«Обратные тригонометрические функции»

аркфункции, круговые функции, решают следующую задачу: найти дугу (число) по заданному значению её тригонометрической функции. Шести основным тригонометрическим функциям соответствуют шесть О. т. ф.: 1) Arc sin х («арксинус x») — функция, обратная sin х; 2) Arc cos x(«арккосинус x») — функция, обратная cos х; 3) Arc tg x («арктангенс x») — функция, обратная tg х; 4) Arc ctg x («арккотангенс x») — функция, обратная ctg x; 5) Arc sec x («арксеканс x») — функция, обратная sec x; 6) Arc cosec x («арккосеканс x») — функция, обратная cosec x. Согласно этим определениям, например, х = Arc sin a есть любое решение уравнения sin х = a, т.е. sin Arc sin a = a. Функции Arc sin x и Arc cos x определены (в действительной области) для |х| ≤ 1, функции Arc tg х и Arc ctg х — для всех действительных х, а функции Arc sec хи Arc cosec х:—для |х| ≥ 1; две последние функции малоупотребительны.

Так как тригонометрические функции периодические, то обратные к ним функции являются многозначными функциями. Определённые однозначные ветви (главные ветви) этих функций обозначаются так: arc sin х, arc cos x,..., arc cosec x. Именно, arc sin х есть та ветвь функции Arc sin х, для которой — π/2 ≤ arc sin х ≤ π/2. Аналогично, функции arc cos х, arc tg хи arc ctg х определяются из условий: 0 ≤ arc cos х ≤ π, — π/2 x <>π/2, 0 x <>π. На рис.изображены графики функций у = Arc sin x, у = Arc cos x, у = Arc tg x, у =Arc ctg x; главные Arc cos x = ± arc cos x +2πn,ветви этих функций выделены жирной линией. О. т. ф. Arc sin х,... легко выражаются через arc sin x,..., например

n = 0, ±1, ±2, …

Известные соотношения между тригонометрическими функциями приводят к соотношениям между О. т. ф., например из формулы

вытекает, что

Производные О. т. ф. имеют вид

О. т. ф. могут быть представлены степенными рядами, например

эти ряды сходятся для —1 ≤ x ≤ 1.

О. т. ф. можно определить для произвольных комплексных значений аргумента; однако их значения будут действительными лишь для указанных выше значений аргумента. О. т. ф. комплексного аргумента могут быть выражены с помощью логарифмической функции, например

Лит.: Новоселов С. И., Обратные тригонометрические функции, 3 изд., М., 1950.

ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ - общее название функций арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса, арксеканса, арккосеканса, каждая из которых выражает величину дуги (или угла), соответствующей данному значению х тригонометрической функции, название которой получается отбрасыванием приставки "арк". Напр., арксинус (обозначается: arcsinx) обозначает дугу, синус которой равен х.

обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции

общее название функций арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса, арксеканса, арккосеканса, каждая из которых выражает величину дуги (или угла), соответствующей данному значению х тригонометрической функции, название которой получается отбрасыванием приставки «арк». Например, арксинус (обозначается: arcsin x) обозначает дугу, синус которой равен х.

* * *

ОБРА́ТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИ́ЧЕСКИЕ ФУ́НКЦИИ, общее название функций арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса, арксеканса, арккосеканса, каждая из которых выражает величину дуги (или угла), соответствующей данному значению х тригонометрической функции, название которой получается отбрасыванием приставки «арк». Напр., арксинус (обозначается: arcsinx) обозначает дугу, синус которой равен х.

функции, обратные тригонометрическим функциям. Обычно рассматривают следующие О. т. ф.: Arcsin х (арксинус х) - ф-ция, обратная sin х; Arccos х (арккосинус х) ф-ция, обратная cos Л; Arctg х (арктангенс х) ф-ция, обратная tg х; Arcctg х (арккотангенс х) ф-ция, обратная ctg х. Вследствие периодичности тригонометрич. ф-ций О. т. ф. многозначны. Из всех возможных значений каждой О. т. ф. выделяются гл. значения, или гл. ветви; они обозначаются: arcsin x, arccos x, arctg х, arcctg x (на рис. выделены жирными линиями).

ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — функции, обратные тригонометрическим функциям (см.). Функцией, обратной синусу, является арксинус, функцией, обратной косинусу, является арккосинус и т. д. Обозначаются так: Arcsin x (арксинус x), Arccos x (арккосинус x) и т.д.