«Эллиптические функции»

функции, связанные с обращением эллиптических интегралов (См. Эллиптические интегралы).Э. ф. применяются во многих разделах математики и механики как при теоретических исследованиях, так и для численных расчётов.

Подобно тому как тригонометрическая функция u = sinx является обратной по отношению к интегралу

так обращение нормальных эллиптических интегралов 1-го рода

где z = sin φω, k — модуль эллиптического интеграла, порождает функции: φ = am z —амплитуда z (эта функция не является Э. ф.) и ω = sn z = sin (am z)—синус амплитуды. Функции cn—косинус амплитуды и dn z— дельта амплитуды определяются формулами

Функции sn z, cn z,dnz называют Э. ф. Якоби. Они связаны соотношением

sn²z + cn²z=k²sn²z + dn²z = 1.

Нарис. представлен вид графиков Э. ф. Якоби. Они связаны соотношением

sn²z + cn²z = k²sn²z + dn²z = 1

На рис. представлен вид графиков Э. ф. Якоби для действительного x и 0

— полный нормальный эллиптический интеграл 1-го рода и 4K — основной период Э. ф. sn z.В отличие от однопериодической функции sin х,функция sn z — двоякопериодическая. Её второй основной период равен 2iK, где

и — дополнительный модуль. Периоды, нули и полюсы Э. ф. Якоби приведены в таблице, где mи n —любые целые числа.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

| Функции    | Периоды         | Нули     | Полюсы           |

|----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

| sn z   | 4Km + 2iK'n     | 2mK + 2iK'n   |         |

|-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------| }2mK + (2n + 1) iK'    |

| cn z   | 4K + (2K + 2iK') n     | (2m + 1) K + 2iK'n          | |

|-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|         |

| dn z   | 2Km + 4iK'n     | (2m + 1) K + (2n + 1) iK         | |

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Э. ф. Вейерштрасса ℙ(х) может быть определена как обратная нормальному эллиптическому интегралу Вейерштрасса 1-го рода

где параметры g₂ и g₂ — называются инвариантами ℙ(x). При этом предполагается, что нули e₁, e₂ и e₃ многочлена 4t³ — g₂t — g₃различны между собой (в противном случае интеграл (*) выражался бы через элементарные функции). Э. ф. Вейерштрасса ℙ(х) связана с Э. ф. Якоби следующими соотношениями:

Любая мероморфная двоякопериодическая функция f(z) с периодами ω₁ и ω₂, отношение которых мнимо, т. е. f(z + mω₁ + пω₂) = f(z) приm, n =0, ±1, ±2,... и Сигма-функции и Тэта-функции.

Изучению Э. ф. предшествовало накопление знаний об эллиптических интегралах, систематическое изложение теории которых дал А. Лежандр.Основоположниками теории Э. ф. являются Н. Абель (1827) и К. Якоби (1829). Последний дал развёрнутое изложение теории Э. ф., названное его именем. В 1847 Ж. Лиувилль опубликовал изложение основ общей теории Э. ф., рассматриваемых как мероморфные двоякопериодические функции. Представление Э. ф. через ℙ-функцию, а также ζ-, σ-функции дано К. Вейерштрассом в 40-х гг. 19 в. (две последние не являются Э. ф.).

Лит.: Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 2, М., 1968; Гурвиц А., Курант Р., Теория функций, пер. с нем., М., 1968; Уиттекер Э, Т., Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963; Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье, пер. с англ., М., 1967.

Рис. к ст. Эллиптические функции.

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ функции - функции, связанные с интегралами, содержащими квадратные корни из многочленов 3-й или 4-й степеней (появляются, напр., при вычислении длины дуги эллипса).

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

- функции, связанные с обращением эллиптических интегралов (более строгое определение см. ниже). Подобно тому как простейшая тригонометрич. ф-ция и=sinx является обратной по отношению к интегралу

так одна из Э. ф. Якоби u =sn(x; k) =snx является обрат-ной по отношению к эллиптич. интегралу I рода

(k - постоянная, наз. модулем). Чтобы определить остальные Э. ф. Якоби, заменяют в (1) т на sina и получают

Ф-ция, обратная х, наз. а м п л и т у д о й и обозначается f=amx (она не является Э. ф.); через неё snx выражается так:

и потому наз. с и н у с о м а м п л и т у д ы или э л л и п т и ч е с к и м с и н у с о м. Две другие Э. ф. Якоби - к о с и н у с а м п л и т у д ы (или э л л и п т и ч. к о с и н у с) и д е л ь т а а м п л и т у д ы:

Все эти ф-ции были введены и изучены H. Абелем (N. Abel, 1827) и К. Якоби (С. Jacobi, 1829). Ф-ции snx, cnx,dnx связаны двумя алгебраич. соотношениями:

На рис. 1 представлен вид графиков Э. ф. Якоби для вещественного x (при условии 0<k<1); здесь

-полный эллиптич. интеграл I рода и 4 К -основной период Э. ф. snx.B отличие от однопериодич. ф-ции sinx, ф-ция sn x -двоякопериодическая. Её второй основной период равен 2iK', где

и k'= - дополнит. модуль.

Э. ф. Вейерштрасса (пэ-функция) и=( х )может быть определена как обратная интегралу

(g₂. и g₃ наз. инвариантами). При этом предполагается, что нули e₁ е₂ и е₃. многочлена 4t³- g₂t-g₃. различны между собой [в противном случае интеграл (2) выражался бы через элементарные ф-ции]. Если, в частности, числа е₁ е₂, е₃ вещественны и различны [это будет при условии, что g₂ ^и g₃- вещественные числа и D = (l/16)(g₂³-27g₃²)>0], причём e₁ > е₂> е₃, то

и

будут основными периодами Э. ф. (z). Эта ф-ция принимает тогда действительные значения не только при z = x, но и при z = w₁ + iy, z = x+ iw₃ и z = iy, на рис. 2 представлены соответствующие графики. Если z описывает прямоугольник 0< х<w₁, 0<y<w₃/i, то w=(z) описывает нижнюю полуплоскость, причём соответствие между z и w является взаимно однозначным и конформным. С sn(z; k )ф-ция (z) связана зависимостью

О б щ и е с в о й с т в а э л л и п т и ч. ф у н к ц и й. Э. ф.- любая мероморфная (см. в ст. Аналитическая функция) двоякопериодич. ф-ция f(z). Пусть 2w₁ и 2w₃ (отношение w₃:w₁ мнимое) -основные периоды ф-ции f(z), тогда f(z + 2w₁ т +2w₃n) =f(z )при т, n=0, b1, +2,.... В силу этого достаточно изучить f(z) в каком-либо параллелограмме её периодов Р (рис. 3); к Р кроме его внутр. точек причисляются точки сторон ОА и ОБ, исключая вершины А и В. Имеют место след. теоремы Лиувилля: сумма, разность, произведение и частное Э. ф. есть Э. ф.; производная Э. ф. есть Э. ф.; если Э. ф.const, то число N полюсов в Р (с учётом кратности полюсов)>=2; ур-ние f(z) = а при любом а имеет N корней в Р; суммы корней для двух разных а могут различаться только на нек-рый период W = 2w₁m + 2nw₃. Построим функции:

где П' и S' - знаки произведения и суммы, распространённые на все периоды W0. Функция s(z)-простейшая целая функция, имеющая нули 1-го порядка во всех точках W (т. н. сигма-функция), z(z) и (z)-простейшие мероморфные функции, имеющие полюсы в W соответственно 1-го и 2-го порядков. Пусть a₁..., a_N и b₁, ..., b_N -нули и полюсы Э. ф. f(z), принадлежащие Р (кратные нули и полюсы выписываются столько раз, какова их кратность), тогда f(z) имеет вид

где С₀ постоянная и b'_N = (a₁ +... + a_N)-(b_l+...+ b_N-1). Если b₁,..., b_n - различные между собой полюсы f(z) и ₁ ...,_n -их порядки (= N), причём главная часть разложения f(z) в окрестности b_k есть

то

где С- постоянная; формулы (3) и (4), принадлежащие К. Вейерштрассу (К. Weierstrab), аналогичны формулам, представляющим рациональную функцию в виде частного двух произведений линейных множителей (многочленов) либо в виде суммы простейших дробей; на них основывается вся теория Э. ф.

Рис. 1.

К идее обращения эллиптич. интегралов впервые пришёл К. Гаусс (С. Gauss), получивший мн. результаты теории Э. ф. ещё в кон. 18 в. (1797 и последующие годы), но не публиковавший их. Фактически основателями Э. ф. являются Абель и Якоби. Последний дал развёрнутое изложение теории Э. ф., названных его именем (они были введены Абелем). В 1847 Ж. Лиувилль (J. Liouville) опубликовал изложение основ теории Э. ф., рассматриваемых как мероморфные двоякопериодич. функции; это изложение-пример применения к теории Э. ф. начал теории аналитич. функций комплексного переменного, развитых О. Коши (A. Cauchy).

Вейерштрасс пришёл к своим функциям s(z), z(z),(z), по-видимому, ещё в 40-х гг. 19 в. [аналогичные функции встречаются в работах Ф. Эйзенштейна (F. Eisenstein, 1847) и др. учёных]. Краткое изложение теории Э. ф. в обозначениях Вейерштрасса было опубликовано Г. Шварцем (Н. Schwartz, 1883-84). Необходимо также отметить работы Ш. Эрмита (Ch. Hermit), получившего с помощью Э. ф. решение общего алгебраич. уравнения 5-й степени.

Лит.: Ахиезер Н. И., Элементы теории эллиптических функций, 2 изд., М., 1970; Гурвиц А., Курант Р., Теория функций, пер. с нем., М., 1968. А. И. Маркушевич.