«Минковского неравенство»

неравенство вида

где a_k и b_k (k = 1, 2,..., n) — неотрицательные числа и r > 1. М. н. имеет аналоги для бесконечных рядов и интегралов; оно было установлено Г. Минковским (См. Минковский) в 1896 и выражает тот факт, что в n-мерном пространстве, для которого расстояние между точками x = (x₁, x₂, ..., x_n) и y = (y₁, y₂, ..., y_n) имеет величину

сумма длин двух сторон треугольника больше длины третьей стороны.

- 1) Собственно М. н.: если действительные числа при i=l,..., n и р>1, то

Выведено Г. Минковским [1]. При неравенство заменяется на противоположное (для р<0 следует считать ). В каждом из этих случаев равенство имеет место тогда и только тогда, когда строки и пропорциональны. При р=2 М. н. наз. неравенством треугольника. М. н. допускает обобщения в различных направлениях (они также носят названия неравенств Минковского ). Ниже приводятся нек-рые из них.

2) М. н. для сумм. Пусть для i=1,......, пи j = 1,..., ти р>1, тогда

Знак неравенства меняется на обратный при р<1, и для полагается . В каждом из этих случаев равенство имеет место тогда и только тогда, когда строки пропорциональны. Существуют также обобщения неравенств (1) на кратные и бесконечные суммы. Однако при использовании предельных процессов особого внимания требует формулировка случаев возможного равенства (см. [2]).

Неравенства (1) и (2) однородны относительно , и потому они имеют аналоги для различных средних, напр., если где то

подробнее см. в [2].

3) М. н. для интегралов аналогично неравенству (2) и имеет место опять же вследствие однородности относительно . Пусть - интегрируемые функции в нек-рой области относительно элемента объема dV, тогда при р>1

Естественно получается обобщение неравенства (3) для большего числа функций. Дальнейшее обобщение: если k>1, то

причем равенство имеет место лишь в случае

4) Другие неравенства типа М. н.:

а) для произведений: если ,то

б) неравенство Малера: пусть F(x)- обобщенная норма в - ее полярная функция. Тогда

где (Х, Х) - скалярное произведение;

в) для определителей: если А, В- неотрицательные эрмитовы матрицы над , то

5) Наконец, с именем Г. Минковского связываются и др. неравенства, в особенности в выпуклом анализе и теории чисел, напр. Брунна- Минковского теорема.

Лит.:[1] Minkowski H., Geometrie uer Zahlen, 1, Lpz., 1896, § 115-17; [2] Xарди Г. Г., Литтльвуд Д ж., Полна Г., Неравенства, пер. с англ., М., 1948; [3] Беккен6ах Э. Ф., Беллман Р., Неравенства, пер. с англ., М., 1965; [4] Маркус М., Минк X., Обзор по теории матриц и матричных неравенств, пер. с англ., М., 1972.

М. И. Войцеховский.