«Обратная теорема»

теорема, условием которой служит заключение исходной (прямой) теоремы, а заключением — условие. Обратной к О. т. будет исходная (прямая) теорема. Таким образом, прямая и О. т. взаимно обратны. Например, теоремы: «если два угла треугольника равны, то их биссектрисы равны» и «если две биссектрисы треугольника равны, то соответствующие им углы равны» — являются обратными друг другу. Из справедливости какой-нибудь теоремы, вообще говоря, не следует справедливость обратной к ней теоремы. Например, теорема: «если число делится на 6, то оно делится на 3» — верна, а О. т.: «если число делится на 3, то оно делится на 6» — неверна. Даже если О. т. верна, для её доказательства могут оказаться недостаточными средства, используемые при доказательстве прямой теоремы. Например, в евклидовой геометрии верны как теорема «две прямые на плоскости, имеющие общий перпендикуляр, не пересекаются», так и обратная к ней теорема «две непересекающиеся прямые на плоскости имеют общий перпендикуляр». Однако вторая (обратная) теорема основывается на евклидовой аксиоме параллельных, тогда как для доказательства первой эта аксиома не нужна. В Лобачевского геометрии (См. Лобачевского геометрия)вторая просто неверна, тогда как первая остаётся в силе. О. т. равносильна теореме, противоположной к прямой, т. е. теореме, в которой условие и заключение прямой теоремы заменены их отрицаниями. Поэтому прямая теорема равносильна теореме, противоположной к обратной, т. е. теореме, утверждающей, что если неверно заключение прямой теоремы, то неверно и её условие. Известный способ «доказательства от противного» как раз и представляет собой замену доказательства прямой теоремы доказательством теоремы, противоположной к обратной. Справедливость обеих взаимно обратных теорем означает, что выполнение условия любой из них не только достаточно, но и необходимо для справедливости заключения (см. Необходимые и достаточные условия).

ОБРАТНАЯ теорема - теорема, условием которой служит заключение исходной (прямой) теоремы, а заключением - условие.

converse мат.

inverse theorem

обра́тная теоре́ма

теорема, условием которой служит заключение исходной (прямой) теоремы, а заключением — условие.

* * *

ОБРА́ТНАЯ ТЕОРЕ́МА, теорема, условием которой служит заключение исходной (прямой) теоремы, а заключением — условие.

- теорема, условием к-рой служит заключение теоремы исходной (прямой), а заключением - условие. Обратной к О. т. будет исходная (прямая) теорема, так что прямая и О. т. взаимно обратны.

О. т. равносильна теореме, противоположной к прямой, т. е. теореме, в к-рой условие и заключение прямой теоремы заменены их отрицаниями. Поэтому прямая теорема равносильна противоположной к обратной, т. е. теореме, утверждающей, что если неверно заключение прямой теоремы, то неверно и ее условие. Известный способ "доказательства от противного" как раз и представляет собой замену доказательства прямой теоремы доказательством теоремы, противоположной к обратной. Справедливость обеих взаимно обратных теорем означает, что выполнение условия любой из них не только достаточно, но и необходимо для справедливости заключения. См. также Теорема, Необходимые и достаточные условия.

БСЭ-3.

inverse theorem

* * *

reciprocal theorem

teorema inverso [reciproco]

зворо́тна теоре́ма

зворо́тна теоре́ма

теорема, условием к-рой служит заключение исходной (прямой) теоремы, а заключением - условие.