«Трёх тел задача»

в астрономии, задача о движении трёх тел, взаимно притягивающихся по Ньютона закону тяготения (См. Ньютона закон тяготения) и рассматриваемых как материальные точки (см. Двух тел задача).Классический пример Т. т. з. — система Солнце, Земля, Луна. В 1912 финский астроном К. Ф. Сундман нашёл общее решение Т. т. з. в виде рядов, сходящихся для любого момента времени t. Однако ряды Сундмана оказались совершенно бесполезными для практических вычислений вследствие их крайне медленной сходимости. При некоторых специальных начальных условиях можно получить очень простые решения Т. т. з. (решения Лагранжа), представляющие большой интерес для астрономии (см. Либрации точки). Частным случаем Т. т. з. является так называемая ограниченная Т. т. з., в которой два тела конечной массы движутся вокруг центра инерции по эллиптическим орбитам, а третье тело имеет бесконечно малую массу. Для ограниченной задачи удалось исследовать разнообразные классы периодических движений. Для общего случая Т. т. з. подробно изучены предельные свойства движения при t→ +∞ и t→ —∞, то есть так называемые финальные движения. Лит. см. при ст. Небесная механика.

Г. А. Чеботарев.

ТРЕХ ТЕЛ ЗАДАЧА в астрономии - частная задача небесной механики, состоящая в определении относительного движения трех тел (материальных точек), взаимодействующих по закону тяготения Ньютона (напр., Солнца, Земли и Луны).

ТРЁХ ТЕЛ ЗАДАЧА

одна из частных задач небесной механики о движении трёх тел, взаимно притягивающихся по закону тяготения Ньютона. Если притягивающиеся тела рассматривать как материальные точки (что выполняется, напр., в первом приближении для Солнца, Земли и Луны или для Солнца, Юпитера и к.-л. из астероидов-троянцев), то для ряда случаев могут быть получены простые решения. Так, в движении астероидов-троянцев реализуются т. н. треугольные решения Лагранжа для случая движения тела малой массы (астероида) в поле тяготения двух тел большой массы (Солнца и Юпитера). Астероид-троянец, находясь в т. н. точке либрации, движется по такой орбите, что Солнце, Юпитер и он сам находятся в трёх вершинах равностороннего треугольника. В общем случае устойчивые траектории трёх гравитационно взаимодействующих тел могут быть очень сложными. Существует общее аналитич. решение задачи трёх тел в виде рядов, сходящихся для любого момента времени. Однако из-за медленной сходимости этих рядов вместо аналитич. метода пользуются численными методами решения Т. т. з. на ЭВМ.

трёх тел зада́ча

в астрономии, частная задача небесной механики, состоящая в определении относительного движения трёх тел (материальных точек), взаимодействующих по закону тяготения Ньютона (например, Солнца, Земли и Луны).

* * *

ТРЕХ ТЕЛ ЗАДА́ЧА в астрономии, частная задача небесной механики, состоящая в определении относительного движения трех тел (материальных точек), взаимодействующих по закону тяготения Ньютона (напр., Солнца, Земли и Луны).

- задача о движении трех тел, рассматриваемых как материальные точки, взаимно притягивающихся по закону тяготения Ньютона. Классич. пример Т. т. з.- задача о движении системы Солнце - Земля - Луна. Т. т. а. состоит в нахождении общего решения системы дифференциальных уравнений вида

где x_i, y_i, z_i - прямоугольные координаты тела M_i в нек-рой абсолютной системе координат с неизменными направлениями осей, t - время, m_i - масса тела М _i,a U - силовая функция, зависящая только от взаимных расстояний между телами. Функция Uопределяется соотношением

где взаимные расстояния i, j=1, 2, 3, даются формулой

Из свойств силовой функции выводятся десять первых интегралов уравнений движения в абсолютной системе координат. Шесть из них, называемые интегралами движения центра масс, определяют равномерное и прямолинейное движение центра масс трех тел. Три интеграла моментов количества движения задают неизменную величину и направление вектора момента количества движения системы трех тел. Интеграл энергии определяет постоянную величину полной энергии системы. Г. Брунс (Н. Bruns, 1887) доказал, что уравнения движения Т. т. з. не имеют никаких других первых интегралов, выражающихся с помощью алгебраич. функций от координат и их производных. А. Пуанкаре (Н. Poincare, 1889) доказал, что уравнения движения Т. т. з. не имеют также трансцендентных интегралов, выражающихся через однозначные аналитич. ции. К. Сундман (С. Sundman, 1912) нашел общее решение задачи в виде степенных рядов относительно нек-рой регуляризирующей переменной, сходящихся для любого момента. Однако ряды Сундмана оказались совершенно бесполезными как для качественных исследований, так и для практических вычислений вследствие их крайне медленной сходимости.

Уравнения Т. т. з. допускают пять частных решении, в к-рых все три материальные точки находятся в некоторой неизменной плоскости. При этом конфигурация трех тел остается неизменной, и они описывают кеплеровские траектории с общим фокусом в центре масс системы. Два частных решения соответствуют случаю, когда три тела все время образуют равносторонний треугольник. Это - т. н. треугольные решения Т. т. з., или р ешения Лагранжа. Три частных решения, соответствующие расположению всех трех тел на одной прямой, наз. прямолинейными частными решениями Т. т. з., или решениями Эйлера.

Для общего случая Т. т. з. подробно изучены финалъные движения, т. е. предельные свойства движения при и

Частным случаем Т. т. з. является т. <н. ограниченная Т. т. з., к-рая получается из общей Т. т. з. в том случае, когда масса одного из трех тел столь мала, что ее влиянием на движение остальных двух тел можно пренебречь. В этой задаче тела М ₁ и М ₂ с конечными массами т ₁ и m₂ движутся под действием сил взаимного притяжения по кеплеровским орбитам. В правой прямоугольной системе координат с началом Gвцентре масс тел М ₁ и М ₂, с осью направленной по линии, соединяющей тела М ₁ и М ₂, и осью перпендикулярной плоскости их движения, движение третьего тела М ₃ с малой массой описывается следующими дифференциальными уравнениями:

где

v - истинная аномалия кеплеровского движения тел М ₁ и М ₂, а r₁ и r₂- расстояния от тела М ₃ до тел М ₁ и М ₂ соответственно. В случае круговой ограниченной Т. т. з. и уравнения движения тела М ₃ имеют первый интеграл, наз. интегралом Якоби, вида

где С - произвольная постоянная. Поверхность, определяемая уравнением

наз. поверхностью нулевой скорости и замечательна тем, что определяет области возможных движений тела М ₃ относительно тел М ₁ и М ₂. Ограниченная Т. т. з. имеет частные решения, аналогичные частным решениям общей Т. т. з. Положения тела с малой массой при этих частных решениях наз. точками либрации.

Для ограниченной задачи удалось исследовать разнообразные классы периодич. движений.

Лит.:[1] Дубошин Г. Н., Небесная механика. Аналитические и качественные методы, 2 изд., М., 1978; [2] Субботин М. Ф., Введение в теоретическую астрономию, М., 1968.

Е. П. Аксенов.

в астрономии, частная задача небесной механики, состоящая в определении относит. движения трёх тел (материальных точек), взаимодействующих по закону тяготения Ньютона (напр., Солнца, Земли и Луны).