Большая Советская энциклопедия
проблема, состоящая в определении числа k корней алгебраического уравнения
a0zn+a1zn-1+...+an-1z+an = 0,
имеющих положительные действительные части. В случае коэффициентов a0, a1,..., an справедлива формула
где V — число знакоперемен в ряде чисел a0, D1, Dl(l= 1, 2, ..., n — определители Гурвица (см. Гурвица критерий). Специального рассмотрения требуют особые случаи, когда некоторые из Dl равны нулю. В случае l = 1 из формулы (1) следует критерий Гурвица. Формула (1) была установлена нем. математиком А. Гурвицем (A. Hurwitz; 1895). Другими путями Р. — Г. п. исследовалась ранее французским математиком Ш. Эрмитом (1856) и английским механиком Э. Раусом (Е. Routh; 1877). Раус установил специальный алгоритм для вычисления числа k. Формула (1) может быть заменена геометрическим правилом. Точка, изображающая комплексную величину
a0(iω) n + a1(iω) n-1... + an,
при изменении ω от 0 до + ∞ описывает кривую. Если при этом полярный угол θ точки кривой получает приращение
Δθ = ν
k = (n— ν)/2. (2)
Специального рассмотрения требует особый случай, когда кривая проходит через начало координат. При k= 0 из формулы (2) следует ν =n, что даёт получивший широкое распространение в технической литературе критерий устойчивости А. Михайлова (1939).
В приложениях встречаются обобщения Р. — Г. п. на случай комплексных коэффициентов a0, a1, ..., an и на случай трансцендентных уравнений.