«Коши - Адамара теорема»

теорема теории аналитических функций, позволяющая судить о сходимости степенного ряда

a₀+a₁(z—z₀)+...+a_n (z—z₀) ⁿ+...,

где a₀, a₁,..., a_n — фиксированные комплексные числа, a z — комплексное переменное. К.—А. т. гласит: если верхний Предел

то при ρ =∞ ряд абсолютно сходится во всей плоскости; при ρ =0 ряд сходится только в точке z = z₀ и расходится при z ≠ z_o; наконец, в случае, когда 0 <>ρ z—z₀| Коши (1821) и вновь доказана Ж. Адамаром (1888), указавшим на её важные приложения.

пусть задан степенной ряд

Если то ряд (1) сходится только в точке z=a; если то ряд (1) абсолютно сходится в круге радиуса

и расходится вне этого круга при если то ряд (1) абсолютно сходится при всех Содержание К. - А. т. выражается, таким образом, формулой Коши - Адамара (2), к-рую при этом следует понимать в расширенном смысле, включая равенства Иначе говоря, содержание К.- А. т. состоит в том, что внутренность множества точек (абсолютной) сходимости ряда (1) есть круг радиуса (2). В случае действительного степенного ряда (1) формула (2) определяет радиус интервала сходимости В основном К.- А. т. была высказана О. Коши (A. Cauchy) в его лекциях [1], опубликованных в 1821, полную ясность в формулировку и доказательство внес Ж. Адамар [2]. Для степенных рядов

но n комплексным переменным обобщением формулы Коши - Адамара является следующее соотношение:

к-рому удовлетворяют сопряженные радиусы сходимости r₁..., r_n ряда (3) (см. Круг сходимости). Записав соотношение (4) в виде получают уравнение, определяющее границу нек-рой логарифмически выпуклой кратно круговой области с центром а, к-рая и является внутренностью множества точек абсолютной сходимости ряда (3) при n>1.

Лит.:[1] К о ш и О. Л., Алгебраический анализ, пер. с франц., Лейпциг, 1864; [2] Н a d a m a r d J., "J. math, pures et appl." (4), 18Я2, t. 8, p. 101-86; [3]Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 1, М., 1967; [4] Ш а б а т Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., М., 1976.

Е. Д. Соломенцев.