«Ортогональные многочлены»

специальные системы многочленов {р_п (х)}; n = 0, 1, 2,..., ортогональных с весом ρ(х) на отрезке [а, b] (см. Ортогональная система функций). Нормированная система О. м. обозначается через х) удовлетворяет дифференциальному уравнению (Пирсона)

Многочлен р_п (х) такой системы удовлетворяет дифференциальному уравнению

где γ_n=n[(α₁ + (n + 1)β₂].

Наиболее важные системы О. м. (классические) относятся к этому типу; они получаются (с точностью до постоянного множителя) при указанных ниже а, b и ρ(х).

1) Якоби многочлены {Р_п ^(λ,μ)(х)} — при а = —1, b = 1 ρ(х) = (1—х)^λ (1 + x)^μ, λ > —1, μ > —1. Специальные частные случаи многочленов Якоби соответствуют следующим значениям λ и μ: λ = μ— Ультрасферические многочлены ¹/₂, т. е. Чебышева многочлены 1-го рода T_n (x); λ = μ = ¹/₂, т. е. Чебышева многочлены 2-го рода U_n (x); λ = μ = 0, т. е. ρ(х)≡1 — Лежандра многочлены Р_п (х).

2) Лагерра многочлены L_n (x) — при а = 0, b = + ∞ и ρ(х) = е^—х (их наз. также многочленами Чебышева — Лагерра) и обобщённые многочлены Лагерра

3) Эрмита многочлены Н_n (х) — при а = —∞, b = + ∞ и

О. м. обладают многими общими свойствами. Нули многочленов р_n (х) являются действительными и простыми и расположены внутри [а, b]. Между двумя последовательными нулями многочлена р_n (х) лежит один нуль многочлена p_n+1(х). Многочлен р_n (х) может быть представлен в виде т. н. формулы Родрига

где A_n — постоянное, а β(х) см. формулу (*). Каждая система О. м. обладает свойствами замкнутости. Три последовательных О. м.

где а_п+2 и λ_n+2 следующим образом выражаются через коэффициенты этих многочленов: если

то

Общая теория О. м. построена П. Л. Чебышевым. Основным аппаратом изучения О. м. явилось для него разложение интеграла х — a_n и числителями λ_n—1. Знаменатели φ_n (х)/р_n (х) подходящих дробей этой непрерывной дроби образуют систему О. м. на отрезке [a, b] относительно веса ρ(х).

Приведённые выше классические системы О. м. выражаются через гипергеометрическую функцию (См. Гипергеометрические функции).

Лит.: Сеге Г., Ортогональные многочлены, пер. с англ., М., 1962; см. также лит. при ст. Ортогональная система функций.

В. И. Битюцков.

мат. orthogonal polynomial

система многочленов {Р _n (х)}, удовлетворяющих условию ортогональности причем степень каждого многочлена Р _n (х). равна его индексу п, а весовая функция (вес) на интервале ( а, b).или (в случае конечности a и b) на отрезке [a, b]. О. м. наз. о р т о н о р м и р о в а н н ы м и и обозначаются , если каждый многочлен имеет положительны старший коэффициент н выполняется условие нормированности

А если старший коэффициент каждого многочлена равен 1, то система О. м. обозначается .

Система О. м. определяется однозначно, если весовая функция (дифференциальный вес) h(x).интегрируема по Лебегу на ( а, b), не эквивалентна нулю и, в случае неограниченного интервала ( а, b), имеет конечные степенные моменты

Вместо дифференциального веса h(x).можно рассматривать интегральный вес ds(х), где s(x) - ограниченная неубывающая функция с бесконечным множеством точек роста (в этом случае в условии ортогональности интеграл понимается в смысле Лебега - Стилтьеса).

Для того чтобы многочлен Р _п (х).степени пвходил в систему О. м. { Р _п (х)} c весом h(х), необходимо и достаточно, чтобы для любого многочлена Q_m (х).степени m<n выполнялось условие

Если интервал ортогональности (a, b) симметричен относительно начала координат, а весовая функция h(x).четна, то каждый многочлен Р _п (х).содержит только те степени х, к-рые имеют одинаковую с номером пчетность, т. е. имеет место тождество

Нули О. м. в случае ортогональности по интервалу ( а, b) все действительны, различны и расположены внутри ( а, b), причем между двумя соседними нулями многочлена Р _п (х).есть один нуль многочлена Р _п-1 (х). Нули О. м. часто применяются в качестве узлов интерполяционных и квадратурных формул.

Любые три последовательных многочлена системы О. м. связаны рекуррентной формулой

где

Число - нормирующий множитель многочлена Р _п (х), так что система ортонормирована, т. е.

Для О. м. имеет место формула Кристоффеля-Дарбу

О. м. представляются через степенные моменты {h_k} весовой функции h(x).по формуле

где

а определитель D_n-1 получается из y_n(x) вычеркиванием последних строки и столбца, D_n определяется аналогично.

На множестве многочленов степени пс единичным старшим коэффициентом минимум функционала

достигается тогда и только тогда, когда

причем этот минимум равен

Если многочлены ортонормированы с весом h(x).на отрезке [a, b], то при р>0 многочлены

ортонормированы с весом h(pt+q).на отрезке [ А, В], к-рый переходит в отрезок [ а, b]в результате линейного преобразования x=pt+q. Поэтому при изучении асимптотич. свойств ортогональных многочленов сначала рассматривается случай стандартного отрезка [-1, 1], а затем полученные результаты распространяются на другие случаи.

Наиболее важный класс О. м., встречающихся при решении краевых задач математич. физики, составляют т. н. классические ортогональные многочлены: Лагерра многочлены, (для них , a>-1, интервал ортогональности (0,оо)); Эрмита многочлены (для них h(x)=ехр(- х ²), интервал ортогональности ); Якоби многочлены (для них h(x)=(1-x)^a(1+x)^b, a>-1, b>-1, отрезок ортогональности [-1, 1]) и их частные случаи: улыпрасферические многочлены,, или многочлены Гегенбауэра [ Р _п( х,a)} (для них a=b), Лежандра многочлены {P _п (х)}(для них a=b=0), Чебышева многочлены первого рода ( Т _п (х)}(для них a=b=-¹/₂) и второго рода (U_n(x)}(для них a=b=¹/₂).

Весовая функция h(x).классических О. м. ( К _п (х)}удовлетворяет дифференциальному уравнению Пирсона

причем на концах интервала ортогональности выполняются условия

Многочлен у=К _n (х).удовлетворяет дифференциальному уравнению

Для классич. О. м. имеют место обобщенная формула Родрига

где с _п - нормировочный коэффициент, и формулы дифференцирования

Для частных случаев классических О. м. имеют место представления через гипергеометрич. функцию

и через вырожденную гипергеометрич. функцию

Исторически первым примером О. м. были многочлены Лежандра. Затем были введены многочлены Чебышева, общие многочлены Якоби, многочлены Эрмита и Лагерра. Все эти классич. О. м. играют важную роль во многих прикладных вопросах.

Общая теория О. м. была построена П. Л. Чебышевым. При этом в качестве основного аппарата исследования применялось разложение интеграла

в цепную дробь; знаменатели подходящих дробей этой цепной дроби образуют систему О. м. на интервале (а, b).с весом h(t).

При изучении О. м. большое внимание уделяется их аснмптотич. свойствам, ибо от атих свойств зависят условия сходимости рядов Фурье по О. м.

Асимптотич. свойства классических О. м. впервые исследовал В. А. Стеклов в 1907 (см. [8], с. 218). При атом он применил и усовершенствовал метод Лиувилля, к-рый ранее использовался для изучения решений уравнения Штурма - Лиувилля. В дальнейшем метод Лиувилля - Стеклова применялся во многих работах, в результате чего к настоящему времени (1983) подробно изучены асимптотич. свойства О. м. Якоби, Эрмита, Лагерра.

В общем случае ортогональности на отрезке [-1, 1] с произвольным весом, удовлетворяющим нек-рым качественным условиям, асимптотич. формулы для О. м. впервые получил Г. Ceгё (G. Szego) в 1920-24. При этом он ввел многочлены, ортогональные на окружности, изучил их основные свойства и нашел весьма важную формулу, представляющую многочлены, ортогональные на отрезке [-1, 1], через многочлены, ортогональные да окружности. А для исследования асимптотич. свойств многочленов, ортогональных на окружности, Г. Сегё разработал метод, основанный на специальном обобщении теоремы Фейера о представлении неотрицательных тригонометрич. полиномов с использованием методов и результатов теории аналитич. ций.

В 1930 С. Н. Бернштейн [2] для исследования асимптотич. свойств О. м. применил методы и результаты теории приближения функций. Он рассмотрел случай весовой функции вида

где функция h₀(x), наз. тригонометрическим весом, удовлетворяет условию

Если функция h₀(x) на всем отрезке [-1, 1] удовлетворяет условию Дини - Липшица порядка , где , то есть

то для многочленов , ортонормированных с весом (1) на всем отрезке [-1, 1], имеет место асимптотич. формула

где , а qзависит от

При исследовании сходимости рядов Фурье по О. м. возникает вопрос об условиях ограниченности О. м. либо в отдельной точке, либо на нек-ром множестве , либо на всем отрезке ортогональности [-1, 1], т. е. рассматриваются условия, при к-рых имеет место неравенство типа

Впервые такой вопрос поставил В. А. Стеклов (1921). Если тригонометрич. вес h₀(x).на множестве Аограничен от нуля, т. е.

и удовлетворяет нек-рым дополнительным условиям, то неравенство (2) имеет место. А в общем случае из неравенства (3) при А=[-1, 1] без дополнительных условий следует оценка

Нули весовой функции являются особыми точками в том смысле, что свойства последовательности существенно различны в нулях и в других точках интервала ортогональности. Пусть, напр., весовая функция имеет вид

Тогда если функция h₁(x).положительна и удовлетворяет условию Липшица на [-1, 1], то последовательность ограничена на всяком отрезке [a, b][-1, 1], не содержащем точек , а в нулях выполняются неравенства

Случай, когда нули весовой функции расположены на концах отрезка ортогональности, рассмотрел С. Н. Бернштейн [2]. Один из его результатов заключается в том, что если весовая функция имеет вид

где функция h₁(x).положительна и удовлетворяет условию Липшица, то при О. м. допускают весовую оценку

а в точках возрастают со скоростью и соответственно. В теории О. м. часто рассматриваются т. н. теоремы сравнения. Так, напр., теорема сравнения Корауса: если многочлены , ортогональные с весом р(х).на отрезке [a, b]равномерно ограничены на нек-ром множестве , то на этом множестве ограничены также и многочлены , ортогональные свесом h(x)=p(x)q(x), где множитель q(x).положителен и удовлетворяет на отрезке [ а, b] условию Липшица порядка . Аналогично, при нек-рых условиях на множитель q(x) с системы на систему } переносятся асимптотич. формулы или другие асимптотич. свойства. Более того, если множитель q(x) есть неотрицательный на отрезке [ а, b] многочлен степени т, то многочлены

представляются через многочлены с помощью определителей порядка m+1 (см. [8] с. 42). Эффективные формулы для О. м. получены также в случае весовых функций вида

где Q_m(x).- произвольный положительный на отрезке [-1, 1] многочлен (см. [8] с. 44). А в большинстве случаев вычисление О. м. произвольного веса при больших номерах пзатруднительно.

Лит.:[1] Чебышев Н. Л., Полн. собр. соч., т. 2, М.-Л., 1947, с. 103-26, 314-34, 335-41, 357-74; [2] Бернштейн С. Н., Собр. соч., т. 2, М., 1954, с. 7-106; [3] Геронимус Я. Л., Теория ортогональных многочленов, М.-Д., 1950; [4] Суетин Н. К., Классические ортогональные многочлены, 2 изд., М., 1979; [5] Никифоров А. Ф., Уваров В. В., Специальные функции математической физики, М., 1978; [6] Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции, т. 2 - Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены, пер. с англ., 2 изд., М., 1974; [7] Джексон Д., Ряды Фурье и ортогональные полиномы, пер. с англ., М., 1948; 18] Сеге Г., Ортогональные многочлены, пер. с англ., М., 1962; [9] Справочник по специальным функциям.... пер. <с англ., М., 1979; [10] Shоhat J. А., Нi1le Е., Walsh J. L., A bibliography on orthogonal polynomials, Wash., 1940. П. К. Суетин

в комплексной области - общее название многочленов, ортогональных на окружности, по контуру или по площади. В отличие от случая ортогональности в действительной области, многочлены указанных трех систем могут иметь мнимые коэффициенты и рассматриваются при всех комплексных значениях независимого переменного. Характерном особенностью случаев ортогональности в комплексной области является тот факт, что в ряды Фурье по указанным системам разлагаются обычно аналитич. ции комплексного переменного, удовлетворяющие нек-рым дополнительным условиям в окрестности границы области аналитичности.

1) О. м. на окружноcти - система многочленов , имеющих положительный старший коэффициент и удовлетворяющих условию ортогональности (обычно ортонормированности):

где - ограниченная неубывающая на сегменте функция с бесконечным числом точек роста, наз. функцией распределения, а - символ Кронекера. Аналогично случаю ортогональности на отрезке, для многочленов имеют место рекуррентное соотношение и аналог формулы Кристоффеля - Дарбу.

Асимптотич. свойства исследуются при условии

Случай ортогональности на окружности как периодич. случай изучен достаточно подробно, поскольку здесь успешно применяются результаты о приближении периодических функций тригонометрическими полиномами.

Пусть многочлены ортонормированы на сегменте [-1, 1] с дифференциальным весом h(x),a весовая функция на окружности имеет вид

Тогда при условии имеет место формула Сегё

где - старший коэффициент многочлена .

Если аналитическая в круге|z|<l функция f(z) имеет угловые граничные значения на окружности|z|=l, то при нек-рых дополнительных предположениях справедливо разложение

коэффициенты к-рого определяются по формуле

Ряды вида (1) являются непосредственным обобщением рядов Тейлора: при будет . При нек-рых условиях на функцию распределения ряд (1) в точках окружности|z|=1 сходится или расходится одновременно с рядом Тейлора этой же функции f(z), т. е. имеет место теорема о равносходимости этих двух рядов.

2) О. м. по контуру - система многочленов {P_n(z)}, имеющих положительный старший коэффициент и удовлетворяющих условию

где Г - спрямляемая жорданова (обычно замкнутая) кривая в комплексной плоскости, а весовая функция h(z).интегрируема но Лебегу и почти всюду положительна на Г.

Пусть в конечной односвязной области С, ограниченной кривой Г, задана аналитич. ция f(z), граничные значения к-рой на контуре Г интегрируемы в квадрате с весом h(z). Тогда с помощью формулы для коэффициентов

этой функции ставится в соответствие ряд Фурье по ортогональным многочленам:

Эти ряды являются естественным обобщением рядов Тейлора но свойству ортогональности на случай одно-связной области и служат для представления аналитич. ций. Если выполняется условие полноты

где нижняя грань берется по множеству всех многочленов Q_n(z), то ряд (2) сходится к функции f(z) в среднем но контуру Г с весом h(z), а при нек-рых дополнительных условиях и равномерно внутри области G.

3) О. м. по площади - система многочленов , имеющих положительный старший коэффициент и удовлетворяющих условию

где весовая функция h(z).неотрицательна, интегрируема по площади конечной области Си неэквивалентна нулю. Если имеет место условие полноты

где нижняя грань берется по множеству всех многочленов Q_n(z),

то ряд Фурье по многочленам Функции f(z), аналитической в односвязноп области Gсходится к этой функции в среднем по площади области Gс весом h(z), а при нек-рых дополнительных условиях и равномерно внутри области G.

Лит.:[1] Szego G., "Math. Z.", 1920, Bd 6. S. 167-202; 1921, Bd 9, S. 167-90, 218-70; [2] Сar1eman Т., "Ark. for mat., astr. ochfys.", 1922-23, Bd 17, К9, S. 1-30; [3] Сеге Г., Ортогональные многочлены, пер. с англ., М., 1962; [4] Геронимус Я. Л., Многочлены, ортогональные на окружности и на отрезке, М., 1958; [5] Смирнов В. И., "Журнал Ленинградского физико-матем. об-ва", 1928, т. 2, в. 1, с. 155-79; [6] Коровкин П. П., "Матем. сб.", 1941, т. 3, № 3, с. 469- 485; [7] Суетин П. К., "Успехи матем. наук", 1966, т. 21, в. 2, с. 41-88; [8] его же, "Тр. Матем. ин-та АН СССР", 1971, т. 100, с. 1-96. П. К. Суетин.