«Двойственности принцип»

принцип, формулируемый в некоторых разделах математики и заключающийся в том, что каждому верному утверждению этого раздела отвечает двойственное утверждение, которое может быть получено из первого путём замены входящих в него понятий на другие, т. н. двойственные им понятия.

1) Д. п. формулируется в проективной геометрии на плоскости. При этом двойственными понятиями являются, например, «точка» и «прямая», «точка лежит на прямой» и «прямая проходит через точку». Каждой аксиоме в проективной геометрии на плоскости формулируется двойственное предложение, которое может быть доказано с помощью этих же аксиом (этим обосновывается Д. п. в проективной геометрии на плоскости). Двойственными утверждениями в проективной геометрии на плоскости являются известные теоремы Паскаля и Брианшона. Первая из этих теорем утверждает, что во всяком шестивершиннике, вписанном в линию 2-го порядка, точки пересечения противоположных сторон лежат на одной прямой (рис. 1). Вторая теорема утверждает, что во всяком шестистороннике, описанном около линии 2-го порядка, прямые, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке (рис. 2).

2) Д. п. в абстрактной теории множеств. Пусть дано множество М. Рассмотрим систему всех его подмножеств А, В, С и т.д. Справедливо следующее предложение: если верна теорема о подмножествах множества М,которая формулируется лишь в терминах операций суммы, пересечения и дополнения, то верна также и теорема, получающаяся на данной путём замены операции суммы и пересечения соответственно операциями пересечения и суммы, пустого множества Λ — всем множеством М,а множества М — пустым множеством Λ. При этом дополнение суммы заменяется пересечением дополнений, а дополнение пересечения — суммой дополнений.

Пример 1. Верному соотношению

(A ∪ В)∩ С = (A ∩ С)∪(В∩ С)

двойственно соотношение (также верное)

(А∩ B)∪ C =(A ∪ С)∩(В ∪ С)

Пример 2. Верному соотношению

(A∪B)∪(Ā∩`B) = M

двойственно соотношение (также верное)

(Ā∩ `B)∩(А∪ В) = Λ ,

где Ā, `B— дополнения множеств А, В во множестве М,А ∩ В— сумма множеств А и В, A ∩ В— их пересечение.

3) Д. п. имеет место в математической логике (в исчислении высказываний и в исчислении предикатов).

4) О топологических законах двойственности см. Топология.

Лит.: Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 4 изд., М., 1961; Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М. — Л., 1948; Гильберт Д. и Аккерман В., Основы теоретической логики, пер. с нем., М., 1947.

Рисунки 1 (слева) и 2 (справа) к ст. Двойственности принцип.

ДВОЙСТВЕННОСТИ ПРИНЦИП

устанавливает перекрёстную связь между эл.-магн. полями, образующимися в результате дифракции на отверстии S, прорезанном в бесконечно тонком идеально проводящем плоском экране, и на плоской пластине, совпадающей по форме с отверстием S. Д. п. и его оптич. аналог — теорема Бабине, связывающая в оптике дифракц. явления во «взаимно дополняющих экранах»,— результат инвариантности Максвелла уравнений относительно одновременных перестановок

Е ®Н®-Е, m®e, e®m,

где e, m — диэлектрич. и магн. проницаемости среды.

В теории антенн Д. п. приводит к соотношению между полями, создаваемыми электрич. вибратором (E1,H1), и щелевым излучателем точно таких же размеров (Е2, Н2):

E1= rH2, H1=-(1/r)Е2,

где r=?m/e — волновое сопротивление среды.

- 1) Д. п. в математической логике - теорема о взаимозаменяемости в определенном смысле логич. операций в формулах формальных логических и логико-предметных языков. Пусть А- формула языка логики высказываний или логики предикатов, не содержащая знака импликации ; формула А* наз. двойственной формуле А, если она может быть получена из Азаменой в Акаждого вхождения символов двойственными им операциями, т. е. соответственно символами Д. п. гласит, что если истинно, то истинно В частности, если формулы А и В эквивалентны, то эквивалентны и двойственные им формулы А* и В*. Д. п. справедлив для классич. систем, при этом эквивалентность и истинность формул в его формулировке могут пониматься как в терминах интерпретаций, так и в смысле выводимости в соответствующем классич. исчислении. При конструктивном понимании формул Д. п. перестает действовать. Так, напр., в языке логики высказываний импликация конструктивно верна и даже выводима в Гейтинга формальной системе, однако обратная импликация двойственных формул конструктивно неверна (напр., нереализуема по Клини - Роузу).

С Д. п. тесно связана следующая теорема: если F*( А ₁,..., А _n) - формула, двойственная пропозициональной или предикатной формуле F(A₁,..., А _п), построенной без употребления импликации из элементарных высказываний А ₁,..., А _п, то формула F(A₁,..., А _п )эквивалентна формуле в классич. исчислении высказываний или предикатов, соответственно.

Лит.:[1] Новиков П. С, Элементы математической логики, М., 1959; [2] К лини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957.

Ф. А. Кабаков.

2) Д. п. в геометрии - принцип, формулируемый в нек-рых разделах геометрии и заключающийся в том, что, заменяя в любом верном предложении все

I входящие в него понятия на двойственные им, получают верное (двойственное первому) предложение. Справедливость Д. п. в проективной геометрии вытекает из того, что каждой аксиоме проективной геометрии соответствует двойственное предложение, являющееся либо аксиомой, либо теоремой.

В проективной геометрии на плоскости двойственными являются понятия:

Если считать отношением инцидентности между точкой и линией второго порядка принадлежность точки линии второго порядка, а отношением инцидентности прямой с линией второго порядка - касание прямой к линии второго порядка, то понятием, двойственным линии второго порядка, является линия второго порядка. Примером пары двойственных утверждений могут служить Брианшона теорема и Паскаля теорема. В проективной геометрии в пространстве двойственны понятия точки и плоскости; понятие прямой само себе двойственно.

Д. п. имеет место и в эллиптич. геометрии, где, кроме понятий проективной геометрии двойственными являются понятия отрезка и угла. Так. напр., в эллиптич. геометрии справедливы следующие два двойственных утверждения:

Лит.:[1] Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 5 изд., М., 1971.

А. С, Пархоменко.

3) Д. п. в проективной геометрии состоит в том, что любой теореме относительно подпространств S_a, S_b,... проективного пространства ПД их пересечений и сумм соответствует теорема относительно подпространств S_n_ _а_₁ S_n-b-1,... их сумм и пересечений. Д. п. определяется двойственным характером аксиом проективной геометрии и вытекающих из них теорем. Для проективного пространства П _n (Х)над телом КД. п. справедлив тогда и только тогда, когда Кдопускает инверсный автоморфизм. В общем случае имеет место двойственность между проективными пространствами П _п (Х). и П _п( К*), тела Ки K* к-рых инверсно изоморфны: таковы, напр., левое и правое проективные пространства Р _п^l (К). и Р _п^r (К)над К(см. Проективная алгебра, Корреляция), причем соответствие между ними, т. е. соответствие между S_k и S_n-k-1 определяется выбором пары координатных систем в П _п (К). и П _n( К*). Д. п. можно обосновать также с помощью дуальных отображений линейных пространств q _п+1 (К). над телом, к-рые используются для интерпретации проективных пространств.

М. И. Вопцеховский.

4) Д. <п. в частично упорядоченных множествах: если верна какая-либо теорема о частично упорядоченных множествах, сформулированная в общелогич. терминах и терминах порядка, то верна и двойственная ей теорема. Для получения теоремы, двойственной к данной, все высказывания и понятия, относящиеся к порядку, заменяются на двойственные (т. е. все знаки порядка < заменяются на >, и обратно), а общелогич. термины остаются без изменений. Из справедливости нек-рого утверждения для конкретного частично упорядоченного множества (или для конкретного класса частично упорядоченных множеств) еще не вытекает справедливость двойственного утверждения для этого множества. Так, частично упорядоченное множество может иметь наименьший элемент, но не иметь наибольшего, оно может удовлетворять условию минимальности, но не удовлетворять условию максимальности. Справедливость Д. п. вытекает из того, что отношение, обратное к частичному порядку, само является частичным порядком. Иногда под Д. п. понимают именно это утверждение.

Т. С. Фофанова.