«Собственные функции»

понятие математического анализа. При решении многих задач математической физики (в теории колебаний, теплопроводности и т.д.) возникает необходимость в нахождении не равных тождественно нулю решений однородных линейных дифференциальных уравнений L(y)= λу, удовлетворяющих тем или иным краевым условиям. Такие решения называют С. ф. задачи, а соответствующие значения λ — собственными значениями (См. Собственные значения). Если дифференциальное уравнение с соответствующими краевыми условиями самосопряжённое (см. Самосопряжённое дифференциальное уравнение), то его собственные значения действительны, а С. ф., соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. Если дифференциальное уравнение рассматривается на конечном отрезке и его коэффициенты не имеют на этом отрезке особенностей, то множество С. ф. счётно (задача имеет дискретный спектр); знание С. ф. и соответствующих собственных значений позволяет тогда при некоторых условиях получить решение задачи в виде ряда по С. ф. (см. Фурье метод). Если же уравнение рассматривается на бесконечном промежутке или его коэффициенты имеют особенности (например, если коэффициент при старшей производной обращается в нуль), может существовать континуум С. ф., и вместо разложения в ряд получается разложение в интеграл по С. ф., аналогичное представлению в виде Фурье интеграла. В этом случае говорят, что задача имеет непрерывный спектр. Многие специальные функции (Ортогональные многочленыи др.) служат С. ф. некоторых уравнений.

В теории интегральных уравнений С. ф. ядра К(х,у) называют функцию, удовлетворяющую при некотором значении λ уравнению

.

Всякое симметрическое непрерывное ядро имеет С. ф. В этом случае всякая функция, представимая в виде

,

может быть разложена в ряд по С. ф. Если ядро имеет особенности или задано в бесконечной области, то может также возникнуть непрерывный спектр.

Наиболее общим образом С. ф. можно определить как Собственные векторылинейных операторов в линейных функциональных пространствах. В квантовой механике С. ф. оператора, отвечающего какой-либо физической величине (см. Операторыв квантовой теории), соответствуют состояниям системы, в которых данная физическая величина имеет определённое значение.

Иногда С. ф. называют также фундаментальными функциями, характеристическими функциями и т.д.

СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ - понятие математического анализа, возникшее при нахождении не равных тождественно нулю решений однородных линейных дифференциальных уравнений, удовлетворяющих тем или иным однородным краевым условиям. Такие решения называются собственными функциями данной задачи.

СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ

оператора, действующего в функциональном пространстве,- ненулевые ф-ции , переводящиеся оператором А в пропорциональные им:

Комплексное либо вещественное число наз. собственным значением оператора А. В гильбертовомпространстве ф-цийиа множестве ,интегрируемых с квадратом по мере ,в к-ром задано скалярное произведение ф-ций

(звёздочка означает комплексное сопряжение) и вводится понятие сопряжённогооператора, особенно важную роль играют самосопряжённые линейные операторы (эрмитовыоператоры, в дальнейшем линейность операторов подразумевается). Это такиеоператоры, для к-рых для всех х и у из (и эти скалярные произведения имеют смысл); множества всех допустимых ф-ций . и у должны совпадать; все собств. значения таких оператороввещественны. В квантовой механике с каждой наблюдаемой ассоциируетсясамосопряжённый оператор, С. ф. к-рого задают состояние системы с определённымзначением оператора наблюдаемой. Напр., для гармонич. осциллятора операторэнергии (гамильтониан)

С. ф. к-рого являются функции Эрмита, ортогональные на . При этом k -й С. ф.соответствует собств. значение

С. ф. f₁ и f₂ самосопряжённого оператора А, отвечающие разл. собств. значениям п , ортогональны,Множество всех С. ф., отвечающих одному собств. значению ,образует линейное подпространство, совпадающее с ядром оператора (I - единичный оператор), т. е. с множеством ф-ций, переводимых этим операторомв 0 (ядром оператора В наз. множество ф-ций f, для к-рых Bf=0).

В приложениях (вариац. исчисление, классич. граничные задачи матем. <физики) важную роль играют самосопряжённые интегральные операторы К:

ф-ция К(х, <у) - К*(у, <х )наз. ядром интегрального оператора (непутать с понятием ядра оператора, определённым выше). Если оператор . ограничен, <а его ядро- интегрируемая ф-ция, то К компактен и его С. ф. образуют базис в пространстве . Ядро К(х, <у )такого оператора можно разложить в (конечную либобесконечную) сумму:

где - набор (всегда конечный при данном п) ортонормированных С. ф., отвечающиходному и тому же собств. значению ,при этом при Примером такого интегрального оператора может служить решение Дирихлезадачи. Одним из критериев ограниченности является условие , т. е. ф-ция К(х, <у )интегрируема с квадратом по своим аргументам.

Класс самосопряжённых операторов, действующих на всём гильбертовом пространствеф-ций , слишком узок, чтобы охватить все физически интересные величины. Не вседаже ограниченные операторы имеют разложение (*). Напр., унитарный оператор сдвига не имеет С. ф. в пространстве то же справедливо и для неограниченных операторов, к к-рым относятся практическивсе дифференциалъные операторы. Для таких операторов понятие С. <ф. обобщается в т. н. спектральном разложении. Рассмотрим спектр оператора . Если число ,то резольвента оператора А,,сингулярна на .Все собств. значения А окажутся особыми точками [поскольку в них найдётся такая, что и обратного оператора на всём не существует]. Но помимо таких особенностей у будут и др. особые точки .в к-рых оператор определён, но неограничен. Спектральная теорема утверждает, что всякийсамосопряжённый оператор А допускает спектральное разложение вида

Здесь - ортогональное семейство проекционных операторов, проектирующихна подпространство ф-ций f из таких, что .Для самосопряжённого оператора А, ядро к-рого допускает разложение(*) по С. ф.,будут интегральными операторами с ядром (спектральным)

Рассмотрим спектральное разложение оператора импульса , действующего на прямой (см. Операторы]. Его С. ф.непринадлежит пространству (хотя могут быть аппроксимированы ф-циями из L² на любомконечном отрезке). Всякий оператор ( Р + rI)^-1 будет неограничен для любого вещественного г; т. о., спектр

Для того чтобы построить спектральное разложение самосопряжённого оператора А, можно найти унитарное преобразование U пространства ф-ций и набор мер (N = 1, 2,..., )(наличие целого набора спектральных мер вместо одной обобщает понятие кратностисобств. значения ),таких, что

т. е. оператор U переводит всё пространство ф-ций в набор подпространств, внутри каждого из к-рых оператор А действуеткак оператор умножения:

Для оператора импульса Р таким унитарным преобразованием будет Фурьепреобразование:

Тогда

а фурье-образом проекционного оператора будет оператор умножения на ф-цию ,

Лит.: Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Квантовая механика. Нерелятивистскаятеория, 4 изд., М., 1989; Рисс Ф., Секефальви-Надь В., Лекции по функциональномуанализу, пер. с франц., М., 1954; И о с и д а К., Функциональный анализ, <пер. с англ., М., 1967; Рид М., Саймон Б., Методы современной математическойфизики, пер. с англ., т. 1 - Функциональный анализ, М., 1977; Математическаяэнциклопедия, т. 5, М., 1985. Л. О. Чехов.