«Погони линия»

плоская линия, определяемая кинетически следующим образом: по прямой Ох движется точка Рс постоянной скоростью а>0; в плоскости, содержащей эту прямую, движется точка М с постоянной по модулю скоростью υ так, что вектор скорости точки М. всегда направлен в точку Р, траектория точки М называется линией погони (см.рис.). Если обозначить текущие координаты точки Мчерез х и у, то дифференциальное уравнение П. л. имеет вид (где υ=|υ|)

Если М₀(х₀, у₀), у₀>0 и Р₀(х₀,0)—положения точек Ми Р в начальный момент, то уравнение П. л. имеет вид

при υ ≠ a;

при υ = a. Если υ>а,тоу убывает от у₀до 0, когда x возрастает от x₀ дот. е. точка М догоняет точку Р в точке x₁ оси Ох. В этом случае длина П. л. равна у₀υ²/(υ² — а²) и точка М догоняет точку P за время T = y₀υl(υ²— a²) (продолжительность погони). При υ a точка М не догоняет точку Р.

Рис. к ст. Погони линия.

- кривая, представляющая собой решение задачи о "погоне", к-рая ставится следующим образом. Пусть точка Мравномерно движется по нек-рой заданной кривой. Требуется найти траекторию равномерного движения точки Nтакую, что касательная, проведенная к траектории в любой момент движения, проходила бы через соответствующее этому моменту положение точки М. В плоском слу-

чае система уравнений, к-рым должна удовлетворять П. л., имеет вид

где - угловой коэффициент П. л., F(x, h)=0 - уравнение заданной кривой.

Задача о П. л. поставлена Леонардо да Винчи (Leonardo da Vinci), решена П. Буге (P. Bouguer, 1732).

Лит.:[1] Савелов А. А., Плоские кривые, М., 1960.

Д. Д. Соколов.