«Проективное преобразование»

взаимно однозначное отображение проективной плоскости (См. Проективная плоскость) или проективного пространства (См. Проективное пространство) в себя, при котором точки, лежащие на прямой, переходят в точки, также лежащие на прямой (поэтому П. п. иногда называется коллинеацией). П. п. проективной прямой называется взаимно однозначное отображение её в себя, при котором сохраняется Гармоническое расположение точек этой прямой. Простейшим и вместе с тем наиболее важным для приложений примером П. п. является Гомология— П. п., оставляющее на месте прямую и точку вне её. Примером П. п. пространства является перспектива, т. е. проектирование фигуры F, лежащей в плоскости П, из точки S в фигуру F', расположенную в плоскости П', любое П. п. получается конечной последовательностью перспектив. П. п. образуют группу (См. Группа), основным инвариантом которой является Двойное отношение четырёх точек прямой. Теории инвариантов групп П. п., оставляющих на месте некоторую фигуру, представляют собой метрические геометрии (см. Проективная метрика).

Основная теорема о П. п. проективной плоскости состоит в том, что каковы бы ни были четыре точки А,В, С, D плоскости П, из которых никакие три не лежат на одной прямой, и четыре точки A',B', C',D'той же плоскости, из которых никакие три также не лежат на одной прямой, существует и притом только одно П. п., которое точки А,В,С,D переводит соответственно в точки A',B',C',D'.Эта теорема применяется в номографии и аэрофотосъёмке. Аналогичная теорема имеет место и в проективном пространстве: там П. п. определяется пятью точками, из которых никакие четыре не лежат в одной плоскости. Эта теорема эквивалентна аксиоме Паппа.

В однородных координатах П. п. выражается однородным линейным преобразованием (См. Линейное преобразование), определитель матрицы которого не равен нулю. Рассматриваются также П. п. евклидовой плоскости или пространства; в декартовых координатах они выражаются дробно-линейными функциями (См. Дробно-линейная функция), причём свойство взаимной однозначности утрачивается.

Лит.см. при ст. Проективная геометрия.

мат. collineatory transformation, projective transformation

взаимно однозначное отображение F.проективного пространства ПД на себя, сохраняющее отношение порядка частично упорядоченного (по включению) множества всех подпространств П _n, т. е. отображение П _n в себя такое, что

1) если , то ;

2) для каждого S _р существует S_p такое, что F(S_p)._p;

3) S_p=S_q тогда и только тогда, когда F(S_p)= F(S_q).

При П. п. сохраняются сумма и пересечение подпространств, точки отображаются в точки, независимость точек сохраняется. П. п. образуют группу, наз . проективной группой. Примеры II. п.: коллинеация, перспектива, гомология.

Пусть пространство П _n интерпретируется как совокупность подпространств Р _n (К).левого векторного пространства А _п+1 (К).над телом К;полулинейным преобразованием А _п+1 в себя наз. пара , состоящая из автоморфизма аддитивной группы A_n+1 и автоморфизма j тела Ктакого, что для любых и имеет место: ; в частности, полулинейное преобразование является линейным, если . Полулинейное преобразование индуцирует П. п. F. Обратное утверждение - первая основная теорема проективной геометрии: если , то каждое П. п. Fиндуцируется нек-рым полулинейным преобразованием пространства А _n+1 (К).

Лит.:[1] Бэр Р., Линейная алгебра и проективная геометрия, пер. с англ., М., 1955; [2] Ходж В., Пидо Д., Методы алгебраической геометрии, пер. с англ., т. 1, М., 1954.

М. Я. Войцеховский.

матем. trasformazione proiettiva

проекти́вне перетво́рення

проекти́вне перетво́рення