Большая Советская энциклопедия
квантовое релятивистское (т. е. удовлетворяющее требованиям относительности теории (См. Относительности теория)) уравнение для частиц со спином нуль. Исторически К. — Г. у. было первым релятивистским уравнением квантовой механики (См. Квантовая механика) для волновой функции частицы ψ; оно было предложено в 1926 Э. Шрёдингером (как релятивистское обобщение Шрёдингера уравнения (См. Шрёдингера уравнение)) и независимо от него шведским физиком О. Клейном (О. Klein), советским физиком В. А. Фоком, немецким физиком В. Гордоном (W. Gordon) и др.
Для свободной частицы К. — Г. у. записывается в виде:
Ему соответствует релятивистское соотношение между энергией E и импульсом р частицы: (m — масса частицы, с — скорость света).
Решением уравнения является функция ψ (х, у, z, t), зависящая только от координат (х, у, z) и времени (t). Следовательно, частицы, описываемые этой функцией, не обладают никакими дополнительными внутренними степенями свободы, т. е. действительно являются бесспиновыми (к таким частицам относятся, например, π- и К-мезоны). Однако анализ уравнения показал, что его решение ψ принципиально отличается по своему физическому смыслу от обычной волновой функции как амплитуды вероятности обнаружить частицу в заданном месте пространства в заданный момент времени: ψ (х, у, z, t)неопределяется однозначно значением ψ в начальный момент времени (такая однозначная зависимость постулируется в квантовой механике), и, более того, выражение для вероятности данного состояния наряду с положительными значениями может принимать также и лишенные физического смысла отрицательные значения. Поэтому сначала от К. — Г. у. отказались. Однако в 1934 В. Паули и В. Вайскопф нашли правильную интерпретацию этого уравнения в рамках квантовой теории поля (они рассмотрели его как уравнение поля, аналогичное Максвелла уравнениямдля электромагнитного поля, и проквантовали его; при этом ψ стало оператором).
М. А. Либерман.
Физическая энциклопедия
- КЛЕЙНА - ГОРДОНА УРАВНЕНИЕ
(Клейна - Гордона - Фока уравнение) - простейшее релятивистски-инвариантное ур-ние, описывающее свободное скалярное (или псевдоскалярное) поле физическое. Впервые получено в 1926 Э. Шрёдингеро. <м (как релятивистское обобщение Шрёдингера уравнения )и независимо О. Клейном (О. Klein), В. А. Фоком и В. Гордоном (W. Gordon). В квантовой теории поля применяется для описания частиц со спином 0. В Минковского пространстве-времени К.-Г. у.- линейное однородное диффе-ренц. ур-ние 2-го порядка:
, где 
- Д'Аламбера оператор, т - масса частицы, 
- полевая ф-ция или её компоненты в пространстве внутренней симметрии (х=(х°, х) - точка пространства-времени; используется система единиц, в к-рой 
). Решение К.-Г. у. записывают в виде разложения по плоским волнам:
где р = ( р°, р) -4-импульс, px=p°xo-px, а + (р )и а - (р) - положительно- и отрицательно-частотные компоненты Фурье. При каноническом квантовании а + и а - интерпретируются как операторы рождения и уничтожения частицы с импульсом р и энергией р°. В их терминах гамильтониан свободного поля имеет вид.
. К.-Г. у. удовлетворяют компоненты любого свободного поля (спинорного, векторного и др.). При m=0 К.-Г. у. переходит в Д'Аламбера уравнение. В римановом пространстве с метрикой 
(напр., в присутствии гравитац. поля с такой метрикой) К.-Г. у. имеет вид 
где
- определитель матрицы 
=0, 1, 2, 3.Изучены К.-Г. у. с разл. видами нелинейности (напр., синус-Гордона уравнение).
Лит.: Боголюбов Н. Н., Ш и р к о в Д. В., Квантовые поля, М., 1980. В. П. Павлов.
Математическая энциклопедия
- релятивистски инвариантное квантовое уравнение, описывающее бесспиновые скалярные или псевдоскалярные частицы, напр, p-, К-мезоны. Уравнение установлено О. Клейном [1] и несколько позднее В. А. Фоком как волновое уравнение при условии цикличности по пятой координате и вскоре было выведено без привлечения пятой координаты многими авторами (напр., В. Гордоном [2]).
Последовательное применение К.-Г. у. как квантового релятивистского уравнения возможно лишь в квантовой теории поля, а не в квантовой механике. В [3] была дана интерпретация К.-Г. у. как уравнения для полей частиц спина нуль. К.-Г. у. применяется для описания p-мезоатомов и соответствующих полей; играет роль одного из фундаментальных уравнений квантовой теории поля.
К.-Г. у. - линейное однородное дифференциальное уравнение с частными производными 2-го порядка с постоянными коэффициентами:
где j(х, t)- (псевдо) скалярная функция, в общем случае комплексная, m=mc/h, m- масса покоя частиц. Если j - действительная функция, то К.-Г. у. описывает нейтральные (псевдо) скалярные частицы, а при комплексном j - заряженные. В последнем случае уравнение (1) дополняют уравнением для комплексно сопряженной функции j*:
Взаимодействие (псевдо) скалярных частиц с электромагнитным полем описывается минимальной подстановкой 
К.-Г. у. удовлетворяет также каждая компонента волновой функции частиц любого спина, по только для случая спина 0 функция является инвариантной относительно Лоренца-Пуанкаре группы.
К.-Г. у. может быть получено с помощью соотношения между энергией Еи импульсом рчастицы в специальной теории относительности
путем замены величин операторами (см. [4], [5]):
Как все релятивистские уравнения К.-Г. у. может быть представлено в форме Дирака уравнения, т. е. приведено к линейному уравнению первого порядка:
где коэффициенты Г a - матрицы, аналогичные Дирака матрицамga. В случае К.-Г. у. матрицы Г a удовлетворяют перестановочным соотношениям:
напр., Г a3=0 (матрицы Кеммера - Дуффина). Здесь hhu - метрический тензор пространства Минковского. Все Г a являются особенными матрицами (det Г a=0) и не имеют обратных матриц.
Наряду с тривиальным решением (4) Г a=0, y=0 и в виде пятирядных матриц, описывающим скалярное поле самой функцией j и четырьмя компонентами ее градионта, соотношение (4) имеет еще решение в виде матриц десятого ранга. Соответствующая десятикомпонентная функция содержит 4 компоненты потенциала А a. и 6 компонент напряженностит. е. уравнения (3), (4) могут одновременно 
давать представление для уравнения Прока, описывающего векторные частицы спина 1; при h=0 и действительной j дают представление уравнений Максвелла.
При учете взаимодействия (псевдо) скалярных частиц с гравитационным полем в соответствии с общей теорией относительности К.-Г. у. обобщается на произвольное риманово пространство в виде:
где gab - метрический тензор, g- определитель матрицы||gab||. Часто в уравнение (5) добавляют член Rj/6, где R- скалярная кривизна, благодаря чему при h=0 общерелятивистское К.-Г. у.
становится конформно инвариантным.
Лит.:[1] Klein О., "Z. Phys.", 1926, Bd 37, S. 895-906; [2] G or d on W., там же, 1926/1927, Bd 40, S. 117-33; [3]Pauli W., Weisskopf V., "Helv. phys. acta", 1934, Bd 7, S. 709-31; [4] Бoголюбов Н. Н., Ширков Д. В., Введение в теорию квантованных полей, 3 изд., М., 1976; [5] Швебер С, Введение в релятивистскую квантовую теорию поля, пер. с англ., М., 1963.
В. Г. Кречет.