«Обратная функция»

Функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Так, если у = f(x) — данная функция, то переменная х, рассматриваемая как функция переменной у, х = φ (y), является обратной по отношению к данной функции у = f (x). Например, О. ф. для у = ax + b (а≠0) является х = (у—b)/a, О. ф. для у = е^х является х = ln уи т.д. Если х = φ(y) есть О. ф. по отношению к у = f (x), то и у = f (x)есть О. ф. по отношению к х = φ(y). Областью определения О. ф. является область значений данной функции, а областью значений О. ф.— область определения данной. Графики двух взаимно обратных функций у = f (x) и у =φ(x)(где независимое переменное обозначено одной и той же буквой х), как, например, у = ax + b и у = (х—b)/a, у = е^х и у = ln х, симметричны по отношению к биссектрисе у = х первого и третьего координатных углов. Функция, обратная по отношению к однозначной функии, может быть многозначной (ср., например, функции х² и у = f (x) принимала различные значения для различных значений аргумента. Для непрерывной функции последнее условие может выполняться только в том случае, если данная функция монотонна (имеются в виду функции действительного аргумента, принимающие действительные значения). О. ф. по отношению к непрерывной и монотонной функции однозначна, непрерывна и монотонна.

Если данная функция кусочно монотонна, то, разбивая область её определения на участки её монотонности, получают однозначные ветви О. ф. Так, одним из участков монотонности для sin хслужит интервал — π/2<>x н. главная ветвь arc sin хобратной функции Arc sin х. Для пары однозначных взаимно обратных функций имеют место соотношения φ[f (x)]=xи f [φ(x)] = х, первое из которых справедливо для всех значений х из области определения функции f (x), а второе — для всех значений х из области определения функции φ(x); например, e^lnx = х (х > 0), 1n (e^x) = х (— ∞ f (x) =у, обозначают f^{- -1}(y) = х, так что для непрерывной и монотонной функции f (x):

F ^-1[f (x)]=f [f ^-1) x)]=x.

Вообще же f ^--1[f (x)] представляет собой многозначную функцию от х, одним из значений которой является х; так, для f (x) = x², х (≠ 0) является лишь одним из двух значений f ^--1[f (x)] = √x² (другое: —х); для f (x) = sin х, х является лишь одним из бесконечного множества значений

f^{- -1}[f (x)] = Arc sin [sin x] = (—1) ⁿx + nπ,

n= 0, ± 1, ± 2,....

Если у = f (x) непрерывна и монотонна в окрестности точки х = x₀ и дифференцируема при х = x₀, причём f'(x₀) ≠ 0, то f ^--1(y) дифференцируема при у = у₀ и

(формула дифференцирования О. ф.). Так, для —π/2 <>х π/2, у = f (x) = sin хнепрерывна и монотонна, f’(x) = cos х≠ 0 и f^{- -1}(y)= arc sin у (—1

где имеется в виду положительное значение корня (так как cos х > 0 для —π/2 π/2).

ОБРАТНАЯ функция - функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Так, если y = f (x) - данная функция, то переменная х, рассматриваемая как функция переменной у: х = ?(y), является обратной по отношению к данной функции у = f (x). Напр., х= есть обратная функция по отношению к y = x3.

inverse function мат.

inverse function

обра́тная фу́нкция

функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Так, если у = f(x) — данная функция, то переменная х, рассматриваемая как функция переменной у : х = φ(у), является обратной по отношению к данной функции у = f(х). Например, у = х³.

* * *

ОБРА́ТНАЯ ФУ́НКЦИЯ, функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Так, если y = f (x) — данная функция, то переменная х, рассматриваемая как функция переменной у: х = j(y), является обратной по отношению к данной функции у = f (x). Напр., х= есть обратная функция по отношению к y = x³.

- функция, определенная на множестве значений заданной функции и ставящая в соответствие каждому его элементу множество всех тех элементов из области определения рассматриваемой функции, к-рые в него отображаются, т. е. его полный прообраз. Если данная функция обозначена символом f, то О. ф. обозначается символом . Таким образом, если и - множество значений функции f, ,то для любого справедливо равенство

Если для любого элемента его полный прообраз состоит в точности из одного элемента , т. е. отображение является биекцией, то О. ф. является однозначной, в противном случае - многозначной.

Если множества Xи Yявляются подмножествами числовой прямой (или вообще нек-рых упорядоченных множеств), то условие строгой монотонности функции f необходимо и достаточно для существования обратной однозначной функции.

По ряду свойств функции f можно судить о соответствующих свойствах О. ф. Так, напр., если функция f строго монотонна и непрерывна на нек-ром промежутке числовой оси, то ее О. ф. также монотонна и непрерывна на соответствующем промежутке. Если взаимно однозначное отображение бикомпакта на топологическое хаусдорфово пространство непрерывно, то и обратное отображение непрерывно, т. е. рассматриваемое отображение является гомеоморфизмом. Когда отображение f является биективным линейным ограниченным оператором, отображающим банахово пространство Xна банахово пространство Y, то обратный оператор также является линейным и ограниченным.

Пусть f - непрерывное отображение замыкания i ограниченной области с достаточно хорошей границей в , f - дифференцируемо в Gи отображает границу Gна границу f(G) и множество нулей его якобиана образует изолированное множество; тогда если отображение f взаимно однозначно на границе области G, то оно взаимно однозначно и на Для существования локального обратного отображения в окрестности данной точки достаточно необращения в нуль якобиана отображения в нек-рой окрестности этой точки. Если - дифференцируемое отображение с якобианом, неравным нулю во всех точках , то для любой точки существует такая ее окрестность , что сужение отображения f на окрестности Uвзаимно однозначно отображает множество Uна нек-рую окрестность точки и обратное отображениетакже дифференцируемо (на V). Эта теорема обобщается и на бесконечномерный случай: пусть Xи Y - полные нормированные пространства,- открытое множество, - непрерывно дифференцируемое отображение. Если - обратимый элемент пространства линейных ограниченных операторов производная Фреше),то существуют-такие окрестности соответственно точек х ₀ и в пространствах Xп. Y, что отображение является непрерывно дифференцируемым гомеоморфизмом вместе со своим обратным отображением. Лит.:[1] Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М.. 1981; [2] Шварц Л., Анализ, пер. С франц., т. 1, М., 1972.

Л. Д. Кудрявцев.

ф-ция, обращающая зависимость, выражаемую данной ф-цией. Если дана ф-ция у = f(x), то О. ф. будет х = Ф(у). Напр., для у = kx + b(k не равно 0) О. ф. будет х = (у - b)/k, a для- у = е^х - будет х = 1nу.

Графики обратных тригонометрических функций: 1 - арксинуса; 2 - арккосинуса; 3 - арктангенса; 4 - арккотангенса

inverse function

* * *

inverse function

funzione inversa

обе́рнена фу́нкція

обе́рнена фу́нкція

функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Так, если y = f(x) - данная функция, то переменная х, рассматриваемая как функция переменной у:х = ф(у), является обратной по отношению к данной функции y = f(x). Напр., х = ³корень из y есть О. ф. по отношению к у = х³.