«Равностепенная непрерывность»

важное свойство некоторых семейств функций. Семейство функций называется равностепенно непрерывным на данном отрезке [а, b], если для всякого числа ε > 0 найдётся такое δ > 0, что |f(x₂) — f(x₁)| x₁ и x₂ из [а, b] для которых |x₂ — x₁| δ, и для любой функции f(x) данного семейства. Все функции равностепенно непрерывного семейства равномерно непрерывны на [a, b] (см. Равномерная непрерывность).

Свойство Р. н. семейства функций находит приложения в теории дифференциальных уравнений и функциональном анализе благодаря следующей теореме: для того чтобы из данного семейства функций можно было выделить равномерно сходящуюся последовательность (см. Равномерная сходимость), необходимо и достаточно, чтобы семейство функций было равностепенно непрерывно и равномерно ограниченно (т. е. чтобы все функции семейства удовлетворяли на [а, b] условию |f(x)| ≤ M с одним и тем же М). Возможность выделить равномерно сходящуюся последовательность означает, что данное семейство образует относительно компактное множество в пространстве С непрерывных функций (см. Компактность).

мат. equicontinuity property, equipower continuity

множества функций- понятие, тесно связанное с понятием компактности множества непрерывных функций. Пусть X, Y - компактные метрич. пространства и С(X, Y) - множество непрерывных отображений Xв Y. Множество наз. равностепенно непрерывным, если для любого существует такое , что из вытекает для всех . Р. <н. Dэквивалентна относительной компактности Dв С( Х, Y), наделенном метрикой

что составляет содержание теоремы Арцела - А с к о л и. Понятие Р. н. переносится на топологич. пространства.

Лит.:[1] Колмогоров А. Н., Ф о м и н С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981; [2] Э д в а р д с Р., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1969. Е. М. Семенов.

equicontinuity

односта́йна непере́рвність

односта́йна непере́рвність