«Непрерывная функция»

Функция, получающая бесконечно малые приращения при бесконечно малых приращениях аргумента. Однозначная функция f(x) называется непрерывной при значении аргумента x₀, если для всех значений аргумента х, отличающихся достаточно мало от x₀, значения функции f(x) отличаются сколь угодно мало от её значения f(x₀). Точнее, функция f(х) называется непрерывной при значении аргумента x₀ (или, как говорят, в точке x₀), если каково бы ни было ε > 0, можно указать такое δ > 0, что при |х — х₀| f(x)— f(x₀)| f(x) непрерывна в точке x₀, если при х,стремящемся к x₀, значение функции f(x) стремится к пределу f(x₀). Если все условия, указанные в определении Н. ф., выполняются только при х ≥ х₀или только при х≤х₀, то функция называется, соответственно, непрерывной справа или слева в точке x₀. Функция f(x) называется непрерывной н а отрезке [а, b], если она непрерывна в каждой точке х при а <>х <>b и, кроме того, в точке а непрерывна справа, а в точке b — слева.

Понятию Н. ф. противопоставляется понятие разрывной функции (См. Разрывные функции). Одна и та же функция может быть непрерывной для одних и разрывной для других значений аргумента. Так, дробная часть числа х [её принято обозначать через (х)], например

является функцией разрывной при любом целом значении и непрерывной при всех других значениях (рис. 1), причём в целочисленных точках она непрерывна справа.

Простейшими функциями переменного х, непрерывными при всяком значении x, являются многочлены, синус (у=sin x), косинус (у= cos x), показательная функция (у = a^x, где а — положительное число). Сумма, разность и произведение Н. ф. снова дают Н. ф. Частное двух Н. ф. также есть Н. ф., за исключением тех значений х, для которых знаменатель обращается в нуль (так как в таких точках рассматриваемое частное не определено). Например,

есть Н. ф. для всех значений х, кроме нечётных кратных π/2, при которых cosхобращается в нуль.

Н. ф. обладают многими важными свойствами, которыми и объясняется огромное значение этих функций в математике и её приложениях. Одно из важнейших свойств выражается следующей теоремой: для всякой функции, непрерывной на отрезке [а, b] можно найти многочлен, значения которого отличаются на этом отрезке от значений функции менее чем на произвольно малое, наперёд заданное число (теорема о приближении Н. ф. многочленами). Справедлива также и обратная теорема: всякая функция, которую на некотором отрезке можно с произвольной степенью точности заменить многочленом, непрерывна на этом отрезке.

Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на нём и достигает на этом отрезке наибольшего и наименьшего значения (см. Наибольшее и наименьшее значения функций (См. Наибольшее и наименьшее значения функции)). Кроме того, она принимает на этом отрезке все значения, лежащие между её наименьшим и наибольшим значениями. Функции, непрерывные на отрезке, обладают свойством равномерной непрерывности (См. Равномерная непрерывность). Всякая функция, непрерывная на некотором отрезке, интегрируема на нём, т. е. является производной другой Н. ф. Однако не всякая Н. ф. сама имеет производную. Геометрически это означает, что график Н. ф. не обязательно обладает в каждой точке определённым направлением (касательной); это может произойти, например, потому, что график имеет угловую точку (рис.2, функция у = |x|), или потому, что он совершает в любой близости точки О бесконечно много колебаний между двумя пересекающимися прямыми (рис. 3, функция

при х≠ 0 и y = 0 при x = 0).

Существуют Н. ф., не имеющие производной ни в одной точке (первый пример такого рода был найден Б. Больцано).Представление о графике подобной функции даёт рис. 4, где изображены первые этапы построения, состоящего в неограниченно продолжающейся замене средней трети каждого прямолинейного отрезка двузвенными ломаными; соотношения длин подбираются так, чтобы в пределе получить Н. ф.

Функция F (x, у, z,...) нескольких переменных, определённая в некоторой окрестности точки (x₀, y₀, z₀,...), называется непрерывной в этой точке, если для любого ε > 0 можно указать такое δ > О, что при одновременном выполнении неравенств: |x — x₀| у — у₀|z — z₀|

IF(x, у, z,...) — F(x₀, y₀, z₀,...)| <>

Такая функция будет непрерывной по отношению к каждому аргументу в отдельности (если остальным аргументам приданы определённые числовые значения). Обратное, однако, неверно: функция F(x:, у, z,...), непрерывная по каждому аргументу в отдельности, может и не быть Н. ф. этих аргументов. Простейший пример этого даёт функция F (x, у), равная xy/(x² + y²), если x² +y²≠ 0, и равная 0 при x = у = 0. Она непрерывна по xпри любом фиксированном значении y по y — при любом фиксированном значении х. В частности, она непрерывна по x при у= 0 и по y при x = 0. Если же положить, например, у=х≠ 0, то значение функции будет оставаться равным x²/(x² + y²)= ¹/₂, т. е. нельзя будет указать такого числа δ > 0, чтобы при одновременном выполнении неравенств |х|у| ху/(х² + y²)|

Лит.: Хинчин А. Я., Краткий курс математического анализа, М., 1953; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 1, М., 1970.

Рис. 1 к ст. Непрерывная функция.

Рис. 2 к ст. Непрерывная функция.

Рис. 3 к ст. Непрерывная функция.

Рис. 4 к ст. Непрерывная функция.

НЕПРЕРЫВНАЯ функция - функция, обладающая тем свойством, что ее значения сколь угодно мало изменяются с изменением аргумента, если только сами изменения аргумента достаточно малы. функции, встречающиеся в различных разделах математики и ее приложений к естествознанию и технике, обычно являются непрерывными функциями, за исключением, возможно, отдельных значений аргумента, при которых функции "терпят разрыв".

analog function, continuous function

continuous function

непреры́вная фу́нкция

функция, обладающая тем свойством, что её значения сколь угодно мало изменяются с изменением аргумента, если только сами изменения аргумента достаточно малы. Функции, встречающиеся в различных разделах математики и её приложений к естествознанию и технике, обычно являются непрерывными функциями, за исключением, возможно, отдельных значений аргумента, при которых функции «терпят разрыв».

* * *

НЕПРЕРЫ́ВНАЯ ФУ́НКЦИЯ, функция, обладающая тем свойством, что ее значения сколь угодно мало изменяются с изменением аргумента, если только сами изменения аргумента достаточно малы. Функции, встречающиеся в различных разделах математики и ее приложений к естествознанию и технике, обычно являются непрерывными функциями, за исключением, возможно, отдельных значений аргумента, при которых функции «терпят разрыв».

- одно из основных понятий математического анализа.

Пусть действительная функция f определена на нек-ром подмножестве Едействительных чисел , т. е. . Функция f наз. непрерывной в точке (или, подробнее, непрерывной в точке по множеству Е), если для любого числа существует такое число , что для всех точек , удовлетворяющих условию выполняется неравенство

Если обозначить

и

соответственно и -окрестности точек и , то данное определение можно перефразировать следующим образом: функция f наз. непрерывной в точке если для любой -окрестности точки существует такая -окрестность точки , что

Используя понятие предела, можно сказать, что функция /непрерывна в точке х ₀ , если в этой точке существует ее предел по множеству Еи этот предел равен :

Это равносильно тому, что

где т. е. бесконечно малому приращению аргумента в точке х ₀ соответствует бесконечно малое приращение функции.

В терминах предела последовательности определение Н. ф. в точке : функция fнепрерывна в точке , если для любой последовательности точек

имеет место

Все приведенные определения Н. ф. в точке эквивалентны между собой.

Если функция f непрерывна в точке по множеству (соответственно по множеству ), то функция наз. непрерывной справа (слева) в точке

Все основные элементарные функции являются непрерывными во всех точках их областей определения. Важным свойством Н. ф. является замкнутость класса непрерывных функций относительно арифметич. операций и операции композиции функций. Более точно, если действительные функции , непрерывны в точке , то их сумма и произведение , а при и частное (заведомо определенное в пересечении нек-рой окрестности точки х ₀ с множеством Е)непрерывны в точке х ₀. Если, как и выше, функция непрерывна в точке а функция такова, что и, следовательно, имеет смысл композиция , причем существует такое и функция непрерывна в точке t₀, то композиция также непрерывна в точке t₀. Таким образом, в этом случае

т. е. в этом смысле операция предельного перехода перестановочна с операцией взятия Н. ф. Из перечисленных свойств Н. ф. следует, что не только основные, но и любые элементарные функции непрерывны в области их определения. Сохраняется свойстве непрерывности и при равномерном предельном переходе: если последовательность функций равномерно сходится на множестве Еи каждая функция непрерывна в точке то и предельная функция непрерывна в этой точке.

Если функция непрерывна в каждой точке множества Е, то она наз. непрерывной на множестве Е. Если и функция f непрерывна в точке х ₀, то сужение функции f на множестве Е' также непрерывно при . (Обратное, вообще говоря, неверно. Напр., сужение Дирихле функции как на множестве рациональных, так и иррациональных точек непрерывно, а сама функция Дирихле разрывна во всех точках.

Важный класс действительных Н. ф. одного переменного образуют функции, непрерывные на отрезках. Они обладают следующими свойствами.

Первая теорема Вейерштрасса: функция, непрерывная на отрезке, ограничена на нем.

Вторая теорема Вейерштрасса: функция, непрерывная на отрезке, принимает на нем наибольшее и наименьшее значения.

Теорема Коши о промежуточных значениях: функция, непрерывная на отрезке, принимает на нем любое значение, заключенное между значениями, к-рые она принимает на концах отрезка.

Теорема об обратной функции: если функция непрерывна и строго монотонна на отрезке, то у нее существует однозначная обратная функция, к-рая также определена на нек-ром отрезке, строго монотонна и непрерывна на нем.

Теорема Кантора о равномерной непрерывности: функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем.

Всякая функция, непрерывная на отрезке, может быть равномерно сколь угодно точно приближена алгебраич. многочленом, а всякая функция f, непрерывная на отрезке и такая, что может быть равномерно сколь угодно точно приближена тригонометрич. полиномами (см. Вейерштрасса теорема о приближении функций).

Понятие Н. ф. обобщается на более общие виды функций, прежде всего на функции многих переменных. Сформулированное выше определение Н. ф. формально сохраняется, если под Епонимать подмножество и-мерного евклидова пространства , под - расстояние в этом пространстве между точками и , под - -окрестность в точки а под

понимать предел последовательности точек в пространстве . Функция , многих переменных непрерывная в точке наз. также непрерывной в этой точке по совокупности переменных в отличие от функций многих переменных, непрерывных по отдельным переменным. Функция наз. непрерывной в точке х ₀, напр., п о переменной х ₁ , если в точке непрерывно сужение функции f на множестве

т. е. в точке непрерывна функция одного переменного . Функция , может быть непрерывной в точке хпо каждому переменному но может не быть непрерывной в этой точке по совокупности переменных. Определение Н. ф. непосредственно переносится на комплекснозначные функции. Следует лишь в данном выше определении под понимать абсолютную величину комплексного числа , а под

- предел в комплексной плоскости.

Все эти определения являются частным случаем более общего понятия Н. ф. f, областью определения которой является некоторое топологическое пространство Xи значения которой принадлежат некоторому топологическому пространству Y (см. Непрерывное отображение).

На непрерывные отображения топологич. пространств переносятся многие свойства действительных Н. ф. одного переменного. Обобщение упомянутых выше теорем Вейерштрасса: непрерывный образ бикомпактного топологич. пространства в хаусдорфовом топологич. пространстве является бикомпактом. Обобщение теоремы Коши о промежуточных значениях непрерывной на отрезке функции: непрерывный образ в топологич. пространстве связного топологич. пространства также связен. Обобщение теоремы о функции, обратной к непрерывной строго монотонной функции: взаимно однозначное непрерывное отображение бикомпакта на топологич. хаусдорфово пространство есть гомеоморфизм. Обобщение теоремы о пределе равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций: если -равномерно сходящаяся последовательность непрерывных в точке отображений топологич. пространства Xв метрич. пространство Y, то предельное отображение также непрерывно в точке x₀.

Обобщением теоремы Вейерштрасса о приближении функций непрерывных на отрезке многочленами является Вейерштрасса- Стоуна теорема.

Лит.:[1] Александров П. С, Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977; [2] Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981; [3] Никольский С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т. 1-2, М., 1975; [4] Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971. Л. Д. Кудрявцев,

continuous function

funzione continua

непере́рвна фу́нкція

непере́рвна фу́нкція

функция, обладающая тем свойством, что её значения сколь угодно мало изменяются с изменением аргумента, если только сами изменения аргумента достаточно малы. Функции, встречающиеся в разл. разделах математики и её приложений к естествознанию и технике, обычно являются Н.ф., за исключением, возможно, отд. значений аргумента, при к-рых функции "терпят разрыв".