке М, на рис. 3в точке М они не существуют. Если в некоторой окрестности точки М(х₀, y₀) существуют и непрерывны первые и вторые частные производные функции f(x, у) и в самой точке f'_x = f'_y = 0,

Δ = f " _xx f " _уу> 0,

то f(x, у) в точке М имеет Э. (максимум при f "_xx 0 и минимум при f "_xx > 0); Э. в точке М не существует, если Δ М является т. н. седловиной, или точкой минимакса, см. рис. 4).

Достаточные условия Э. функций многих переменных сводятся к положительной (или отрицательной) определённости квадратичной формы

Σⁿ_{i, k=1} a_ikΔx_iΔx_k

где a_ik — значение f "x_ix_kв исследуемой точке. См. также Условный экстремум.

Термин «Э.» употребляется также при изучении наибольших и наименьших значений функционалов в вариационном исчислении (См. Вариационное исчисление).

Лит.: Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971.

Рис. 1. к ст. Экстремум.

Рис. 2. к ст. Экстремум.

Рис. 3. к ст. Экстремум.

Рис. 4. к ст. Экстремум.

м.

Наибольшее и наименьшее значения функции, включающие понятия максимума и минимума (в математике).

ЭКСТРЕМУМ (от лат. extremum - крайнее) - см. Максимум и минимум.

ЭКСТРЕМУМ (от латинского extremum - крайнее), общее название максимума и минимума.

муж.;
мат. turning point, extreme, extremumextremum

m.extremum; точка экстремума, extremum, extreme point

ЭКСТРЕ́МУМ [рэ́], -а; м. [лат. extremum - крайнее] Матем. Наибольшее и наименьшее значения функции, включающие понятия минимума и максимума.

* * *

(от лат. extremum — крайнее), см. Максимум и минимум.

* * *

ЭКСТРЕ́МУМ (от лат. extremum — крайнее), см. Максимум и минимум(см. МАКСИМУМ И МИНИМУМ).

- значение непрерывной функции, являющееся максимумом или минимумом (см. Максимума и минимума точки). Термин лЭ.

(от лат. extremum - крайнее) - см. Максимум и минимум.

экстре́мум м.

extreme, extremum, bend [extreme] point

достига́ть экстре́мума — reach an extremum

минова́ть экстре́мум — miss an extremum

экстре́мум нахо́дится внутри́ о́бласти — an extremum lies [occurs] within a region

экстре́мум находи́тся, напр. на грани́це — an extremum is located on e. g., a boundary

находи́ть экстре́мум — find an extremum

определя́ть местонахожде́ние экстре́мума — locate an extremum

«проскочи́ть» экстре́мум — miss an extremum

относи́тельный экстре́мум — relative extremum

усло́вный экстре́мум — conditional extremum

* * *

extreme

м. матем.

valore m estremo, estremo m

- абсолютный экстремум

матем.

екстре́мум, -му

- абсолютный экстремум

- условный экстремум

матем.

екстре́мум, -му

- абсолютный экстремум

- условный экстремум

(от лат. extremum - крайнее), см. Максимум и минимум.

(от лат. extremum - крайнее) - англ. extreme; нем. Extremum. Значение нек-рой величины или функции / (х), являющееся ее максимумом или минимумом.

(от лат. extremum - крайнее) - англ. extreme; нем. Extremum. Значение нек-рой величины или функции / (х), являющееся ее максимумом или минимумом.