«Лагранжа уравнения»

1) в гидромеханике — уравнения движения жид кой среды, записанные в переменных Лагранжа, которыми являются координаты частиц среды. Из Л. у. определяется закон движения частиц среды в виде зависимостей координат от времени, а по ним находятся траектории, скорости и ускорения частиц. Обычно этот путь исследования оказывается достаточно сложным, и при решении большинства гидромеханических задач идут другим путём, используя Эйлера уравнения гидромеханики. Л. у. применяют главным образом при изучении колебательных движений жидкости.

Л. у. являются уравнениями в частных производных и имеют вид:

(i =1, 2, 3),

где t — время, х, у, z — координаты частицы, a₁, a₂, a₃ — параметры, которыми отличаются частицы друг от друга (например, начальные координаты частиц), X, Y, Z — проекции объёмных сил, р — давление, ρ — плотность.

Решение конкретных задач сводится к тому, чтобы, зная X, Y, Z, а также начальные и граничные условия, найти х, у, z, р, ρ как функции t и а₁, a₂, a₃. При этом надо использовать ещё Неразрывности уравнение (тоже в переменных Лагранжа) и уравнение состояния в виде ρ = f(Р) (для несжимаемой жидкости ρ — const).

2) В общей механике — уравнения, применяемые для изучения движения механической системы, в которых за величины, определяющие положение системы, выбирают независимые между собой параметры, называют обобщёнными координатами (См. Обобщённые координаты).Впервые получены Ж. Лагранжем в 1760.

Движение механической системы можно изучать, используя или непосредственно уравнения, которые даёт 2-й закон динамики, или получаемые как следствия из законов динамики общие теоремы (см. Динамика). Первый путь приводит к необходимости решать большое число уравнений, зависящее от числа точек и тел, входящих в систему; кроме того, эти уравнения содержат дополнительные неизвестные в виде реакций наложенных связей (см. Связи механические). Всё это приводит к большим математическим трудностям. Второй путь требует применения каждый раз разных теорем и для сложных систем приводит в итоге к тем же трудностям.

Л. у. дают для широкого класса механических систем единый и достаточно простой метод составления уравнений движения, не зависящий от вида (сложности) конкретной системы. Большое преимущество Л. у. состоит в том, что число их равно числу степеней свободы системы и не зависит от количества входящих в систему точек и тел. Например, машины и механизмы состоят из многих тел (деталей), а имеют обычно 1—2 степени свободы; следовательно, изучение их движения потребует составления лишь 1—2 Л. у. Кроме того, при идеальных связях из Л. у. автоматически исключаются все неизвестные реакции связей. По этим причинам Л. у. широко используются при решении многих задач механики, в частности в динамике машин и механизмов, в теории колебаний, теории гироскопа и др. Кроме этого, в случае, когда на систему действуют только потенциальные силы, Л. у. приводятся к виду, позволяющему использовать их (при соответствующем обобщении понятий) не только в механике, но и в др. областях физики.

Для голономных систем (См. Голономные системы) Л. у. в общем случае имеют вид:

(i = 1,2, ..., n),

где q_i— обобщённые координаты, число которых равно числу n степеней свободы системы, q_i — обобщённые скорости, Q_i — обобщённые силы, Т — кинетическая энергия системы, выраженная через q_i и q_i.

Для составления уравнений (1) надо найти выражение Т и вычислить по заданным силам Q_i. После подстановки Т в левые части уравнения (1) будут содержать координаты q_i и их первые и вторые производные по времени, т. е. будут дифференциальными уравнениями 2-го порядка относительно q_i. Интегрируя эти уравнения и определяя постоянные интегрирования по начальным условиям, находят зависимости q_i(t), т. е. закон движения системы в обобщённых координатах.

Когда на систему действуют только потенциальные силы, Л. у. принимают вид:

(i = 1,2, ..., n),

где L = Т — П — т. н. функция Лагранжа, а П — потенциальная энергия системы. Эти уравнения используются и в др. областях физики.

Уравнения (1) и (2) называют ещё Л. у. 2-го рода. Кроме них, есть Л. у. 1-го рода, имеющие вид обычных уравнений в декартовых координатах, но содержащие вместо реакций связей пропорциональные им неопределённые множители. Особыми преимуществами эти уравнения не обладают и используются редко, главным образом для отыскания реакций связей, когда закон движения системы найден другим путём, например с помощью уравнений (1) или (2).

Лит. см. при ст. Механика. О Л. у. в гидромеханике см. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В., Теоретическая гидромеханика, 6 изд., ч. 1, М., 1963.

С. М. Тарг.

ЛАГРАНЖА УРАВНЕНИЯ

механики. 1) Лагранжа уравнения 1-го рода - дифференциальные ур-ния движения механич. системы, к-рые даны в проекциях на прямоугольные координатные оси и содержат т. н. множители Лагранжа. Получены Ж. Лагранжем в 1788. Для голономной системы, состоящей из п материальных точек, на к-рую наложено k связей вида

Л. у. 1-го рода имеют вид

где m_v - массы точек системы; - координаты этих точек; - проекции приложенных к каждой точке активных сил; - неопределённые множители, пропорциональные реакциям соответствующих связей; t- время. Аналогичные ур-ния могут составляться и для неголономных систем. Ур-ния (2) совместно с (1) дают систему 3n+k дифференциальных ур-ний, из к-рых находятся З n неизвестных ф-ций ', дающих закон движения точек системы, и k множителей , позволяющих определить проекции реакций связей по ф-лам

Для отыскания закона движения ур-ниями (2) пользуются редко, т. к. интегрирование системы З n+k ур-ний, когда п велико, связано с большими трудностями. Однако если закон движения будет найден другим путём (напр., с помощью ур-ний Лагранжа 2-го рода), то по ур-ниям (2), в к-рых левые части известны, можно определять реакции связей.

2) Лагранжа уравнения 2-го рода - дифференциальные ур-ния движения механич. системы, в к-рых параметрами, определяющими положение системы, являются независимые между собой обобщённые координаты. Для голономных систем Л. у. 2-го рода имеют в общем случае вид

где q_i - обобщённые координаты, число к-рых равно числу s степеней свободы системы, q_i - обобщённые скорости, Q_i - обобщённые силы.

Для составления ур-ний (3) надо, выбрав q, определить кинетич. энергию системы в её движении относительно инерциалъной системы отсчета и выразить эту величину явно через q_i и q_i, т. е. найти Т (q_i,, t); время войдёт сюда при нестационарных связях. Значения Q_i находятся по заданным (активным) силам, в число к-рых при неидеальных связях включают и силы трения. С матем. точки зрения ур-ния (3) представляют собой систему обыкновенных дифференциальных ур-ний 2-го порядка относительно координат q_i; интегрируя эти ур-ния и определяя постоянные интегрирования по нач. условиям, находят q_i(t), т. е. закон движения системы в обобщённых координатах.

По сравнению с ур-ниями в декартовых координатах (см., напр., ур-ния Лагранжа 1-го рода) ур-ния (3) обладают тем важным преимуществом, что число их равно числу степеней свободы системы и не зависит от кол-ва входящих в систему материальных частиц или тел; кроме того, при идеальных связях из ур-ний (3) автоматически исключаются все наперёд неизвестные реакции связей. Л. у. 2-го рода, дающими весьма общий и притом достаточно простой метод решения задач, широко пользуются для изучения движения разл. механич. систем, в частности в динамике механизмов и машин, в теории гироскопа, в теории колебаний и др.

Для неголономной системы, на к-рую, кроме геом. связей, учитываемых выбором координат q_i, наложено ещё k дифференциальных связей, выражаемых равенствами

Л. у. 2-го рода принимают вид

Ур-ния (5) совместно с (4) дают возможность определить s неизвестных координат q_i н k наперёд неизвестных множителей как ф-ций времени.

В физике особое значение имеет та форма Л. у., к-рую они принимают в случае голономной системы, находящейся под действием одних только потенц. сил (см. Консервативная система). Если ввести ф-цию Лагранжа (лагранжиан) L, равную в этом случае разности между кинетической Т и потенциальной П энергиями системы:

то, т. к. для потепц. сил , равенства (3) примут вид

Ур-ния в форме (6) обычно и наз. в физике ур-ниями Лагранжа. Преимущество этих ур-ний состоит в том, что они позволяют изучить движение механич. системы, зная для неё одну только ф-цию L, полностью характеризующую систему. Такая форма ур-ний имеет место не только для консервативных систем. Если обобщённые силы можно представить через нек-рый "обобщённый потенциал" U(q_i, )в виде

то ур-ния (3) представляются тоже в виде (6), где L= T+U. Напр., для заряж. частицы массы m с зарядом 9, движущейся в эл.-магн. ноле, к-рое характеризуется векторным А и скалярным потенциалами, существует "обобщённый потенциал"

где - скорость частицы, с - скорость света.

Область приложения ур-ний (6) оказывается ещё более широкой благодаря их связи с наименьшего действия принципом. Согласно этому принципу, для истинного движения системы величина , наз. действием, имеет экстремум, условие существования к-рого состоит в том, что ф-ция L должна удовлетворять ур-ниям Эйлера, совпадающим с ур-ниями (6). Отсюда следует, что ур-ния вида (6) справедливы для любой физ. системы (непрерывная среда, гравитац. или эл.-магн. поле и др.), к-рая характеризуется соответствующей ф-цией Лагранжа и подчиняется вариационному принципу, аналогичному принципу наим. действия.

Для среды или поля, представляющих собой систему с бесконечным числом степеней свободы, роль обобщённых координат q_i играют такие величины, как смещение частицы, плотность, потенциал и т. п., зависящие в общем случае от координат х, у, z точек среды (поля) и от времени; поэтому для такой среды (поля) q_i =q_i ( х, у, z, t). Характеристикой системы в этих случаях служит удельная (отнесённая к единице объёма) ф-ция Лагранжа, или лагранжиан

и Л. у. для среды (поля) принимают вид

Ур-ния (7), в отличие от (3) или (6), представляют собой систему ур-ний в частных производных; число их равно числу величин q_i.

Примером приложения ур-ний (7) к упруго деформируемой среде может служить задача о продольных вдоль оси х колебаниях призматич. стержня. В этом случае имеется одна обобщённая координата q₁=u(x, t), где и - продольное смещение частиц стержня, и ф-ция L₀, составляемая как разность удельных кинетической и потенциальной энергий, имеет вид

где - плотность среды, Е - модуль упругости при растяжении. Подстановка этого значения L₀ в (7) даёт ур-ние продольных упругих колебаний:

Др. примером может служить эл.-магн. поле в вакууме, для к-рого в качестве четырёх обобщённых координат можно принять компоненты А _х, А _у, А _z векторного потенциала А и скалярный потенциал . В этом случае

где Е - напряжённость электрич. поля, В - магн. индукция, j - плотность тока, - уд. заряд. При этом значении L₀ равенства (7) дают ур-ния Максвелла.

Л. у. в виде (6) сохраняют смысл и при движениях со скоростями, сравнимыми со скоростью света, но при этом в выражение ф-ции L вместо кинетич. энергии частицы входит величина - См. также Лагранжев формализм.

Лит.:1) Лагранж Ж., Аналитическая механика, пер. с франц., 2 изд., т. 1-2, М.- Л., 1950; 2) Жуковский Н. Е., Теоретическая механика, 2 изд., М.- Л., 1952; 3) Суслов Г. К., Теоретическая механика, 3 изд., М.- Л., 1946: 4) Лойцянский Л. Г., Лурье А. И., Курс теоретической механики, 6 изд., т. 2, М., 1983; 5) Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Механика, 4 изд., М., 1988, гл. 1; 6) Голдстейн Г., Классическая механика, пер. с англ., 2 изд., М., 1975, гл. 1, 2, 11. С. М. Тарг.