Большая Советская энциклопедия
формула для разложения непериодической функции на гармонические компоненты, частоты которых пробегают непрерывную совокупность значений. Если функция f(x) удовлетворяет на каждом конечном отрезке условию Дирихле (см. Фурье ряд) и если сходится
то
Эта формула впервые встречается при решении некоторых задач теплопроводности у Ж. Фурье (1811), но её доказательство было дано позже другими математиками. Формулу (1) можно представить также в виде
где
В частности для чётных функций
где
Формулу (2) можно рассматривать как предельную форму ряда Фурье для функций, имеющих период 2T, когда Т → ∞. При этом а(u) и b(u) аналогичны коэффициентам Фурье функции f(x). Употребляя комплексные числа, можно заменить формулу (1) формулой
Формулу (1) можно преобразовать также к виду
(простой интеграл Фурье).
Если интегралы в формулах (2), (3) расходятся (см. Несобственные интегралы), то во многих случаях их можно просуммировать к f(x) при помощи того или иного метода суммирования (См. Суммирование). При решении многих задач используются формулы Ф. и. для функций двух и большего числа переменных.
Лит.: Титчмарш Е., Введение в теорию интегралов Фурье, пер. с англ., М. — Л., 1948.
Физическая энциклопедия
- ФУРЬЕ ИНТЕГРАЛ
(ф у р ь е-и н т е г р а л) - разложение ф-ции f(x), заданной на всей оси х или на полуоси х в суперпозицию гармоник с частотами, заполняющими всю полуось l
[0, 
):
Разложение (*) можно переписать в виде, аналогичном выражению для определения коэффициентов ряда Фурье (J. Fourier):
где
Часто употребляется представление Ф. и. (*) в комплексной форме:
где
ф-ция f(l) наз. фурье-преобразованием, частотной характеристикой или фурье-спектром ф-ции f. С. В. Молодцов.
Математическая энциклопедия
- континуальный аналог Фурье ряда. Для функции, заданной на конечном промежутке действительной оси, важное значение имеет представление ее рядом Фурье. Для функции f(x). заданной на всей оси, аналогичную роль играет разложение f в интеграл Фурье:
где
Разложение (1) можно формально строить в предположениях, обеспечивающих существование написанных интегралов. Оно справедливо, напр., для гладкой финитной функции f(x). Имеется большое число признаков, обеспечивающих равенство (1) в том или ином смысле. Подстановка (2) в (1) дает т. н. интегральную формулу Фурье
обоснование к-рой и приводит к упомянутым признакам. Большую пользу приносит при этом представление f(x)простым интегралом Фурье
к-рое получается из (3), если записать внешний интеграл как предел по интервалу (0, N)и поменять порядок интегрирования. В прикладных науках представление (1) часто интерпретируется как разложение по гармоникам: если
то (1) принимает вид:
и таким образом f представляется в виде суперпозиции гармоник, частоты 
к-рых непрерывно заполняют действительную полуось 
а амплитуда Dи начальная фаза 
зависят от 
Во многих случаях (в частности, для комплексно-значных функций f) разложение (1) удобнее представлять в экспоненциальной форме:
где
Функция 
именуется при этом Фурье преобразованием функции f (в прикладных науках С(l) наз. <частотной характеристикой, или спектром, f).
При условии, что функция f (x) суммируема: 
функция 
ограничена, равномерно непрерывна на оси и 
при 
Функция 
может оказаться несуммируемой и интеграл (4) - несуществующим. Однако равенство (4) допускает разумное истолкование, если воспользоваться методами суммирования интегралов [при этом можно рассматривать не только поточечную сходимость, но и сходимость в среднем]. Напр., средние арифметические усеченных Ф. и.
суммируемой функции f(x) сходятся к f(x) почти всюду и в среднем при 
При наличии дополнительных ограничений на функцию f(x) получаются более конкретные утверждения. Напр., если 
и имеет ограниченную вариацию в окрестности х, то
В приложениях часто используется разложение
верное для кусочно гладкой в каждом конечном интервале абсолютно интегрируемой функции f(x), где интеграл справа понимается в смысле главного значения (6). Ф. и. изучается также в предположении локальной суммируемости функции f и при тех или иных требованиях, накладывающих ограничения на поведение f в 
Пусть, напр., 
тогда
где предел понимается в смысле сходимости в среднем порядка 
[однако предел в (7) существует и в смысле сходимости почти всюду]. Простую форму приобретает этот результат при р = 2 (см. Планшереля теорема).
Аналогично строится теория кратных Ф. и., когда речь идет о разложении функции, заданной в n-мерном пространстве. Понятие Ф. и. распространяется также и на обобщенные функции.
Лит.:[1] Титчмарш Е., Введение в теорию интегралов Фурье, пер. сангл., М.- Л., 1948; [2] Бохнер С., Лекции об интегралах Фурье, пер. с англ., М., 1962; [3] 3игмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., т. 2, М., 1965.
П. И. Лизоркин.
Большой энциклопедический политехнический словарь
[по имени франц. математика Ж. Б. Ж. Фурье (J. В. J. Fourier; 1768-1830)] - ф-ла, дающая разложение непериодич. ф-ции на гармонич. компоненты, частоты к-рых составляют непрерывную совокупность значений.